八年级反比例函数与一次函数综合题型含答案

第页反比例函数及一次函数综合一．选择题（共12小题）1．已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则=_________．2．如图，正比例函数y=kx（k＞0）及反比例函数y=的图象相交于A,C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC．若△ABC的面积为S，则（）A．S=1B．S=2C．S=3D．S的值不能确定3．如图，已知点A是一次函数的图象及反比例函数的图象在第一象限内的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且OA=OC，△AOB的面积为，则AC的长为（）A．B．C．D．44．已知直线y1=x，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1,y2,y3中的最小值，则y的最大值为（）A．2B．C．D．5．如图，直线y=+3及双曲线y=（x＞0）相交于B，D两点，交x轴于C点，若点D是BC的中点，则k=（）A．1B．2C．3D．46．如图，一次函数y=ax+b的图象及x轴,y轴交于A,B两点，及反比例函数的图象相交于C,D两点，分别过C,D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E,F，连接CF,DE，有下列结论：①△CEF及△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．57．函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③当x=1时，BC=3；④当x渐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④8．如图，已知一次函数y=x+1的图象及反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，及x轴相交于点C，AB⊥x轴于B，△AOB的面积为1，则AC的长为（）A．B．2C．4D．59．正比例函数y=x及反比例函数的图象相交于A,C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（）A．2mB．2C．mD．110．如图，直线AB交y轴于点C，及双曲线（k＜0）交于A,B两点，P是线段AB上的点（不及A,B重合），Q为线段BC上的点（不及B,C重合），过点A,P,Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D,E,F，连接OA,OP,OQ，设△AOD的面积为S1,△POE的面积为S2,△QOF的面积为S3，则有（）A．S1＜S2＜S3B．S3＜S1＜S2C．S3＜S2＜S1D．S1,S2,S3的大小无法确定11．如图，点A是直线y=﹣x+5和双曲线在第一象限的一个交点，过A作∠OAB=∠AOX交x轴于B点，AC⊥x轴，垂足为C，则△ABC的周长为（）A．B．5C．D．12．如图，函数y=x及y=的图象交于A,B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则△BOC的面积为（）A．8B．6C．4D．2二．解答题（共18小题）13．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数及反比例函数的图象相交于A（2，1）,B（﹣1，﹣2）两点，及x轴交于点C．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求△AOC的面积．14．如图，一次函数y=x+1及反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC．15．如图，直线y=x及双曲线y=相交于A,B两点，BC⊥x轴于点C（﹣4，0）．（1）求A,B两点的坐标及双曲线的解析式；（2）若经过点A的直线及x轴的正半轴交于点D，及y轴的正半轴交于点E，且△AOE的面积为10，求CD的长．16．如图，已知反比例函数（k1＞0）及一次函数y2=k2x+1（k2≠0）相交于A,B两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2．（1）求出反比例函数及一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？17．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，及反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，已知函数的图象及一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象及函数的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标．19．如图，一次函数y=ax+b的图象及反比例函数y=的图象交于M（﹣2，1），N（1，t）两点．（1）求k,t的值．（2）求一次函数的解析式．（3）在x轴上取点A（2，0），求△AMN的面积．20．如图，直线y=kx+b及反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A,点B，及x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．21．已知一次函数y=kx+b的图象及反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标及B点的纵坐标都是2，如图：（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3…标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由．22．