专题17.1勾股定理（知识梳理与考点分类讲解）-八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题17.1勾股定理（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】勾股定理文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b斜边长为c，那么a2+b2【知识点二】勾股定理的验证我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用了勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理进行证明.最早对勾股定理进行证明的是汉代数学家赵爽，他以“弦图”为基本图形，后人称之为“赵爽弦图”，利用“出入相补”原理证明了勾股定理.运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理.【知识点三】勾股定理的实际应用1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤（1）从实际问题中抽象出几何图形；（2）确定与问题相关的直角三角形；（3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；（4）求得符合题意的结果.2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型（1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；（2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；（3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；（4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.【考点目录】【考点1】用勾股定理解直角三角形；【考点2】用勾股定理解决网格上的问题；【考点3】用勾股定理解折叠问题；【考点4】勾股定理的证明；【考点5】通过勾股定理构造直角三角形解决问题；【考点6】通过勾股定理解决最值问题；【考点一】用勾股定理解直角三角形【例1】（2024上·江苏·九年级统考期末）在中，．（1）求的长；（2）求的面积．（结果保留根号）【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理：（1）过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再由是等腰直角三角形，即可求解；（2）根据勾股定理求出的长，可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解．（1）解：如图，过点B作于点D，在中，，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）解：在中，，，∴，∴，∴的面积为．【变式1】（2024·全国·八年级竞赛）如图，在中，，，交于，若，，则（

）A．7 B． C．8 D．【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理；由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；掌握判定方法及性质，能证出是解题的关键．解：，，，，，，，在和中，（），，在中，，，；故选：A．【变式2】（2024·全国·八年级竞赛）如图，在中，，，点B在上，且，与关于对称，则．【答案】/【分析】本题考查了勾股定理、含有角的直角三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握相关知识是解答的关键．根据含有角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质分别表示出、，再根据轴对称得，即可表示出．解：中，，，，，，与关于对称，，，故答案为：【考点二】用勾股定理解决网格上的问题【例2】（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点分别是，，．（1）在图中作出关于轴对称的；（2）直接写出对称点坐标________，________；（3）在图中第一象限格点中找出点，使，且同时．（无需计算过程，请把点画清楚一些）【答案】（1）作图见分析；（2），；（3）作图见分析．【分析】（）根据关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到、、，顺次连接、、，得到，即为所求；（）根据（）即可求解；（）根据勾股定理，即可找到符合条件的点；本题考查了作轴对称图形，勾股定理，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．（1）解：如图，即为所求；（2）解：由（）可得，，，故答案为：，；（3）解：如图，点即为所求．理由：由勾股定理可得，，，故点为所要找的点．【变式1】（2023上·广东茂名·八年级统考期末）如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中求三角形的面积，先利用割补法和勾股定理求得三角形的面积和，再利用三角形的面积公式求解即可．解：根据网格特点，，，∴边长的高为，故选：B．【变式2】（2023上·北京延庆·八年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，则．（点是网格线交点）【答案】【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，延长交格点于，连接，证明出是等腰直角三角形，得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．解：如图：延长交格点于，连接，，，，是等腰直角三角形，，，故答案为：．【考点三】用勾股定理解决折叠问题【例3】（2024上·山东淄博·七年级统考期末）如图，长方形的边在轴上，边在轴上，，，在边上取一点，使沿折叠后，点落在轴上，记作点．（1）请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______；（2）求点D的坐标；（3）求点E关于y轴的对称点的坐标．【答案】（1）；；；（2）；（3）．【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化对称，解决本题的关键是掌握折叠的性质．（1）根据矩形的性质即可解决问题；（2）根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，进而可得点的坐标；（3）根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，可得点的坐标，进而求解．（1）解：四边形是矩形，∴，，∴点的坐标、点的坐标和点的坐标；故答案为：；；；（2）解：由折叠可知：，在中，根据勾股定理，得，∴点的坐标；（3）解：在中，，，根据勾股定理，得，，解得，∴，∴点的坐标为，∴点E关于y轴的对称点的坐标为．【变式1】（2023上·山东济南·八年级统考期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（）A． B．3 C．1 D．【答案】B【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．解：∵，∴，∴根据勾股定理得，根据折叠可得：，∴，设，则，在中：，即，解得：，故答案为：B．【变式2】（2024上·江苏常州·八年级统考期末）如图，在中，，，，点在斜边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的周长为．【答案】【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理．由折叠可得，，，则，，再由的周长，即可求解．解：由折叠可得，，，，，，，，，的周长．故答案为：．【考点四】勾股定理的证明【例4】（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且．（1）判断线段，，的数量关系，并说明理由；（2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理．【答案】（1）．理由见分析；（2）见分析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求四边形的面积，勾股定理的证明，（1）根据证明，可得答案；（2）根据，可得答案．解：（1）．理由如下：，，．又，．，，．在和中，，．，．又，．（2），，，．【变式1】（2023上·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法证明即可．解：A、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、，根据图形不能证明勾股定理；故选：D．【变式2】（2024上·福建泉州·八年级统考期末）把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是．【答案】【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论．解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【考点五】通过勾股定理构造直角三角形解决问题【例5】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）（2）此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？【答案】（1）米；（2）不能【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键．（1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可；（2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可．（1）解：∵，由勾股定理得，，∵，∴，由勾股定理得，，∴，∴求男子需向右移动的距离为米；（2）解：由题意知，需收绳的绳长（米），∴此人的收绳时间为秒，∵，∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．【变式1】（2024上·山东烟台·七年级统考期末）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约（

）米处折断A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意列出方程并解答即可；利用勾股定理列出方程是关键．解：如图，由题意知：，设，，，，解得：，∴这棵大树离地面约，故选：C．【变式2】（2024上·广东梅州·八年级统考期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则米．【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．解：如图，过点作于点，米，米，米，（米）．在中，由勾股定理得到（米），故答案为：．【考点六】通过勾股定理解决最值问题【例6】（2023上·海南海口·八年级校考期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．（1）数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接；（2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；（3）问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．【答案】（1）图形见分析；（2）两点之间线段最短；（3）这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；（2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解；（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解．（1）解：如图所示，即为所求：（2）解：线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）根据题意可得：展开图中的，．在中，由勾股定理可得：，即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．【变式1】（2024上·四川内江·八年级统考期末）如图，已知长方体的三条棱的长分别为4，3，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到点M的最短路程是（

）A． B． C． D．9【答案】C【分析】本题考查了勾股定理在最短路径问题中的应用，找到蚂蚁所有的可能路径即可求解．解：展开前面和上面，如图所示：；