初中数学120大招-106 换元法

换元法【规律总结】换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于\t"/item/%E6%8D%A2%E5%85%83%E6%B3%95/_blank"标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量\t"/item/%E6%8D%A2%E5%85%83%E6%B3%95/_blank"取值范围对应于\t"/item/%E6%8D%A2%E5%85%83%E6%B3%95/_blank"原变量的取值范围，不能缩小也不能\t"/item/%E6%8D%A2%E5%85%83%E6%B3%95/_blank"扩大。【典例分析】例1、已知方程组2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，则2(x-2)-3(y+1)=133(x-2)+5(y+1)=30.9的解是：A.x=8.3y=1.2 B.x=10.3y=2.2 C.x=6.3y=2.2【答案】D【解析】【分析】

本题考查了换元法和二元一次方程组的解，掌握其解得定义是解题的关键．

根据换元法先令x-2=a，y+1=b，再根据二元一次方程组的解，得x-2=8.3和y+1=1.2，即可求得x与y的值．

【解答】

解：令x-2=a，y+1=b，

则方程组2(x-2)-3(y+1)=133(x-2)+5(y+1)=30.9,

可化为：2a-3b=133a+5b=30.9，

∵方程组2a-3b=133a+5b=30.9的解为a=8.3b=1.2，

∴x-2=8.3y+1=1.2,例2、已知(2016+a)(2018+a)=b，则(2016+a)2+(2018+a)2=_________________【答案】4+2b【解析】【分析】

本题考查了完全平方公式和整体代入法的思想，灵活使用整体代入法是解本题的关键．

令2016+a=x，2018+a=y，将原式化为(x-y)2+2xy，即可求解．

【解答】

解：令2016+a=x，2018+a=y，

则(2016+a)(2018+a)=xy=b，

(2016+a)2+(2018+a)2

=x2+y2=(x-y若x满足(80-x)(x-60)=30，求(80-x)解：设(80-x)=a，(x-60)=b，则(80-x)(x-60)=ab=30，a+b=(80-x)+(x-60)=20，所以(80-x【解决问题】(1)若x满足(2019-x)2+(2017-x(2)已知a1,a2,a3,...a(3)如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积为多少？直接写出答案.(结果必须是一个具体的数值)．【答案】解：(1)设(2019-x)=c,(2017-x)=d，则c-d=(2019-x)-(2017-x)=2，(2019-x)(2017-x)=cd，∴(2019-x)即2解得：cd=2019，即(2019-x)(2017-x)=2019；(2)设x=a1+则M=xy，N=(x+aM-N=a由于a1所以-a1aM<N；(3)由题意得：(x-1)(x-2)=5，设x-1=a，x-2=b，则ab=5，a-b=1，∴a+b则阴影部分的面积为21．【解析】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．

(1)模仿例题，利用换元法解决问题即可．

(2)设x=a1+a2+…+a2014，y=a2+a3+…+a2015，则M=xy，N=(x+a2015)(y-a2015)=xy+a2015(y-x)-a2015【好题演练】一、选择题1.设a、b是实数，且11+a-11+b=1b-a，则1+bA.1±52 B.±1±52 【答案】D【解析】【分析】

本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．先设1+a=x，1+b=y，则b-a=y-x，原方程可化为1x-1y=1y-x，整理得，y2-3xy+x2=0，方程两边同除以x2，解关于yx的一元二次方程即可．

【解答】

解：解：设1+a=x，1+b=y，则b-a=y-x，原方程可化为1x-1y=1y-x，

整理得，y2已知实数a,b,c满足a+b+c=1，1a+1+1b+3+1A.125 B.120 C.100 D.81【答案】C【解析】【分析】

本题考查换元法和整体代入法，巧妙利用换元法是解题的关键.首先令a+1=x，b+3=y，c+5=z，分别求出x+y+z和xy+yz+xz，然后所求代数式即为x2+y2+z2，整体代入可求出值．

【解答】

解：令a+1=x，b+3=y，c+5=z，

∵a+b+c=1

∴x+y+z=(a+1)+(b+3)+(c+5)=10，

又1a+1+1b+3+1c+5=0

则1x+1y+已知(x-2015)2+(x-2017)2=34A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】【分析】