如图，反比例函数y=的图象及一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．（1）求反比例函数及一次函数的函数关系式；（2）依据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO,BO，求△ABO的面积；（4）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满意条件的点P的坐标．23．如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且及x轴相交于点C，求|AO|：|AC|的值；（3）若D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出全部满意条件的D点的坐标．24．阅读下面材料，然后解答问题：在平面直角坐标系中，以随意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为（，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0）的图象关于y轴对称，直线y=+及两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC,OB．（1）求a,b,k的值及点C的坐标；（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O,C,B,D为顶点的四边形是平行四边形，恳求出点D的坐标．25．（如图，已知反比例函数（m是常数，m≠0），一次函数y=ax+b（a,b为常数，a≠0），其中一次函数及x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满意：①PA⊥x轴；②PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，推断点Q是否在该反比例函数的图象上．26．如图．已知A,B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）．直线AB及反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式．（2）求∠ACO的度数．（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．27．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数y=的图象经过点（1，4），菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上．（1）求反比例函数的关系式；（2）直接写出菱形OABC的面积．28．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB,BC翻折，得到正方形MABC′,NA′BC．设线段MC′,NA′分别及函数（x＞0）的图象交于点E,F，求线段EF所在直线的解析式．29．如图所示，直线y=kx+6及函数y=（x＞0，m＞0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且及x轴,y轴分别交于D,C两点．又AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．已知△COD的面积是△AOB面积的倍．（1）求y1﹣y2的值．（2）求k及m之间的函数关系式，并画出该函数图象的草图．（3）是否存在实数k和m，使梯形AEFB的面积为6？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．30．●探究：（1）在图中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．①若A（﹣1，0），B（3，0），则E点坐标为_________；②若C（﹣2，2），D（﹣2，﹣1），则F点坐标为_________；（2）在图中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程．●归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_________，y=_________．（不必证明）●运用：在图中，一次函数y=x﹣2及反比例函数的图象交点为A，B．①求出交点A，B的坐标；②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．八年级反比例函数及一次函数综合参考答案及试题解析一．选择题（共12小题）1．（2012•内江）已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则=．考点：反比例函数综合题．分析：延长MnPn﹣1交M1P1于N，先依据反比例函数上点的坐标特点易求得M1的坐标为（1，1）；Mn的坐标为（n，）；然后依据三角形的面积公式得=P1M1×P1M2+M2P2×P2M3+…+Mn﹣1Pn﹣1×Pn﹣1Mn，而P1M2=P2M3=…=Pn﹣1Mn=1，则=（M1P1+M2P2+…+Mn﹣1Pn﹣1），经过平移得到面积的和为M1N，于是面积和等于（1﹣），然后通分即可．解答：解：延长MnPn﹣1交M1P1于N，如图，∵当x=1时，y=1，∴M1的坐标为（1，1）；∵当x=n时，y=，∴Mn的坐标为（n，）；∴=P1M1×P1M2+M2P2×P2M3+…+Mn﹣1Pn﹣1×Pn﹣1Mn=（M1P1+M2P2+…+Mn﹣1Pn﹣1）=M1N=（1﹣）=．故答案为．点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满意反比例函数的解析式；驾驭三角形的面积公式．2．（2000•天津）如图，正比例函数y=kx（k＞0）及反比例函数y=的图象相交于A,C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC．