四川省成都市郫都区高三上学期二模文科数学试题

郫都区高2021级阶段性检测（二）数学（文）说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知：，则复数z在复平面内对应点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的四则运算化简复数，即可得出答案.【详解】，则复数z在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定直接判断即可.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：A.3.已知集合，，则集合的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义求出集合，即可得解.【详解】因为，，则，故集合的元素个数为.故选：B.4.在中，已知，，，则边的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得，结合正弦定理，即可求解.【详解】因为，，可得，由正弦定理可得.故选：B.5.已知锐角满足则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用代入计算即可.【详解】由已知，，因为锐角，所以，，即.故选：C.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再考虑时，的取值情况，即可作出选择.【详解】函数为奇函数，排除选项B和C，当时，比x增长的快，，排除选项D，故选：A.7.已知数列的前项和为.若，，则（）A.95 B.100 C.135 D.175【答案】D【解析】【分析】由，推导出数列是等差数列，再由求和公式求出结果即可.【详解】因为，，所以，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以由等差数列的前项和公式可得.故选：D8.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（）A.对称轴为， B.在内单调递增C.对称中心为， D.在内最小值为【答案】C【解析】【分析】通过平移变换可得，然后由正弦函数的对称性、单调性求解即可.【详解】则由题意可得，令得对称轴方程为，A错误；由得，所以在上单调递增，由得，所以在上单调递减，B错误；令得，所以的对称中心为，C正确；因为，，结合选项B可知在内的最小值为，D错误.故选：C.9.已知函数，若，，，则，，的大小关系是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，再证明函数为奇函数，最后由，分析可得答案．【详解】根据题意，函数，其导数函数，因为，所以在上恒成立，则在上为增函数；，所以为奇函数，所以，又由，则；故选：D．10.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（）（参考数据，）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由时，可求得；由可解不等式求得的范围，由此可得结果.【详解】由题意知：当时，，解得：，；令，即，即，，所需时间（单位：分钟）的最小整数值为.故选：A.11.已知数列满足，，则数列前2023项的积为（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】先找到数列的周期，然后求得数列前2023项的积.【详解】依题意，，，所以，，所以数列是周期为的周期数列，，，所以数列前项的积为.故选：B12.若指数函数（且）与幂函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性确定，由进行转化，然后结合对数函数、一次函数的图象有两个不同的交点，利用导数和图象来求得的取值范围.【详解】幂函数是上的单调递增函数，若，则指数函数是上的单调递减函数，此时两个函数图象没有两个不同的交点，所以.由两边取以为底的对数得，即直线与曲线有两个不同的交点，先考虑两者相切的情形，设，令，解得，，故切点为，将切点代入得，所以，要使直线与曲线有两个不同的交点，则需，所以的取值范围是.故选：D【点睛】方法点睛：研究函数图象交点个数问题，可以考虑的方向有：零点存在性定理、数形结合、利用导数研究.本题采用的是利用导数来进行研究.考虑到原本函数的复杂性，可先进行转化，转化为直线和曲线的交点个数问题来进行研究.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据得到，解得答案.【详解】，则，解得.故答案为：.14.函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______．【答案】##0.5【解析】【分析】根据奇函数的定义，结合指对数的运算法则，即可得答案.【详解】因为，所以由奇函数得：．故答案为：15.在数列中，，，，则______.【答案】【解析】【分析】利用来求得正确答案.【详解】依题意，，，则，两式相减得，当时，，所以.故答案为：16.已知函数在上是增函数，且，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据在是增函数得到的取值范围，根据得到和的值，进而得到的表达式，从而分类讨论即可得解.【详解】由题意得：，所以或，因为，所以，，因为和，所以，则，所以，则，故，得，因为或，所以或，解得或，当时，，此时，，其在上单调递增，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，此时，其在上单调递减，不满足题意；当时，，不满足题意；综上，.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题关键在于在是增函数得到的取值范围.三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列的首项为3，且满足.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列.【答案】（1）证明见解析（2），数列不是等比数列【解析】【分析】（1）化简变形为，结合定义即可证明；（2）由即可判断.【小问1详解】由，，得，又，所以是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得，，所以所以数列不是等比数列.18.某食品厂2021年2月至6月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如表：（月份）23456（生产产量：万瓶）356.5810.5（1）根据以上数据，求关于的线性回归方程；（2）调查显示该年7月份的实际市场需求量为13.5万件，求该年7月份所得回归方程预测的生产产量与实际市场需求量的误差.附：（参考公式：；；）.【答案】（1）；（2）15万件.【解析】【分析】（1）先计算，，再利用最小二乘法公式计算，即可得到答案；（2）把代入线性回归方程，即可得到答案；详解】（1）由表中数据可知，，，，，，，关于的线性回归方程为.（2）把代入线性回归方程，有，，故该年7月份所得回归方程预测的生产产量与实际市场需求量的误差为1.5万件.19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角C；（2）若的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将边转化为角，再利用三角形内角和消去角A，求角C；（2）先利用向量运算及三角形面积公式得到边a，b的关系，再利用余弦定理求边c.【小问1详解】由得，，因为所以.【小问2详解】由已知得，所以，所以，所以，因为的面积为，所以，即，，由余弦定理得，所以.20.如图，已知四棱锥的底面是菱形，，是边长为2的正三角形，平面平面，为的中点，点在上，.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设的交点为，连接，通过证明即可得到，从而即可得证.（2）由题意，故只需求出点到底面的距离、的面积即可得解.【小问1详解】菱形中，设的交点为，连接，由∽且为的中点，得，在中，，所以，所以，又平面，平面，则平面.【小问2详解】取的中点为，连接，由是正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，则平面，因为是边长为的正三角形，所以点到底面距离为，因为平面，所以P，C到平面BEF的距离相等，又，，所以三棱锥的体积为.21.已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）若是的最大的极大值点，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数值即可求解，（2）先对上考虑导函数的正负确定单调性，进而考虑上导函数的正负，结合零点存在性定理即可确定函数的极值点求证.【小问1详解】∵，∴又，所以在处的切线方程为，【小问2详解】由（1）得，所以，当时，，所以在无极大值点.当时，令，则在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增.又，，所以当时，，即，所以是的极小值点，在内无极大值点∵，，所以存在，使得，即，即，当时，；当时，，所以是的极大值点，也是的最大的极大值点.因为在上单调递减，所以，.所以【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．请考生在22、23题中任选一题作答，共10分，如果多作，则按所作的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑.选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线上，点在曲线上，且为正三角形．（1）求点，的极坐标；（2）若点为曲线上的动点，为线段的中点，求的最大值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；（2）设点的直角坐标为，则点的直角坐标为．将此代入曲线的方程，可得点在以为圆心，为半径的圆上，所以的最大值为，即得解.【详解】（1）因为点在曲线上，为正三角形，所以点在曲线上．又因为点在曲线上，所以点的极坐标是，从而，点的极坐标是．（2）由（1）可知，点的直角坐标为，B的直角坐标为设点的直角坐标为，则点的直角坐标为．将此代入曲线的方程，有即点在以为圆心，为半径的圆上．，所以的最大值为．【点睛】本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和