本题考查了完全平方公式以及换元法．

将x-2016设为t，则x-2015=t+1，x-2017=t-1，代入原方程中，可得到关于t的方程，进而求解。

【解答】

解：令x-2016=t，则x-2015=t+1，x-2017=t-1，

∵(t+1)2+(t-1)2=34，

∴t2+2t+1+t2-2t+1=34，

2t2已知x是实数，且满足(x2+4x)2+3(xA.3 B.3或-6 C.-3或6 D.-6【答案】A【解析】【分析】

此题考查了用换元法解一元二次方程，考察了学生的整体思想．解题的关键是找到哪个是换元的整体．首先利用换元思想，把x2+4x看做一个整体换为y，化为含y一元二次方程，解这个方程即可．

解：设y=

x2

+4x，则

(x2+4x)2

+3(

x2

+4x)-18=0，

可化为

y解得

y1

=-6，

y2

当

x2

+4x=-6时，

Δ=

b2

-4ac=

42

-4

×

1当

x2

+4x=3时，Δ=

b2

-4ac=

42

-4

×

1

×

(-3)=28>0，符合题意．

若x-1=y+12=z-23，则A.3 B.5914 C.92 【答案】B【解析】【分析】

本题考查了换元法的应用及二次函数的最值，解题的关键是利用换元法得到有关x、y、z的值．用换元法把x、y、z的值用一个未知数表示出来，利用二次函数的最值即可．

【解答】

解：令x-1= y+12=z-23=t，

则x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，

于是x2+y故最小值为：5914故选：B．

已知a1,a2,a3…a2019，a2020，a2021为正数A.M>N B.M<N C.【答案】A【解析】【分析】

本题主要考查了整式的混合运算和换元法，熟练掌握运算法则是解题的关键．另外，像本题中将一个整式设为一个字母这种方法在很多题型中也很常见，也需重点掌握．

设S=a1+a2+…+a2019，用S分别表示出M，N，再利用作差法比较大小即可．

【解答】

解：设S=a1+a2+…+a2019，则

M=S(S-二、填空题若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0有一根为x=2019，则一元二次方程ax-1【答案】x=2020【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．对于一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)=-2，设t=x-1得到at2+bt=-2，利用at2+bt+2=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)=-2必有一根为x=2020．

【解答】

解：对于一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)=-2，

设t=x-1，

∴at2+bt=-2，

而关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2019，

∴a解分式方程xx2-2-x2-2x+3=0时，设【答案】y【解析】【分析】

本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．根据换元法，可得答案．

【解答】

解：∵xx2-2=y，

∴x2-2x=1y，

∴原方程化为：y-计算(1+12+⋯+1【答案】1【解析】【分析】

本题考查的是换元法，整体思想有关知识，设a=12+13+...+12021，b=12+13+...+12020，然后再进行计算即可．

【解答】

解：设a=12+正方形ABCD的顶点A，C在直线y=kx(k<-1)上，顶点B，D在双曲线y=4x上，若正方形ABCD的面积为32，则k的值为________．【答案】

-2-【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质、一元二次方程的解法、反比例函数与几何综合、两点之间的距离公式；解题时根据正方形ABCD的面积为32求出AC=BD=8，由正方形的性质得到OB=4，根据顶点B，D在双曲线y=4x上，可设B点坐标(b,4b)，由两点之间的距离公式得出方程b2+4b2=42，求出b的值，进而求出B点坐标，由正方形的性质可知OA可由OB旋转90°得到，易得A点坐标，再根据正方形ABCD的顶点A，C在直线y=kx(k<-1)上，易求出k的值；

【解答】∵顶点B，D在双曲线y=4x，

∴可设B点坐标(b,4b)(b>0)，

∵正方形ABCD的面积为32，

∴12BD2=32，OA=OB=12BD，

OA可设由OB逆时针旋转90°得到，

解得BD=8，OB=4，

由两点之间的距离公式得b2+4b2=42，

设t=b2，则t+16t=16，

即t2-16t+16=0，

解得t=8+43或t=8-43

∴b=8+43三、解答题阅读探索：解方程组(a-1)+2(b+2)=6,2(a-1)+(b+2)=6.解：设a-1=x，b+2=y，原方程组可变为x+2y=6,2x+y=6.解得x=2,y=2,即(1)拓展提高：运用上述方法解方程组(a3-1)+2(b5+2)=4,2(a3-1)+(b5+2)=5.