若△ABC的面积为S，则（）A．S=1B．S=2C．S=3D．S的值不能确定考点：反比例函数及一次函数的交点问题；三角形的面积．专题：数形结合．分析：依据正比例函数y=kx（k＞0）及反比例函数y=的图象均关于原点对称，可求出A,C两点坐标的关系，设出两点坐标再依据三角形的面积公式即可解答．解答：解：∵正比例函数y=kx（k＞0）及反比例函数y=的图象均关于原点对称，∴设A点坐标为（x，），则C点坐标为（﹣x，﹣），∴S△AOB=OB•AB=x•=，S△BOC=OB•|﹣|=|﹣x|•|﹣|=，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC=+=1．故选A．点评：本题考查的是反比例函数及正比例函数图象的特点，解答此题的关键是找出A,C两点坐标的关系，设出两点坐标即可．3．如图，已知点A是一次函数的图象及反比例函数的图象在第一象限内的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且OA=OC，△AOB的面积为，则AC的长为（）A．B．C．D．4考点：反比例函数及一次函数的交点问题；两点间的距离公式；反比例函数系数k的几何意义．专题：代数几何综合题．分析：先依据△AOB的面积求出k的值进而求出反比例函数的解析式，依据正比例函数及反比例函数有交点可求出A点坐标，利用两点间的距离公式可求出OC的长，由OA=OC可求出C点的坐标，再利用两点间的距离公式即可解答．解答：解：∵A点在反比例函数y=的图象上，∴设A点的横坐标为x，则纵坐标为，∵△AOB的面积为，即x•==，∴k=，∴此反比例函数的解析式为y=，∵一次函数的图象及反比例函数y=的图象在第一象限内的交点，∴x=，∴x=1或x=﹣1（舍去），∴A点坐标为（1，），∴OA==2，∵OA=OC，∴C点坐标为（﹣2，0），∴AC==2．故选B．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及两点之间的距离公式,用待定系数法求反比例函数的解析式,各象限内点的坐标特点，难度适中．4．已知直线y1=x，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1,y2,y3中的最小值，则y的最大值为（）A．2B．C．D．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：分别联立三个函数解析式，求交点坐标，再取最大值．解答：解：联立，解得或，联立，解得，联立，解得或，∴当x≤﹣时，y1最小，其最大值为﹣，当﹣＜x＜0时，y2最小，其最大值不存在，当0＜x≤3﹣时，y1最小，其最大值为3﹣，当3﹣＜x≤时，y1最小，其最大值为，当＜x≤2时，y2最小，其最大值不存在，当2＜x≤3+时，y2最小，其最大值不存在，当x＞3+时，y3最小，其最大值不存在，故选B．点评：本题考查了反比例函数及一次函数的交点问题．关键是求各交点坐标，分段比较，确定最大值．5．如图，直线y=+3及双曲线y=（x＞0）相交于B，D两点，交x轴于C点，若点D是BC的中点，则k=（）A．1B．2C．3D．4考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：综合题．分析：首先依据直线y=+3可以求出C的坐标，然后设B（x1，y1），D（x2，y2），由D是BC中点得到2x2=x1+6①，联立方程y=﹣x+3，y=，然后消去y得x2﹣3x+k=0，接着利用韦达定理可以得到x1+x2=6②，x1x2=2k③，联立它们即可求解．解答：解：∵直线y=+3，∴当y=0时，x=6，∴C（6，0），设B（x1，y1），D（x2，y2），∵D是BC中点，那么2x2=x1+6，∴x1=2x2﹣6①，联立方程y=﹣x+3，y=，然后消去y得﹣x+3=，∴x2﹣3x+k=0，依据韦达定理x1+x2=6②，x1x2=2k③，用①代入②3x2﹣6=6，∴x2=4，∴x1=2×4﹣6=2，由③2k=x1x2=8，那么k=4．故选D．点评：此题主要考查了一次函数及反比例函数的交点坐标问题，同时也利用了中点坐标的公式，其中利用方程组和待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要娴熟驾驭这种方法．6．如图，一次函数y=ax+b的图象及x轴,y轴交于A,B两点，及反比例函数的图象相交于C,D两点，分别过C,D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E,F，连接CF,DE，有下列结论：①△CEF及△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．5考点：反比例函数及一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；平行线的判定；三角形的面积；全等三角形的判定及性质．专题：证明题．分析：此题要依据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S△DFE=|xD|•|yD|=k，同理可求得△CEF的面积也是k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E,F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后依据这个条件来逐一推断各选项的正误．解答：解：设点D的坐标为（x，），则F（x，0）．由函数的图象可知：x＞0，k＞0．∴S△DFE=DF•OF=|xD|•||=k，同理可得S△CEF=k，故⑤正确；故S△DEF=S△CEF．故①正确；若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，∴四边形DBEF是平行四边形，∴S△DEF=S△BED，同理可得S△ACF=S△ECF；由①得：S△DBE=S△ACF．又∵CD∥EF，BD,AC边上的高相等，∴BD=AC，故④正确；法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，而且EF是公共边，即AC=EF=BD，∴BD=AC，故④正确；因此正确的结论有4个：①②④⑤．