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文档简介
专题11切线处理情况多,曲线不同法定度【题型综述】圆锥曲线的切线问题有两种处理思路:思路1,导数法,将圆锥曲线方程化为函数,利用导数法求出函数在点处的切线方程,特别是焦点在轴上常用此法求切线;思路2,根据题中条件设出切线方程,将切线方程代入圆锥切线方程,化为关于(或y)的一元二次方程,利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式,即可解出切线方程,注意关于(或y)的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件,圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同,选择不同的方法.【典例指引】类型一导数法求抛物线切线例1【2017课表1,文20】设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.【解析】类型二椭圆的切线问题例2(2014广东20)(14分)已知椭圆的一个焦点为,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.【解析】类型三直线与椭圆的一个交点例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为4,且过点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.【解析】类型四待定系数求抛物线的切线问题例4【2013年高考广东卷】已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.(1)求抛物线的方程;(2)当点为直线上的定点时,求直线的方程;(3)当点在直线上移动时,求的最小值.【解析】【扩展链接】椭圆的切线方程:椭圆上一点处的切线方程是;椭圆外一点所引两条切线方程是.双曲线的切线方程:双曲线上一点处的切线方程是;双曲线上一点所引两条切线方程是.抛物线的切线方程:抛物线上一点处的切线方程是;抛物线上一点所引两条切线方程是.4.设抛物线的焦点为,若过点的直线分别与抛物线相切于两点,则.5.设椭圆:的焦点为,若过点的直线分别与椭圆相切于两点,则.6.设双曲线:的焦点为,若过点的直线分别与椭圆相切于两点,则.【新题展示】1.【2019福建龙岩质检】已知椭圆的两焦点为、,抛物线:()的焦点为,为等腰直角三角形.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)已知过点的直线与抛物线交于两点,又过作抛物线的切线,使得,问这样的直线是否存在?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.【思路引导】(Ⅰ)先写出、的坐标,利用为等腰直角三角形,求得p即可.(Ⅱ)依题意,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=k(x+2),,可得切线l1,l2的斜率分别为,.x1x2=﹣4.再将直线与抛物线联立,结合韦达定理解得k即可.2.【2019河南九师联盟2月质检】已知点是抛物线:的焦点,点是抛物线上的定点,且.(1)求抛物线的方程;(2)直线与抛物线交于不同两点,,且(为常数),直线与平行,且与抛物线相切,切点为,试问的面积是否是定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【思路引导】(1)先设出点M的坐标,表示出,求得M坐标,带入抛物线方程,求得p的值,得出结果.(2)先设直线AB的方程,联立求解得AB中点Q的坐标为,再设切线方程,联立得切点的坐标为,再利用面积公式和已知条件,进行计算化简可得结果.3.【2019东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考】已知椭圆的离心率为,右焦点为,且椭圆过点.(I)求椭圆的方程;(II)若点分别为椭圆的左右顶点,点是椭圆上不同于的动点,直线与直线x=a交于点,证明:以线段为直径的圆与直线相切.【思路引导】(I)设椭圆的焦距为,依题意,列出方程组,求得的值,即可求解椭圆的标准方程;(II)方法一①设点的坐标为,当时,得到直线的方程,求得点的坐标,进而求得线段的中点为,利用点到直线的距离等于半径,即可证明;②又由可得点Q的坐标,求得线段中点的坐标,利用圆心到直线的距离等于半径,可作出证明.方法二:依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系,求得点P的坐标,进而求得以为直径的圆的圆心坐标为,半径为,再由直线与圆的位置关系的判定,即可得到结论.4.【2019河南洛阳一模】已知圆,圆心在抛物线上,圆过原点且与的准线相切.(1)求抛物线的方程;(2)点,点(与不重合)在直线上运动,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,求证:.【思路引导】(1)根据圆和抛物线的位置关系,以及圆和准线相切这一条件得到方程,,从而得到结果;(2)求出两条切线方程,再抽出方程,其两根为切点的横坐标,,通过韦达定理得到结果即可.5.【2019江苏如皋调研(三)】在平面直角坐标系中,已知定点,点在轴上运动,点在轴上运动,点为坐标平面内的动点,且满足,.