专题1.3 极值点偏移第一招-不含参数的极值点偏移问题(解析版)-高中数学压轴题讲义(解答题)_第1页
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文档简介

函数的极值点偏移问题,其实是导数应用问题,呈现的形式往往非常简洁,涉及函数的双零点,是一个多元数学问题,不管待证的是两个变量的不等式,还是导函数的值的不等式,解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解,途径都是构造一元函数.例.(2010天津理)已知函数,如果,且.证明:构造函数,则,所以在上单调递增,,也即对恒成立.由,则,所以,即,又因为,且在上单调递减,所以,即证学&科网法三:由,得,化简得…,不妨设,由法一知,.令,则,代入式,得,反解出,学科#网则,故要证,即证,又因为,等价于证明:…,构造函数,则,故在上单调递增,,从而也在上单调递增,,学&科网构造,则,又令,则,由于对恒成立,故,在上单调递增,所以,从而,故在上单调递增,由洛比塔法则知:,即证,即证式成立,也即原不等式成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的,方法三、四则是利用构造新的变元,将两个旧的变元都换成新变元来表示,从而达到消元的目的.学科*网例.(2013湖南文)已知函数,证明:当时,【解析】易知,在上单调递增,在上单调递减.学&科网招式演练:★已知函数,正实数满足.证明:.【解析】由,得从而,令,构造函数,得,可知在上单调递减,在上单调递增,学&科网所以,也即,解得:.★已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若方程有两个相异实根,,且,证明:.【答案】(Ⅰ)在(0,1)递增,在(1,+递减;(Ⅱ)见解析学科@网(2)由(1)可设的两个相异实根分别为,满足且,由题意可知又有(1)可知在递减故所以,令新题试炼:【2019福建福州质检】已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)函数与函数的图像总有两个交点,设这两个交点的横坐标分别为,.(ⅰ)求的取值范围;(ⅱ)求证:.【答案】(1)(2)(ⅰ),(ⅱ)见解析【解析】(1)解:由已知得,∴∴,又∵,曲线在点处的切线方程为:.(2)(ⅰ)令,∴,由得,;由得,易知,为极大值点,又时,当时,即函数在时有负值存在,在时也有负值存在.由题意,只需满足,学科*网∴的取值范围是:【2019北京八中期中】已知函数f(x)=xe−x(xR)(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若x(0,1),求证:f(2−x)>f(x);(Ⅲ)若x1(0,1),x2(1,+∞),且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2.【答案】(1)在()内是增函数,在()内是减函数.在处取得极大值且(2)见解析(3)见解析【解析】=(1﹣x)e﹣x令,则x=1当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:x(﹣∞,1)1(1,+∞)+0﹣f(x)↗极大值↘∴f(x)在(﹣∞

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