故选C．点评：本题通过反比例函数的性质来证图形的面积相等，依据面积相等来证线段的平行或相等，设计奇妙，难度较大．7．函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③当x=1时，BC=3；④当x渐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④考点：反比例函数及一次函数的交点问题．分析：反比例函数及一次函数的交点问题．运用一次函数和反比例函数的性质来解决的一道常见的数形结合的函数试题．一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数及反比例函数组成的方程组的解．依据k＞0确定一次函数和反比例函数在第一象限的图象特征来确定其增减性；依据x=1时求出点B点C的坐标从而求出BC的值；当x=2时两个函数的函数值相等时依据图象求得x＞2时y1＞y2．解答：解：①由一次函数及反比例函数的解析式，解得，，∴A（2，2），故①正确；②由图象得x＞2时，y1＞y2；故②错误；③当x=1时，B（1，3），C（1，1），∴BC=3，故③正确；④一次函数是增函数，y随x的增大而增大，反比例函数k＞0，y随x的增大而减小．故④正确．∴①③④正确．故选A．点评：本题主要是考学生对两个函数图象性质的理解．这是一道常见的一次函数及反比例函数结合的一道数形结合题目，须要学生充分驾驭一次函数和反比例函数的图象特征．理解一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数及反比例函数组成的方程组的解．8．如图，已知一次函数y=x+1的图象及反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，及x轴相交于点C，AB⊥x轴于B，△AOB的面积为1，则AC的长为（）A．B．2C．4D．5考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：计算题；数形结合；待定系数法．分析：首先可以依据△AOB的面积为1求出k的值，然后联立y=x+1可以求出A的坐标，也可以依据一次函数的解析式求出C的坐标，接着利用勾股定理即可求出AC的长．解答：解：设A的坐标为（x，y），∴xy=k，又∵△AOB的面积为1，∴xy=k，∴k=2，∴y=，当y=0时，y=x+1=0，∴x=﹣1，∴C的坐标为（﹣1，0），而A的坐标满意方程组，解之得x=﹣2或x=1，而A在第一象限，∴A的横坐标为x=1，纵坐标为y=x+1=2，∴AC==2．故选B．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题肯定要正确理解k的几何意义．9．正比例函数y=x及反比例函数的图象相交于A,C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（）A．2mB．2C．mD．1考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：先解方程组得到A（，），C（﹣，﹣），则OB=OD=，AB=CD=，得到四边形ABCD的面积=2S△ADB=2•••2=2m．解答：解：解方程组得，或，∴A（，），C（﹣，﹣），而AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，∴OB=OD=，AB=CD=，∴四边形ABCD的面积=2S△ADB=2•••2=2m．故选A．点评：本题考查了求直线及反比例函数图象的交点坐标：解两个解析式所组成的方程组即可；也考查了三角形的面积公式．10．如图，直线AB交y轴于点C，及双曲线（k＜0）交于A,B两点，P是线段AB上的点（不及A,B重合），Q为线段BC上的点（不及B,C重合），过点A,P,Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D,E,F，连接OA,OP,OQ，设△AOD的面积为S1,△POE的面积为S2,△QOF的面积为S3，则有（）A．S1＜S2＜S3B．S3＜S1＜S2C．S3＜S2＜S1D．S1,S2,S3的大小关系无法确定考点：反比例函数及一次函数的交点问题．分析：由于点A在y=上，可知S△AOD=，又由于点P在双曲线的上方，可知S△POE＞，而Q在双曲线的下方，可得S△QOF＜，进而可比较三个三角形面积的大小．解答：解：如右图，∵点A在y=上，∴S△AOD=，∵点P在双曲线的上方，∴S△POE＞，∵Q在双曲线的下方，∴S△QOF＜，∴S3＜S1＜S2．故选B．11．如图，点A是直线y=﹣x+5和双曲线在第一象限的一个交点，过A作∠OAB=∠AOX交x轴于B点，AC⊥x轴，垂足为C，则△ABC的周长为（）A．B．5C．D．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：数形结合．分析：易得点A的坐标，依据等角对等边可得AB=OB，那么△ABC的周长为AC及OC之和．解答：解：，解得或，由图可得点A坐标为（3，2），∵∠OAB=∠AOX，∴AB=OB，∴△ABC的周长=AC+OC=5，故选B．点评：考查一次函数及反比例函数交点问题；得到△ABC的周长的关系式是解决本题的关键．12．如图，函数y=x及y=的图象交于A,B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则△BOC的面积为（）A．8B．6C．4D．2考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：先求出A,B的坐标，即可利用三角形的面积公式求出△BOC的面积．解答：解：把y=x及y=组成方程组得，，解得，．∴A（2，2），B（﹣2，﹣2），∴S△COB=CO•BF=×2×2=2．故选D．点评：本题考查了反比例函数及一次函数的交点问题，求出函数图象的交点坐标是解题的关键．二．解答题（共18小题）13．