函数与极限练习题

函数与极限练习题（总17页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--内页可以根据需求调整合适字体及大小-第一章函数与极限§1函数一、是非判断题1、f(x)在X上有界，g(x)在X上无界，则f(x)+g(x)在X上无界。TOC\o"1-5"\h\z[ ]2、f(x)在X上有界的充分必要条件是存在数A与B,使得对任一xeX都有A<f(x)<B[ ]3、f(x),g(x)都在区间I上单调增加，则f(x)•g(x)也在I上单调增加。[ ]4、定义在(H)上的常函数是周期函数。[ ]5、任一周期函数必有最小正周期。[ ]6、f(x)为(H)上的任意函数，则f(x3)必是奇函数。[ ]7、设f(x)是定义在La,a]上的函数，则f(x)+f(-x)必是偶函数。[ ]8、f(x)=1+x+x2…是初等函数。[ ]二．单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是।!(A)j=1einx| (B)y=工x2 (C)y=4x4 (D)y=xsgnx2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。(A)sin3x (B)x3+1 (C)x3+x (D)x3-x3、设f(x)=x2,f[p(x)]=22x,则函数叭%)是(A)log2x(B)2x (C)logx2 (D)x224、若f(x)为奇函数，则也为奇函数。(A)f(x)+c,(c丰0); (B)f(-x)+c,(c中0) (C)f(x)+f(|x|);(D)f[f(-x)].三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。y=earctan(x+1)2、y=xx+xx+xx3、y=lnlnlnx四.设f(x)的定义域D=[0,1],求下列函数的定义域。f(x2)f(sinx)f(x+a)(a>0)f(x+a)+f(x-a)(a>0)五.设f(xxfx， x<0,g(x)=[5x, x<0，求f[g(x)]及g[f(x)]。[x, x>0 〔-3x, x>0六.利用f(x)=sinx的图形作出下列函数的图形:1.y=lf(x)1。4y=f(x+2)3.。4y=f(x+2)。6y=f(2x)§2数列的极限一是非判断题1、当n充分大后，数列x与常数A越来接近，则limx二Annx-8[ ]2、如果数列x发散，则x必是无界数列。nn[ ]3。如果对任意£>0,存在正整数N,使得当n>N时总有无穷多个x满足n|x-aI<8,n

贝ljlim%=a.nnfsTOC\o"1-5"\h\z[ ]4、如果对任意8>0,数列％中只有有限项不满足|%-aKe,则lim%=a.n nnnfs[ ]5、若数列%收敛，列j发散，则数列％+j发散。n n nn[ ]二．单项选择题1、根据lim%=a的定义，对任给e>0,存在正整数N，使得对n>N的一切nnfsxn，不等式|%n—a|<e都成立这里的N。（A）是e的函数N（e），且当e减少时N（e）增大；（B）是由e所唯一确定的（C）与（C）与e有关，但e给定时N并不唯一确定（D）是一个很大的常数，与e无关。12、1,当n为奇数=<n2、[10-7,当n为偶数（A）（C）lim%=0;n

n（A）（C）lim%=0;n

nfs⑻lim%=10-7;nnfslim%nnfs0,n为奇数，.

10-7,n为偶数;（D）lim%不存在nnfs3、数列有界是数列收敛的（A）充分条件;（A）充分条件;（B）必要条件;（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件。4、下列数列%中，收敛的是 。n（A）%=（-1）nn~-（B）%=n（C）%=sinn^-（D）%=n-（-1）nn n nn+1n2n三．根据数列极限的定义证明。

… 1(1)lim=0nfgn2(3)limsnn=0n… 1(1)lim=0nfgn2(3)limsnn=0nnfg四、若lim%=0,nnfgnfgn2n2又数列J有界，则lim%yn nnnfg五、若lim%=a,证明limI%1=1aI。反过来成立吗成立给出证明，不成立举nnnfg nfg出反例。

