湖南省怀化市洪江芙蓉中学高二数学文月考试题含解析

湖南省怀化市洪江芙蓉中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列的前项和为，若对任意的都成立，则数列为（

）A．等差数列

B．等比数列

C.既等差又等比数列

D．既不等差又不等比数列参考答案：A2.将方程的正根从小到大地依次排列为，给出以下不等式：①；②；③；④；其中，正确的判断是(

)A.①③

B.①④

C.②③

D.②④参考答案：D3.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数．是它们在第一象限的交点，当时，下列结论正确的是（

）A.

B. C. D.参考答案：A4.已知等式，则的值分别为（）A．

B．

C．

D．参考答案：D根据题意，由于等式，则，的值分别为可知答案为D。5.下列函数是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A． B． C．y=lnx D．y=﹣x2+1参考答案：A【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据幂函数的性质、指数函数、对数函数的性质以及二次函数的性质可得函数的单调性和奇偶性．【解答】解：选项A，是偶函数，指数大于0，则在（0，+∞）上是增函数，故正确；选项B，的底数小于1，故在（0，+∞）上是减函数，故不正确；选项C，y=lnx的定义域不对称，故是非奇非偶函数，故不正确；选项D，y=﹣x2+1是偶数函数，但在（0，+∞）上是减函数，故不正确；故选A．【点评】本题主要考查了常见函数单调性和奇偶性的综合，考查的都是基本函数，属于基础题．6.设Sn表示等差数列{an}的前n项和，已知，那么等于 ()参考答案：B7.个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），f（x）=ax?g（x），．令，则使数列{an}的前n项和Sn超过的最小自然数n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】f（x）=ax?g（x），g（x）≠0，构造h（x）=ax=，又f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），利用导数可得：函数h（x）单调递减，0＜a＜1．利用，解得a=．令=，利用等比数列的求和公式可得：数列{an}的前n项和Sn=1﹣，由1﹣＞，解出即可得出．【解答】解：∵f（x）=ax?g（x），g（x）≠0，∴h（x）=ax=，又f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），∴h′（x）=＜0，∴函数h（x）单调递减，∴0＜a＜1．．∴a+a﹣1=，解得a=．令=，则数列{an}的前n项和Sn==1﹣，由1﹣＞=1﹣，解得n＞4，∴使数列{an}的前n项和Sn超过的最小自然数n的值为5．故选：A．9.对于函数①f（x）=4x+﹣5；②f（x）=|log2x|﹣（）x；③f（x）=|x﹣1|﹣；命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞]上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1．能使命题甲、乙均为真命题的函数有（）个． A．0 B． 1 C． 2 D． 3参考答案：C略10.若直线ax+by﹣3=0和圆x2+y2+4x﹣1=0切于点P（﹣1，2），则ab的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径r，化简后得到关于a与b的方程，记作①，又直线与圆的切点为P，所以把点P的坐标代入直线中，得到关于a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值，进而求出ab的值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+y2=5，所以圆心坐标为（﹣2，0），半径r=，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==r=，化简得：a2+5b2﹣12a﹣9=0①，把切点P的坐标代入直线方程得：﹣a+2b﹣3=0②，联立①②，解得：a=1，b=2，则ab的值为2．故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校为了解数学学科的教学情况，在一次考试中随机地抽取了100个同学的成绩(满分为100分)作为样本，并根据这个样本数据得到了如图所示的频率分布直方图，估计这次数学考试成绩的中位数为

.参考答案：6812.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.参考答案：【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.13.如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D为．垂足，则AB2=BD?BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD这三者之间满足的关是．参考答案：S△ABC2=S△BCO?S△BCD【考点】F3：类比推理．【分析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD?BC，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则S△ABC2=S△BCO?S△BCD．【解答】解：由已知在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD?BC，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则S△ABC2=S△BCO?S△BCD．故答案为S△ABC2=S△BCO?S△BCD．14.函数有三个不同的零点，实数的范围

．参考答案：15.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为___________．参考答案：略16.（不等式选讲）已知关于的不等式是常数)的解是非空集合,则的取值范围

.参考答案：17.下表是某厂～月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份用水量由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则据此模型预测6月份用水量为________百吨

参考答案：1.05

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知全集，非空集合．（I）当时，求；（II）条件,条件,若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．参考答案：1)

2)且19.（本小题满分12分）已知展开式中各项的二项式系数和比各项的系数和大256；（Ⅰ）求展开式中的所有无理项的系数和；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．参考答案：由条件得，则，则的第项为 …………4分（1）由通项公式易知当时，为无理项故无理项的系数和为 …………8分（2）当时，系数为；当时，系数为当时，系数最大，故系数最大的项为

……12分20.（1）若（+2x）n的展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）（a+x）（a+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，求a的值．参考答案：【考点】DC：二项式定理的应用；DB：二项式系数的性质．【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中二项式系数最大的项的系数．（2）（2）设f（x）=（a+x）（a+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，可得展开式中x的奇数次幂项的系数之和，再根据展开式中x的奇数次幂项的系数之和等于32，求得a的值．【解答】解：（1）由题意可得+=2，解得n=7或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5．∴T4的系数为??23=，T5的系数为??24=70，当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数为??27=3432．（2）设f（x）=（a+x）（a+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则=a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则f（﹣1）=a0﹣a1+a2+…+﹣a5=0，②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），根据题意可得2×32=16（a+1），∴a=3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，注意通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于中档题．21.（本小题满分10分）已知两直线和的交点P.（1）求经过点P和点的直线的方程；（2）求经过点P且与垂直的直线的方程．参考答案：解：（1）联解得，……2………3…………4……………5（2）由垂直条件知斜率……………………6直线方程为：…………10

22.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,

AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

参考答案：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．(1)证明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0，所以BE⊥DC.(2)向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设，0≤λ≤1.方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM?平面PAD，所以CD⊥