山东省枣庄市滕州市洪绪镇洪绪中学2023-2024学年九年级4月数学试题

2024年中考数学模拟试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2．下列计算，结果正确的是（）A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（ab）3＝ab3 D．a2÷a3＝a3．如图，AB∥CD，点E在线段BC上（不与点B，C重合），连接DE．若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B＝（）A．10° B．20° C．40° D．60°4．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．c（b﹣a）＜0 B．b（c﹣a）＜0 C．a（b﹣c）＞0 D．a（c+b）＞05．如图，a，b是直尺的两边，a∥b，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．65° B．55° C．45° D．35°6．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．25°7．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°8．一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A． B． C．​ D．9．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+110．二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax²+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。11．要使根式有意义，则a的取值范围是．12．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝°．13．二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是．14．如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是．15．在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，π的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为．三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（6分）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．18．（8分）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据相关信息解答下列问题：（1）本次竞赛共有200名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是108度；（2）补全条形统计图；（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．19．（8分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．20．（8分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．21．（8分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，CD＝2，求BD的长．23．（12分）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．​24．（12分）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．2024年中考数学模拟试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（）A．2 B．﹣2 C．0 D．【考点】实数的性质；相反数．【分析】根据相反数的定义求出a的值，代入代数式求值即可．【解答】解：∵实数a的相反数是﹣1，∴a＝1，∴a+1＝2．故选：A．【点评】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．2．下列计算，结果正确的是（）A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（ab）3＝ab3 D．a2÷a3＝a【分析】根据同底数幂乘除法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．【解答】解：A．a2•a3＝a3+2＝a5，则A符合题意；B．（a2）3＝a2×3＝a6，则B不符合题意；C．（ab）3＝a3b3，则C不符合题意；D．a2÷a3＝a2﹣3＝a﹣1，则D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．如图，AB∥CD，点E在线段BC上（不与点B，C重合），连接DE．若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B＝（）A．10° B．20° C．40° D．60°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】利用平行线的性质及外角计算即可．【解答】解：∵∠C+∠D＝∠BED＝60°，∴∠C＝60°﹣∠D＝60°﹣40°＝20°．又∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝20°．故选：B．【点评】本题简单地考查了平行线的性质，知识点比较基础，一定要掌握．4．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．c（b﹣a）＜0 B．b（c﹣a）＜0 C．a（b﹣c）＞0 D．a（c+b）＞0【考点】实数与数轴．【专题】实数；几何直观；推理能力．【分析】由数轴可得a＜0＜b＜c，然后得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系，再根据有理数乘法法则进行判断即可．【解答】解：由数轴可得a＜0＜b＜c，则b﹣a＞0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，c+b＞0，那么c（b﹣a）＞0，b（c﹣a）＞0，a（b﹣c）＞0，a（c+b）＜0，则A，B，D均不符合题意，C符合题意，故选：C．【点评】本题考查实数与数轴的关系，结合数轴得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系是解题的关键．5．如图，a，b是直尺的两边，a∥b，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．65° B．55° C．45° D．35°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【分析】利用平角的定义及角的和差关系，先求出∠3，再利用平行线的性质求出∠2．【解答】解：∵∠BEF＝90°，∠CED是平角，∠1＝35°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝35°．∵∠BEC＝180°﹣∠E﹣∠3＝180°﹣90°﹣35°＝55°故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，根据平角的定义求出∠3的度数是解决本题的关键．6．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．25°【分析】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接IC，IB，OC，∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，∵∠CAI＝35°，∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，∵点O是△ABC外接圆的圆心，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴，故选：C．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．7．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°【考点】正多边形和圆；旋转对称图形．【专题】正多边形与圆；运算能力．【分析】求出正六边形的中心角的度数，再根据中心角的整数倍进行判断即可．【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故选：B．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及正多边形中心角的计算方法是解决问题的关键．8．一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A． B． C．​ D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反比例y＝应该经过第一、三象限，故本选项不可能；B、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该经过第二、四象限，故本选项不可能；C、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝应该经过第二、四象限，故本选项不可能；D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该经过第二、四象限，故本选项有可能；故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．9．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【考点】相似多边形的性质；解一元二次方程﹣公式法；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】C【分析】设HG＝x，根据矩形的性质可得∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，再根据折叠的性质可得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，从而可得四边形ADHE是正方形，然后利用正方形的性质可得AD＝HE＝1，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：设HG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四边形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四边形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，经检验：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程﹣公式法，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），正方形的判定与性质熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．10．二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax²+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质；一次函数与一元一次方程．【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；几何直观；应用意识．【答案】C【分析】①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负；②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围；③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x＝﹣1，得到3a+c＞0，即6a+2c＞，因为a＞0，所以得出11a+2c＞0；⑤化简不等式，用a表示b，根据a＞0及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可．【解答】解：①根据图象可知：a＞0，c＜0，∵对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a．∴b＜0，∴abc＞0．故①错误．②方程ax²+bx+c＝0，即为二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点，根据图象已知一个交点﹣1＜x1＜0，关于x＝1对称，∴另一个交点2＜x2＜3．故②正确．③∵对称轴是直线x＝1，|0﹣1|＞|﹣1|，∴点（，y2）离对称轴更近，∴y1＞y2，故③错诶．④∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，根据图象，令x＝﹣1，y＝a+2a+c＝3a+c＞0，∴6a+2c＞0，∵a＞0，∴11a+2c＞0，故④正确．