§3函数的极限一是非判断题1、如果f(x)=5,但f(x—0)=f(x+0)=4,则limf(x)不存在。0 0 0 a%[ ]2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x)和limf(x)都存在。xTB xf笆 xfT»[ ]3、如果对某个e>0,存在5>0,使得当0<|x—x|<B时，有f(x)-A|<s，那末0limf(x)=A.xTx0TOC\o"1-5"\h\z[ ]4、如果在x的某一去心邻域内，f(x)>0,且limf(x)=A,那末A>0.0 xTx0[ ]5、如果limf(x)=A且A>0,那么必有X>0,使x在LX,X]以外时f(x)>0.xTB[ ]二．单项选择题1、从limf(x)=1不能推出。xTx0(A)limf(x)=1 ⑻f(x-0)=1(C)f(x)=1(D)lim[f(x)-1]=000xTx0+0 xTx02、f(x)在x=x处有定义是limf(x)存在的 。0 xTx0（A）充分条件但非必要条件；（B）（A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件(C)充分必要条件；(C)充分必要条件；(D)既不是充分条件也不是必要条件3、若fx)=*，且(x)=A，则(A)f(x)=g(x) (B)limf(x)=g(x)x-^1(C)limf(x)=limg(x) (D)以上等式都不成立TOC\o"1-5"\h\zx-1 x-14、limf(x)=limf(x)是limf(x)存在的。x-x-0 x-x+0 xfx00 0(A)充分条件但非必要条件；(B)必要条件但非充分条件(C)充分必要条件； (D)既不是充分条件也不是必要条件x2-x2-4(2)lim =-4x--2x+4(4)(1)lim(3x-1)=8n-3(3)lim1+x3=1x-2x3 2limx(yx2-4-x)=-2x-+^五.求lim—x-0x

13x—1;x>1六.设f(x)二，12x;x<1求(1)lim求(1)limf(x)x-^1(2)limf(x)x-2(3)limf(x)x-0七.设函数f(x)=,求5x—3|x|(1)limf(x) (2)limf(x)(3)limf(x)(4)limf(x)(5)x-笆 x—―» x-+0 x——0limf(x)x-0§4无穷小与无穷大一、是非题1、零是无穷小。[ ]2、1是无穷小。x[ ]3、两个无穷小之和仍是无穷小。TOC\o"1-5"\h\z[ ]4、两个无穷小之积仍是无穷小。[ ]5、两个无穷大之和仍是无穷大。[ ]6、无界变量必是无穷大量。[ ]7、无穷大量必是无界变量。[ ]8、a,0是xfx时的无穷小，则对任意常数A、B、C、D、E,0\o"CurrentDocument"Aa2+Bap+C02+Da+E0也是xfx时的无穷小。 [ ]0二．单项选择题1、若x是无穷小，下面说法错误的是。（A）X2是无穷小；（B）2x是无穷小；（C）x-0.0001是无穷小；（D）-x是无穷小。2、在XT0时，下面说法中错误的是。11 1（A）xsinx是无穷小（B）%sin1是无穷小（C）—sin—是无穷大；（D）—是x xx x无穷大。3、下面命题中正确的是。（A）无穷大是一个非常大的数； （B）有限个无穷大的和仍为无穷大；（C）无界变量必为无穷大； （D）无穷大必是无界变量。三．下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量(1)lnx(xf1)及(xf0+)(2)(3)ex(xf+s)及(xf—s)(4)iex(x(1)lnx(xf1)及(xf0+)(2)(3)ex(xf+s)及(xf—s)(4)iex(x—++0)、(x—f—0)及(xf0)四．证明函数y=xcosx在(0,+s)内无界，但当xfW时，这函数不是无穷大。§5极限的运算法则一．是非题1、R(x)=p且是有理分式，且Q(x)丰0,T(x)是多项式，Q(x)那末2、limR(x)+T(x)]xfx0=R(x)+T(x).limnfs1+2+3+…+n 12 n 二lim——+lim——+...+lim——二0.n2nfsn2nfsn2nfsn23、11limxsin—=limx.limsin—=0xf0 x xf0xf0 x4、若lim犯xfx0g(x)存在，且limg(x)=0,则可断言limf(x)=0xfx0xfx0二．计算下列极限⑴lim上±5xf2x—3x2—2x+1(2)lim 1x(sin +2) (xf0)x（3）(x+h)2—x2lim h-0 h（4）limx-85）（3）(x+h)2—x2lim h-0 h（4）limx-85）x2+x