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数及反比例函数的图象相交于A（2，1）,B（﹣1，﹣2）两点，及x轴交于点C．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求△AOC的面积．考点：反比例函数及一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积．分析：（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k≠0）；反比例函数解析式为y2=（a≠0），将A（2，1）,B（﹣1，﹣2）代入y1得到方程组，求出即可；将A（2，1）代入y2得出关于a的方程，求出即可；（2）求出C的坐标，依据三角形的面积公式求出即可．解答：解：（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k≠0）；反比例函数解析式为y2=（a≠0），∵将A（2，1）,B（﹣1，﹣2）代入y1得：，∴，∴y1=x﹣1；∵将A（2，1）代入y2得：a=2，∴；答：反比例函数的解析式是y2=，一次函数的解析式是y1=x﹣1．（2）∵y1=x﹣1，当y1=0时，x=1，∴C（1，0），∴OC=1，∴S△AOC=×1×1=．答：△AOC的面积为．点评：本题考查了对一次函数及反比例函数的交点，三角形的面积，用待定系数法求一次函数,反比例函数的解析式的应14．（2012•雅安）如图，一次函数y=x+1及反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）将A的坐标代入反比例函数解析式中，求出k的值，即可确定出反比例函数解析式；（2）将反比例函数解析式及一次函数解析式联立组成方程组，求出方程组的解，依据B所在的象限即可得到B的坐标；（3）三角形ABC的面积可以由BC为底边，A横坐标肯定值及B横坐标肯定值之和为高，利用三角形的面积公式求出即可．解答：解：（1）将A点坐标代入反比例函数y=，得k=6，故反比例函数的解析式为y=；（2）由题意将两函数解析式联立方程组得：，消去y得：x（x+1）=6，即x2+x﹣6=0，分解因式得：（x+3）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣3，x2=2，∴B点坐标为（﹣3，﹣2）；③在△ABC中，以BC为底边，高为|2|+|（﹣3）|=5，则S△ABC=×2×5=5．点评：此题考查了反比例函数及一次函数的交点问题，涉及的知识有：因式分解法解一元二次方程，待定系数法确定函数解析式，坐标及图形性质，以及三角形面积公式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时留意敏捷运用．15．（2012•贵港）如图，直线y=x及双曲线y=相交于A,B两点，BC⊥x轴于点C（﹣4，0）．（1）求A,B两点的坐标及双曲线的解析式；（2）若经过点A的直线及x轴的正半轴交于点D，及y轴的正半轴交于点E，且△AOE的面积为10，求CD的长．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．分析：（1）求出B的横坐标，代入y=x求出y，即可得出B的坐标，把B的坐标代入y=求出y=，解方程组即可得出A的坐标；（2）设OE=x，OD=y，由三角形的面积公式得出xy﹣y•1=10，x•4=10，求出x,y，即可得出OD=5，求出OC，相加即可．解答：解：（1）∵BC⊥x，C（﹣4，0），∴B的横坐标是﹣4，代入y=x得：y=﹣1，∴B的坐标是（﹣4，﹣1），∵把B的坐标代入y=得：k=4，∴y=，∵解方程组得：，，∴A的坐标是（4，1），即A（4，1），B（﹣4，﹣1），反比例函数的解析式是y=．（2）设OE=x，OD=y，由三角形的面积公式得：xy﹣y•1=10，x•4=10，解得：x=5，y=5，即OD=5，∵OC=|﹣4|=4，∴CD的值是4+5=9．16．（2011•烟台）如图，已知反比例函数（k1＞0）及一次函数y2=k2x+1（k2≠0）相交于A,B两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2．（1）求出反比例函数及一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？考点：反比例函数及一次函数的交点问题．分析：（1）设OC=m．依据已知条件得，AC=2，则得出A点的坐标，从而得出反比例函数的解析式和一次函数的表达式；（2）易得出点B的坐标，反比例函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方时，即y1大于y2．解答：解：（1）在Rt△OAC中，设OC=m．∵tan∠AOC==2，∴AC=2×OC=2m．∵S△OAC=×OC×AC=×m×2m=1，∴m2=1．∴m=1，m=﹣1（舍去）．∴m=1，∴A点的坐标为（1，2）．把A点的坐标代入中，得k1=2．∴反比例函数的表达式为．把A点的坐标代入y2=k2x+1中，得k2+1=2，∴k2=1．∴一次函数的表达式y2=x+1；（2）B点的坐标为（﹣2，﹣1）．当0＜x＜1或x＜﹣2时，y1＞y2．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，以及用待定系数法求二次函数的解析式，是基础知识要娴熟驾驭．17．（2011•泰安）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，及反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：探究型．分析：（1）依据一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）可得到关于b,k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x﹣2求出m的值，由M（3，4）在双曲线上即可求出k2的值，进而求出其反比例函数的解析式；（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．