专题2.13 交点零点有没有极最符号异与否（原卷版）-高中数学压轴题讲义(解答题)

【题型综述】导数研究函数图象交点及零点问题

利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数；②求导；③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；⑤解不等式得解.探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.【典例指引】例1．已知函数，．（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．例2．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数)（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）例3．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数的零点个数．例4．已知函数，．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．【新题展示】1．【2019黑龙江大庆二模】已知函数.（Ⅰ）当时，点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数，并说明理由.2．【2019北京房山区上学期期末】已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.3．【2019浙江名校新高考研究联盟联考】设，已知函数，．Ⅰ若恒成立，求的范围Ⅱ证明：存在实数，使得有唯一零点．4．【2019甘肃、青海、宁夏上学期期末】已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的零点个数.5．【2019安徽芜湖上学期期末】已知函数，.（1）求的极值点；（2）若函数在区间内无零点，求的取值范围.6．【2019山东济南上学期期末】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【同步训练】1．已知函数．（Ⅰ）若在处取极值，求在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若有唯一的零点，求证：2．已知函数．（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．3．已知函数(I)若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值；(Ⅱ)若函数不存在零点，求实数a的取值范围；4．已知函数，其中是自然数的底数，．（Ⅰ）求实数的单调区间．（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由．5．已知函数，．（Ⅰ）求曲线在处的切线方程．（Ⅱ）求的单调区间．（Ⅲ）设，其中，证明：函数仅有一个零点．6．设函数（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；（Ⅱ）若函数存在唯一零点，求的取值范围．7．已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．8．已知，．（1）求函数的增区间；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并说明理由；（3）设正实数，满足当时，求证：对任意的两个正实数，总有．(参考求导公式：)9．已知函数，．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）令，讨论函数的零点的个数；（3）若，正实数满足，证明10．已知函数（）．（1）判断函数在区间上零点的个数；（2）当时，若在（）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．11．已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数．12．已知函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数．13．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围．1