lim x-0x4-3x2+1(6)limx-4⑺lim(1+-+-+…+—)n-8 24 2n（8）limn-81+2+3+—\-(n—1)n213(9) lim(——— )x-11—x1一x3(n-1)(n-2)(n-3)lim n-8 5n3(10)limexarctanxx--8(13)lim(xx2+1-yx2-1)x-8四.已知limx2+a+b=2,求常数a,和b。x-2x2-x-2limsinx•.1+sinx-0 xx+vx+-、；x(14)lim3——. ——x-+8 v'2x+1五．已知lim(x-8x3-1x2+1—ax—b)=1,§6极限存在准则，两个重要极限一．是非题TOC\o"1-5"\h\z1、limy=limz—a,且当n>N时有y<x<z,那么limx=a. [ ]n n nnn nn-8 n-8 x-82、如果数列x满足：(1)x<a(n—1,2...,a为常数；(2)x>x(n=1,2…).n n nn+1则xn必有

极限sinx3、lim =13、x—8x4、lim(1+1)n=1n—8 n5．1lim(1+x)x=85．x-0二．单项选择题1、列极限中，极限值不为0的是(A)lim1、列极限中，极限值不为0的是(A)lim史暨x—8x;(B)lim2sinx+3cosx (C)limx2sin1x—0 x(D)limx—-ox22、(A)A>B(B)AeB(C)|A|>B2、(A)A>B(B)AeB(C)|A|>B(D)|A|2|B|若f(x)>p(x),且limf(x)=A,lim①(x)=B,则必有x-axx-a3、4、(A)e(B)e1000(C)e•ei000(D)3、4、(A)e(B)e1000(C)e•ei000(D)其它值lim与

x母sinx(A)1(B)-1(C)0(D)8lim(1+—)n+1000的值是nx—85、(A)-1(B)1(C)05、(A)-1(B)1(C)0(D)不存在11lim(xsin———sinx)=x-0xxx-0三．计算下列极限（1）lim兀f0sin2x(2)limtg3x-xf0x（3）limhhf+o<1-cosax1-cos2x(4)lim xf0xsinx（5）1lim(1-x)xxf0(6)limx/1+2xxf0（7）1（7）1+Xx

lim( )2xX—8X1(8)lim(1—(k为正整xf8 x数）（9）(10) （9）(10) lim(1-3sinx)2cosxxf01lim(1———)3xxf8 x2lim"+xfjxf0 sin3x1sin3x+x2sin—lim xxf0 (1+cosx)xTOC\o"1-5"\h\z11 1.利用夹逼准则证明：limn( + +—F )=1n4gn2+1n2+2n2+n12.设x=a>0,x=-(x+—)n=1,2,3,—,利用单调有界准则证明：数1 n+1 2nxn列｛x｝收敛，并求其极限。n§7无穷小的比较一，．是非题1、a,仇丫是同一极限过程中的无穷小，且a~P,P〜0则必有a7。TOC\o"1-5"\h\z[ ]tgx-sinxx-x、•「xT0时可sinx~x,「.lim =lim =0xTsin3x xT0x3[ ]3、已知limHsA=1，由此可断言，当xT0时,cosx与(1-x)为等价无穷小。xT01-x[ ].当xT0时，sin3x与ex-1是同阶无穷小。[ ].当xT1时，1-3，x是x-1的高阶无穷小。[ ]二.单项选择题1、x-0时，1—cosx是*2的。

（A）高阶无穷小（B）同阶无穷小，但不等价 （C）等价无穷小 （D）低阶无穷小2、当x-0时，（1—cosx）2是sin2x的。（A）高阶无穷小（B）同阶无穷小，但不等价（C）等价无穷小（D）低阶无穷小3、如果％38时, 1 是比高阶的无穷小，则a,b,c应满足 。ax2+bx+cx+1（A）a=0,b=1,c=1 （B） a中0,b=1,c为任意常数（C）a。0,b,c为任意常数 （D）a,b,c都可以是任意常数4、x31时与无穷小1—x等价的是。(A)M-x3) (B)-1-4x) (C)M-x2) (D)2 2 25.下列极限中，值为1的是兀smxlim 兀smxlim 2xx38兀sinxlim x302x(C)「兀sinx

lim 国2xx32(D)「兀sinxlim x3兀2x2三.证明：当x30时，3(cosx-cos2x)~x2。——工…，」.二 -二__:— 1 , …四.确定a的值，使,1+tanx-、口+sinx~ x小(x30)4§8函数的连续性与间断点