(1)求动点的轨迹的方程;(2)过曲线第一象限上一点(其中)作切线交直线于点,连结并延长交直线于点,求当面积取最大值时切点的横坐标.【思路引导】(1)设,,.因为,,所以,,,得.(2)切线:,将代入得,直线:,将代入得,所以,由,得,设,求取最小值时,的取值即为所求【同步训练】1.已知椭圆与抛物线y2=2px(p>0)共焦点F2,抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1,且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=.(1)求抛物线的方程和椭圆的方程;(2)过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A、B两点,求此切线在x轴上的截距的取值范围.【思路点拨】(1)由抛物线的性质,求得x=﹣1是抛物线y2=2px的准线,则,求得p的值,求得焦点坐标,代入抛物线方程求得Q点坐标,利用椭圆的定义,即可求得a的值,由b2=a2﹣c2=8,即可求得椭圆方程;(2)将直线分别代入抛物线,由△=0,求得km=1,将直线方程代入椭圆方程,求得△>0,代入即可求得m的取值范围,切线在x轴上的截距为,又,即可求得切线在x轴上的截距的取值范围.【详细解析】2.(2017•鸡泽县校级模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(0,3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,过点A,B分别作椭圆的两条切线,求其交点的轨迹方程.【思路点拨】(1)由椭圆的离心率为,其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点,旬出方程组求出a,b,c,由此能求出椭圆C的标准方程.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,设A(x1,y1),B(x2,y2),求出椭圆在点A处的切线方程为=1,①椭圆在点B处的切线方程为=1,②,联立①②,得y=,求出交点的轨迹方程为y=.当直线l的斜率不存在时,无交点.由此能过求出过点A,B所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程.【详细解析】3.设椭圆C:+=1(a>b>0),定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2;若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合,且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程;(2)过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,延长PA与“伴随圆”E交于点Q,O为坐标原点.①证明:PA⊥PB;②若直线OP,OQ的斜率存在,设其分别为k1,k2,试判断k1k2是否为定值,若是,求出该值;若不是,请说明理由.【思路点拨】(1)由抛物线的方程,求得b的值,利用离心率公式,即可求得a的值,求得椭圆方程;(2)①设直线y=kx+m,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,即可求得kPA•kPB=﹣1,即可证明PA⊥PB;②将直线方程代入圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式求得k1k2=,代入即可求得k1k2=﹣.【详细解析】4.左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C:+=1(a>b>0)经过点Q(0,),P为椭圆上一点,△PF1F2的重心为G,内心为I,IG∥F1F2.(1)求椭圆C的方程;(2)M为直线x﹣y=4上一点,过点M作椭圆C的两条切线MA、MB,A、B为切点,问直线AB是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.【思路点拨】(1)由过点Q,则b=,求得,△PF1F2的重心为G点坐标,由IG∥F1F2,|y0|=3r,根据三角形的面积公式可知a=2c,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(2)利用椭圆的切线发浓缩,求得直线AB的方程,由点M为直线x﹣y=4上,代入整理即可求得定点坐标.【详细解析】5.平面直角坐标系xoy中,椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦,当其中一条弦所在直线斜率为0时,两弦长之和为6.(1)求椭圆的方程;(2)A,B是抛物线C2:x2=4y上两点,且A,B处的切线相互垂直,直线AB与椭圆C1相交于C,D两点,求弦|CD|的最大值.【思路点拨】(1)由椭圆的离心率为,过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦,当其中一条弦所在直线斜率为0时,两弦长之和为6,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆方程.