(2)能力运用：已知关于x，【答案】解：(1)拓展提高

设a3-1=x，b5+2=y，

方程组(a3-1)+2(b5+2)=4,2(a3-1)+(b5+2)=5.变形得：x+2y=42x+y=5，

解得：x=2y=1，即a3-1=2b5+2=1，

解得：a=9b=-5；

【解析】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法解二元一次方程组的方法是解本题的关键．(1)拓展提高

根据换元法；

设a3-1=x，b5+2=y，将原方程组变形为关于x与y的方程组，求出解得到x与y的值，即可求出a与b的值；

(2)能力运用

设5m+3=x3

下面是某同学对多项式(x解：设x2原式=y+2(y+6)+4(

=y2

=(y+4)2

(

=(x2

回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______法．

A.提取公因式

B.平方差公式

C.两数和的完全平方公式

D.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x【答案】解：(1)运用了C，两数和的完全平方公式；

(2)不彻底；

x-24；

(3)设x

 2-2x=y.

(x

 2-2x)(x

 2-2x+2)+1，

=y(y+2)+1，

=y

 2+2y+1，

=(y+1)

 2，

=(x

【解析】【试题解析】【分析】

(1)完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；

(2)x2-4x+4还可以分解，所以是不彻底；

(3)按照例题的分解方法进行分解即可．

【解答】

解：(1)运用了C，两数和的完全平方公式；

故选C；

(2)x

 x2故答案为不彻底；x-24；

(3)

阅读探索：解方程组(a-1)+2(b+2)=6解：设a-1=x，b+2=y，原方程组可变为x+2y=6解方程组得：x=2y=2即a-1=2b+2=2所以(1)拓展提高运用上述方法解下列方程组：a(2)能力运用已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+【答案】解：(1)设a3-1=x，b5+2=y，

方程组变形得：x+2y=42x+y=5,

解得：x=2y=1，即a3-1=2b5+2=1,

解得【解析】此题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

(1)设a3-1=x，b5+2=y，根据换元法的结论确定出关于x与y方程组，求出解得到x与y的值，即可求出a与b的值；

(3)设5m+3=x阅读下列材料并解决问题．“换元法”是指运用“整体思想”把某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，从而使复杂的问题简单化，例如：计算：1解：令t=则原式=t…请根据以上材料，解决下列问题：(1)请把上面的解题过程补充完整，并求出结果；(2)计算：x【答案】解：(1)原式=t(t+2)-(1+t)2+2，

=t2+2t-(1+2t+t2)+2，

=则原式=(t+5)(2-t)-3(-t+1)+t2，

=2t-t2【解析】本题考查整式的混合运算以及换元法的运用，掌握换元的方法是解题关键．

(1)根据整式的混合运算化简即可；

(2)令t=x2阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．

【问题】解方程：x2+2x+4x2+2x-5=0．

【提示】可以用“换元法”解方程．

解：设x2+2x=t(t≥0)，则有x【答案】解：t2+4t-5=0，

(t+5)(t-1)=0，

t+5=0或t-1=0，

∴t1=-5，t2=1，

当t=-5时，x2+2x=-5，此方程无解；

当t=1时，x2+2x=1，则x【解析】本题考查了解一元二次方程，解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．

利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组1x+1y=122x+1y=20，设m=1x，n=1y，则原方程组可化为m+n=122m+n=20，解化解之后的方程组得m=8n=4，即1x=81y=4，所以原方程组的解为x=18y=14．

运用以上知识解决下列问题：

(1)【答案】解：(1)x=1y=2；

(2)x=4y=0；

(3)设2x=A，3y=B，则原方程组可化为12A-3B=111①2A=2B=86②,

由①得：4A-B=37③，

由②得：A+B=43④，

③+④得：5A=80，

∴A=16，

把A=16代入④得：【解析】【分析】

此题主要考查了运用换元法解二元一次方程组，能正确设元是解答此题的关键．

(1)根据示例设m=1x，n=2y，则原方程组可化为m+n=23m+n=4，解化解之后的方程组得m=1n=1，即1x=12y=1，求解即可；

(2)根据题意得x-2=2y+1=1，求出方程组的解即可；

(3)设2x=A，3y=B，则原方程组可化为12A-3B=1112A=2B=86，解方程组求出A、B的值，即可进一步求出x、y的值．

【解答】

解：(1)设m=1x，n=2y，则原方程组可化为m+n=23m+n=4,

解得m=1n=1,

即阅读下面材料，解答后面的问题解方程：x-1解：设y=x-1x，则原方程化为：y-4y=0解得：y=±2，经检验：y=±2都是方程y-4y=0的解，∴当y=2时，x-1当y=-2时，x-1x=-2，解得：x=13，经检验：∴原分式方程的解为x=-1或x=1问题：(1)若在方程x-14x-xx-1=0(2)若在方程x-1x+1