是非题1、f(x)在其定义域(a,b)内一点x0处连续的充分必要条件是f(x)在乂0既左连续又右连续。TOC\o"1-5"\h\z[ ]2、f(x)在x0有定义，且limf(x)存在，则f(x)在x0连续。xfx0[ ]3、f(x)在其定义域(a,b)内一点x0连续，则limf(x)=f(limx)x-x0 x.x0[ ]4、f(x)在(a,b)内除x0外处处连续，点乂0是f(x)的可去间断点，贝IJf(x)xe(a,x)或(％,b)F(x)=(•门、0 0在(a,b)内连续11mf(x),x=x0x-x0TOC\o"1-5"\h\z[ ]5、f(x)在x=x0无定义，则f(x)在*0处不连续。[ ]二．单项选择题1、f(x)在点x处有定义是f(x)在点x=x连续的 。0 0(A)必要条件而非充分条件 (B)充分条件而非必要条件(C)充分必要条件 (D)无关条件2、limf(x)=f(x)是f(x)在x=x连续的。0 0lx0(A)必要条件而非充分条件 (B)充分条件而非必要条件(D)无关条件(C)(D)无关条件1x=0是f(x)=sinx-sin—的x(A)可去间断点(B)跳跃间断点(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)振荡间断点(D)无穷间断点x2—1 14、x2—1 14、f(x)=｛』'x<1,则x二1是f(x)的。2x,x>1,(A)连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)无穷间断点5、f(x)二sinxxH ,x<0,x0,x=0,xcos—,x>0,

x则x=0是f(x)的(A)连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)振荡间断点6、设函数f(x)=(1-x)cotx,则定义f(0)为时f(x)在x=0处连续1(A)- (B)e(C)-e(D)无论怎样定义f(0),f(x)在x=0处e也不连续三．研究下列函数的连续性，并画出图象。f(、-x2;0-x—1 o,(、—x;—1—x—1(1)f(x)=<c _ (2)f(x)=<i 12—x;1<x—2 1;x<—1或x>1四．判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的 定义使其连续。x2—1y= x=1,x=2x2—3x+2… x -兀-y=——x=k兀 x=k兀+—(k-0,±1,±2•-)tgx 2Ix—1;x<1(3)y=< x=1(3)13—x;x>1五.讨论函数f(x)=lim匕上的连续性，若有间断点判断其类型。nS1+x2n§9连续函数的运算与初等函数的连续性一．是非题1、f(x),g(x)在x=x0连续，则f2(x)+2f(x).g(x)—3g(x)在x=x0也连续。TOC\o"1-5"\h\z[ ]2、f(x)在x=x连续，g(x)在x=x不连续，则f(x)+g(x)在x一定不连00 0续。[ ]3、f(x)在*0连续，g(x)在*0不连续，则f(x).g(x)在*0一定不连续。[ ]4、f(x)=xsinx在(-8,+8)上连续。ex[ ]5、不连续函数平方后仍为不连续函数。[ ].求函数f(x)=x3+3x"x—3的连续区间。x2+x-6「2x—1;0<x<1,,.求函数f(x)=| 的连续区间。〔3x;1<x<3四..设函数f(x)=「'x;x<0应当怎样选择数a,使得f(x)成为(-8,+8)内的a+x;x>0连续函数。五．求下列极限cos2x—cos2a（1）lim xfa xa（2）limln（1+2x）

x.0Sin5x⑶lim1-'cos士x.+01-cosx(4)1<1+tanx-v1+sinxlim x.0 'x3-1(5)(6)lim3arctanxX-8(5)(6)lim3arctanxX-8lim xf+0六.设函数sinax71-cosxf(x)=\b1r一,、—[Inx-ln(x2+x)x问a,b为何值时，f(x)在(-8,+8)内连续§10闭区间上连续函数的性质一.是非题1、f(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内一定有最大值和最小值。［ ］2、设f(x)在［a,b］上连续且无零点，则f(x)在上［a,b］恒为正或恒为负。［ ］3、f(x)在［a,b］上连续且单调，f(a)・f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点。［］4、若f(x)在闭区间［a,b］有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)・f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有零点。