(2)设直线AB为:y=kx+m,由,得x2﹣4kx﹣4m=0,由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线AB过抛物线C1的焦点F,再由,得(1+2k2)x2+4kx﹣2=0,由此利用弦长公式能求出弦|CD|的最大值.【详细解析】6.已知椭圆C:(a>b>0)的上、下两个焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,且△MNF2的周长为8,椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M',N'是直线l上的两点,且F1M'⊥l,F2N'⊥l,求四边形F1M'N'F2面积S的最大值.【思路点拨】(1)由△MNF2的周长为8,求出a=2,再由,求出b,由此能求出椭圆C的标准方程.(2)将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程中,得(4+k2)x2+2kmx+m2﹣4=0.由直线与椭圆仅有一个公共点,利用根的判别式求出m2=4+k2.由此利用弦长公式,结合已知条件能求出四边形F1M'N'F2面积的最大值.【详细解析】7.已知A,B分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,D椭圆上的一点,△DF1,F2的周长为.(1)求椭圆C的方程;(2)若P是圆x2+y2=7上任一点,过点作P椭圆C的切线,切点分别为M,N,求证:PM⊥PN.【思路点拨】(1)由2a+2c=6,,b2+c2=a2,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;(2)分类讨论,当切线PM斜率不存在或者为零时,根据对称性即可求得PM⊥PN;当斜率不为零时,分别求得直线PM,PN的方程,由△=0即可求得k1,k2是方程的两个根,则,则PM⊥PN.【详细解析】8.已知圆M:(x﹣a)2+(y﹣b)2=9,M在抛物线C:x2=2py(p>0)上,圆M过原点且与C的准线相切.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)点Q(0,﹣t)(t>0),点P(与Q不重合)在直线l:y=﹣t上运动,过点P作C的两条切线,切点分别为A,B.求证:∠AQO=∠BQO(其中O为坐标原点).【思路点拨】(1)由圆M与抛物线准线相切,得,且圆过又圆过原点,故,可得,解得p=4,即可(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(m,﹣t),可得,,即x1,x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根,所以x1+x2=2m,x1x2=﹣4t,可得,化简=.可证得∠AQO=∠BQO.【详细解析】9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为,右焦点为F.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l与椭圆C相切于点P(不为椭圆C的左、右顶点),直线l与直线x=2交于点A,直线l与直线x=﹣2交于点B,请问∠AFB是否为定值?若不是,请说明理由;若是,请证明.【思路点拨】(1)由2a=4,离心率e==,b=即可求得a和b,即可求得椭圆C的方程;(2)l的斜率为0时,∠AFB为直角,则∠AFB为定值,当斜率不为0时,将切点代入椭圆方程,求得交点坐标,求得AF和BF的斜率kAF及kBF,即可求得kAF•kBF=﹣1,即可求得∠AFB为定值.【详细解析】10.已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A、B两点.(1)设抛物线在A、B处的切线的交点为M,若点M的横坐标为2,求△ABM的外接圆方程.(2)若直线l与椭圆+=1的交点为C,D,问是否存在这样的直线l使|AF|•|CF|=|BF|•|DF|,若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.【思路点拨】(1)设,直线AB:,从而得到过A,B,M的圆是以AB为直径的圆,由此结合已知条件能求出圆的方程.(2)设,由此利用韦达定理,结合已知条件能求出满足条件的直线方程.【详细解析】11.在平面直角坐标系中,已知点F(1,0),直线l:x=﹣1,动直线l′垂直l于点H,线段HF的垂直平分线交l′于点P,设点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)以曲线C上的点P(x0,y0)(y0>0)为切点作曲线C的切线l1,设l1分别与x,y轴交于A,B两点,且l1恰与以定点M(a,0)(a>2)为圆心的圆相切,当圆M的面积最小时,求△ABF与△PAM面积的比.【思路点拨】(1)由丨PH丨=丨PF丨,根据抛物线的定义,点P的轨迹是以l为准线,F为焦点的抛物线,即可求得抛物线方程;(2)由y>0时,求导,求得切线斜率,利用点斜式方程即可求得切线方程,取得A和B点坐标,利用点到直线的距离公式,根据基本不等式的性质,当P(a﹣2,2)时,满足题意的圆M的面积最小,求得A和B点坐标,利用三角形的面积公
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