⑤m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣2am≥a﹣2a，am2﹣2am≥﹣a，即证：m2﹣2m+1≥0，m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∴m为任意实数，m2﹣2m+1≥0恒成立．故⑤正确．综上②④⑤正确，故选：C．【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考察学生在函数图象中数形结合的能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。11．要使根式有意义，则a的取值范围是a≥5．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】由a﹣5≥0，即可求解．【解答】解：∵a﹣5≥0，∴a≥5，故答案为：a≥5．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．12．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝60°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】60．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠POB＝∠OBD＝90°，那么∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝60°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OAC＝∠AOP＝60°．【解答】解：∵BD∥PQ，∴∠POB＝∠OBD＝90°，∵∠AOB＝150°，∴∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝150°﹣90°＝60°，∵AC∥PQ，∴∠OAC＝∠AOP＝60°．故答案为：60．【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．13．二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是．【考点】二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】．【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，利用二次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+．∵a＝﹣1＜0，∴当x＝﹣时，y取得最大值，最大值＝．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的最值，牢记“当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标”是解题的关键．14．如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是14．【考点】剪纸问题；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力．【分析】根据DE∥BC，DF∥AC，可得四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，所以＝＝，＝＝，因为AC＝6，BC＝9，所以DE＝3，DF＝4，即可得出答案．【解答】解：如图，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，∴＝＝，＝＝，∵AC＝6，BC＝9，∴DE＝3，DF＝4，∴平行四边形纸片的周长是2×（3+4）＝14．故答案为：14．【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的判定和性质．15．在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，π的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为．【分析】画树状图，再由概率公式求解即可．【解答】解：根据题意列树状图如下：共有20个等可能的结果，两球上的数字之积恰好是有理数有8种，∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为﹣2．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DFA＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠ADF＝∠BAE，∴∠DFA＝∠ABE＝90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD＝4，∴，∴，∴线段BF的最小值为﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（6分）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解；估算无理数的大小．【专题】分式；运算能力．【答案】．【分析】先将分式利用相关运算法则进行化简，然后代入一个合适的整数进行计算即可．【解答】解：（a﹣）÷＝（a﹣）•＝a•﹣•＝﹣1＝，∵a2﹣1≠0，a≠0，∴a≠±1，a≠0，∴a＝2，原式＝＝．【点评】本题考查分式化简求值，特别注意根据分式有意义的条件得出a≠±1，a≠0．18．（8分）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据相关信息解答下列问题：（1）本次竞赛共有200名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是108度；（2）补全条形统计图；（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）200、108；（2）见解答；（3）．【分析】（1）由A等级人数及其圆心角度数所占比例求出总人数，总人数乘以B等级人数求得其人数，根据各等级人数之和等于总人数求出C等级人数，最后用360°乘以C等级人数所占比例可得答案；（2）根据以上所求结果即可补全图形；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次竞赛获奖选手共有80÷＝200（名），则B等级人数为200×25%＝50（名），∴C等级人数为200﹣（80+50+10）＝60（名），∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×＝108°，故答案为：200、108；（2）补全图形如下：（3）将三个出口分别记作A、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由表知，共有9种等可能结果，其中小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的有3种结果，所以小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．19．（8分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】（1）分别以B、D为圆心，大于BD为半径画弧，分别交于点M、N，连接MN，则问题可求解；（2）①由题意易得∠EDO＝∠FBO，易得△EOD≌△FOB（ASA），然后可得四边形BEDF是平行四边形，进而问题可求证；②设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，然后根据勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线，（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：如图，由作图可知OB＝OD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA），∴ED＝FB，∴四边形BEDF是平行四边形；②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，∵AB＝5，∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，解得x＝6.25，∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．【点评】本题考查了基本作图，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质与判定及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质与判定以及垂直平分线的性质是解答本题的关键．20．（8分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，先证△CBD∽△BAO，求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式和直线OC的解析式；（2）先求出直线l的解析式，然后与反比例函数的解析式组成方程组，求出方程组的解即得出直线l与反比例函数图象的交点坐标．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∴∠BDC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠BDC＝∠AOB，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∴△CBD∽△BAO，∴，∵A（0，4），B（2，0），C（a，1），∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，∴，∴BD＝2，∴OD＝BO+BD＝4，∴a＝4，∴点C的坐标是（4，1），∵反比例函数过点C，∴k＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为；设直线OC的解析式为y＝mx，∵其图象经过点C（4，1），∴4m＝1，解得，∴直线OC的解析式为；（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，∴直线l的解析式为，由题意得，，解得，，∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或（2，2）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解．21．（8分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．【分析】（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，根据购买总费用不超过26万元且且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各购买方案，再由两种机床的单价之间的关系可找出购买方案总费用最少的方案及最少总费用．【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得＝，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝1.2．答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，根据题意，得：，解得：≤m≤．∵m为整数，∴m＝14，15，16．∴该停车场有3种购买机床方案，方案一：购买14个A型充电桩、36个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、35个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、34个B型充电桩．∵A型机床的单价低于B型机床的单价，∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×34＝55.2（万元）．【点评】本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，CD＝2，求BD的长．【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）BD的长是2．【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，CD＝2，所以BD＝CD＝2．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC于点E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，CD＝2，∴BD＝CD＝2，∴BD的长是2．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明OD∥AC是解题的关键．23．（12分）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．​【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）结合平行四边形的性质，通过求直线MN的函数解析式，列方程求解；（3）根据MN＝2ME，确定E点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时