2022-2023学年山西省大同市同煤集团第二中学高二数学文联考试卷含解析

2022-2023学年山西省大同市同煤集团第二中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（

）A．D1O∥平面A1BC1

B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°

D．二面角M－AC－B等于45°参考答案：D2.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）A．

B．

C．

D．参考答案：A如图所示：设OP＝x（x＞0），则PA＝PB＝，∠APO＝α，则∠APB＝2α，sinα＝，∴当且仅当时取“=”，故的最小值为．故选A．3.已知数列中，，，则=（

）A. B.

C.

D.参考答案：A略4.已知角α的终边过点P（3a，4a），且a<0，那么cosα等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C由题意得，选C.5.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，f（2）=1，f'（x）是f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，若两个正实数a，b

满足f（2a+b﹣4）＜1，则a2+b2的取值范围是（）A． B．（1，36） C． D．（1，9）参考答案：A【考点】3L：函数奇偶性的性质；7D：简单线性规划的应用．【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，转化为不等式关系，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：由f′（x）的图象知，当x＞0时，f′（x）＞0，函数为增函数，当x＜0时，f（x）＜0，函数为减函数，即当x=0时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值，∵函数y=f（x）是R上的偶函数，f（2）=1，∴不等式f（2a+b﹣4）＜1，等价为f（|2a+b﹣4|）＜f（2），即|2a+b﹣4|＜2，即﹣2＜2a+b﹣4＜2，即2＜2a+b＜6∵a，b是正实数，∴作出不等式组对应的平面区域对应的平面区域如图：a2+b2的几何意义是区域内的点到圆的距离的平方，由图象知，O到直线2a+b=2的距离最小，OB的距离最大，其中B（0，6），则|OB|=6，O到直线2a+b﹣2=0的距离d==，则（）2＜a2+b2＜|OB|2，即＜a2+b2＜36，即a2+b2的取值范围是（，36），故选：A6.集合，，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C7.下面的程序框图（如图所示）能判断任意输入的数的奇偶性：

其中判断框内的条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有A．种

B．种

C．种

D．种参考答案：D略9.某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号为6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是A.16

B.19

C.24

D.

36参考答案：B10.已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点且垂直于轴的直线与双曲线相交于不同的两点，，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为(

)A.(1,2) B.(1,2] C.(2,3] D.[2,3)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，，则

参考答案：略12.将二进制数化为十进制数，结果为__________参考答案：4513.观察下表：12343456745678910......则第______行的各数之和等于.参考答案：100614.已知不等式组表示的平面区域为，若直线将区域分成面积相等的两部分，则实数的值是

▲

．参考答案：15.以椭圆=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为

．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的a=、c=2，进而计算可得结论．【解答】解：∵椭圆方程为：=1，∴其焦点坐标为：（﹣，0）、（，0），顶点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），∴双曲线的焦点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），顶点坐标为：（﹣，0）、（，0），∴双曲线方程：中a=、c=2，∴b2=c2﹣a2=8﹣3=5，∴双曲线方程：，故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程，注意解题方法的积累，属于中档题．16.已知函数的导函数为，且满足，则＝

.参考答案：略17.已知函数有两个极值点，，且，若存在满足等式，，且函数至多有两个零点，则实数的取值范围为

．参考答案：由可得：，由于，故，由可知函数g(x)的单调性与函数f(x)的单调性相同：在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，很明显是函数g(x)的一个零点，则满足题意时应有：，由韦达定理有：，其中，则：，整理可得：，由于，故，则.即实数的取值范围为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．19.（本小题满分8分）如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：(1)//平面；(2)平面平面．

参考答案：证明：(1)连接，，在中，

∵为PC的中点，为中点

又∵平面

，平面，∴

//平面

(2)∵底面，底面，.

又∵是正方形，，又，∴平面．又平面，∴平面平面．

20.已知过点P（2，2）的直线l和圆C：（x﹣1）2+y2=6交于A，B两点．（Ⅰ）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）若点P恰好为线段AB的中点，则l⊥CP，求出斜率，即可求直线l的方程；（Ⅱ）若，分类讨论，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知l⊥CP，因为，所以，故直线l的方程为x+2y﹣6=0…（Ⅱ）设圆心C到直线l的距离为d，则d=1当直线l的斜率不存在时，符合题意，此时直线的方程为x=2；…当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣2），即kx﹣y+2﹣2k=0，所以，则，此时直线的方程为3x﹣4y+2=0综上，直线l的方程为x=2或3x﹣4y+2=0…21.已知f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．（1）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（2）若方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数F′（x），在函数的定义域内解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出单调区间．（2）方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解等价于a=在[，e]上有两个不等解，令h（x）=，利用导数研究其单调性，从而得出它的最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=ax2﹣2lnx

（x＞0）所以F′（x）=（x＞0）所以当a＞0时，函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，a≤0时，函数在（0，+∞）上是减函数．（2）方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解，等价于a=在[，e]上有两个不等解令h（x）=则h′（x）=故函数h（x）在（，）上是增函数，在（，e）上是减函数．所以h（x）max=h（）=又因为h（e）=＜h（2）==h（）

故

h（x）min=h（e）=，所以≤a＜．即a的取值范围：≤a＜．22.用冒泡排序法将下列各数排成一列