专题2.8 欲证不等恒成立结论再造是利器（原卷版）-高中数学压轴题讲义(解答题)

【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点：（Ⅰ）利用常见结论，如：，，等；（Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论．【典例指引】例1．已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．（I）求直线的方程及m的值；（II）若，求函数的最大值．（III）当时，求证：例2．设函数，，其中R，…为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）求证：(参考数据：)．例3．设．（l）若对一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．【新题展示】1．【2019安徽安庆上学期期末】（1）已知函数，求函数在时的值域；（2）函数有两个不同的极值点，，①求实数的取值范围；②证明：.（本题中可以参与的不等式：，）2．【2019河南驻马店上学期期末】设和是函数的两个极值点，其中，.（1）求的取值范围；（2）若，求的最大值.3．【2019湖南益阳上学期期末】已知函数.（1）当时，比较与的大小；（2）若有两个极值点，求证：.4．【2019广东韶关1月调研】已知函数（其中是自然对数的底数）.（1）证明：①当时，；②当时，.（2）是否存在最大的整数，使得函数在其定义域上是增函数？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.5．【2019天津部分区期末】已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求的取值范围；（3）设函数，是函数的导函数，若存在两个极值点，，且满足，求实数的取值范围．【同步训练】1．已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）．（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．2．设函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若的图象与轴交于两点，且，求的取值范围；（3）令，，证明：．3．已知函数．（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立的的取值范围，并证明．4．已知函数与．（1）若曲线与直线恰好相切于点，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：5．已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．6．已知函数（是自然对数的底数），（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，7．设函数，其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当，且时证明不等式：8．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；（3）证明：．9．已知函数．（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；（2）求证：．10．已知函数(其中，)．(1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围；(2)当时，求函数在上的最大值和最小值；(3)当时，求证：对于任意大于1的正整数，都有．11．已知函数(Ⅰ)若有唯一解，求实数的值；（Ⅱ）证明：当时，（附：）12．已知函数．（Ⅰ）若函数有极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）当有两个极值点（记为和）时，求证：．13．已知（1）求函数在区间上的最小值；（2）对一