解答：解：（1）∵直线y=k1x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点∴，∴∴一次函数的表达式为y=2x﹣2．（3分）∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D∵S△OBM=2，∴，∴∴n=4（5分）∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，∴m=3∵M（3，4）在双曲线上，∴，∴k2=12∴反比例函数的表达式为（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，∵MD⊥BP，∴∠PMD=∠MBD=∠ABO∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）∴在Rt△PDM中，，∴PD=2MD=8，∴OP=OD+PD=11∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）18．（2011•泸州）如图，已知函数的图象及一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象及函数的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：函数思想．分析：（1）将点A（1，m），B（n，2）代入反比例函数的解析式，求得m,n的值，然后将其代入一次函数解析式，即用待定系数法求一次函数解析式；（2）依据题意，写出一次函数变化后的新的图象的解析式，然后依据根的判别式求得a值．最终将a值代入其中，求得M的坐标即可．解答：解：（1）∵点A（1，m），B（n，2）在反比例函数的图象上，∴，解得，；∴一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，6），B（3，2）两点．∴，解得，，∴一次函数的解析式是y=﹣2x+8；（2）一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象的解析式是：y=﹣2（x+a）+8．依据题意，得，∴x2+（a﹣4）x+3=0；∴这个新图象及函数的图象只有一个交点，∴△=（a﹣4）2﹣12=0，解得，a=4±2；①当a=4﹣2时，解方程组，得，∴M（，2）；②当a=4+2时，解方程组，得∴M（﹣，﹣2）．∵M点在第一象限，故x＞0，x=﹣不符合题意，舍去，综上所述，a=4﹣2，M（，2）．点评：本题主要考查了反比例函数及一次函数交点问题．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要娴熟驾驭这种方法．19．（2010•雅安）如图，一次函数y=ax+b的图象及反比例函数y=的图象交于M（﹣2，1），N（1，t）两点．（1）求k,t的值．（2）求一次函数的解析式．（3）在x轴上取点A（2，0），求△AMN的面积．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：数形结合．分析：（1）把点M的坐标代入反比例函数表达式计算即可求出k的值，从而得到反比例函数解析式，再把点N的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出t的值；（2）利用待定系数法求一次函数解析式列式计算即可得解；（3）设一次函数及x轴的交点为B，求出点B的坐标，然后求出AB的长度，然后依据S△AMN=S△ABM+S△ABN，列式计算即可得解．解答：解：（1）∵点M（﹣2，1）在函数y=的图象上，∴=1，解得k=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣，又∵点N（1，t）在函数y=的图象上，∴﹣=t，解得t=﹣2；（2）∵一次函数y=ax+b的图象经过点M（﹣2，1），N（1，﹣2），∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1；（3）如图，设一次函数图象及x轴的交点为B，当y=0时，﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，∴点B坐标为（﹣1，0），∴AB=2﹣（﹣1）=2+1=3，∴S△AMN=S△ABM+S△ABN，=×3×1+×3×2，=+3，=．点评：本题考查了反比例函数及一次函数的交点问题，主要利用了待定系数法求函数解析式，以及三角形的面积的求解方法，先求出反比例函数解析式然后求出点N的坐标是解题的关键，也是本题的突破口．20．（2009•达州）如图，直线y=kx+b及反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A,点B，及x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：数形结合；待定系数法．分析：依据A的坐标为（﹣2，4），先求出k′=﹣8，再依据反比例函数求出B点坐标，从而利用待定系数法求一次函数的解析式为y=x+6，求出直线及x轴的交点坐标后，即可求出S△AOC=CO•yA=×6×4=12．解答：解：（1）∵点A（﹣2，4）在反比例函数图象上∴4=∴k′=﹣8，（1分）∴反比例函数解析式为y=；（2分）（2）∵B点的横坐标为﹣4，∴y=﹣，∴y=2，∴B（﹣4，2）（3分）∵点A（﹣2，4）,点B（﹣4，2）在直线y=kx+b上∴4=﹣2k+b2=﹣4k+b解得k=1b=6∴直线AB为y=x+6（4分）及x轴的交点坐标C（﹣6，0）∴S△AOC=CO•yA=×6×4=12．（6分）点评：主要考查了用待定系数法求函数解析式和反比例函数中k的几何意义，这里体现了数形结合的思想，做此类题肯定要正确理解k的几何意义．图象上的点及原点所连的线段,坐标轴,向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．21．已知一次函数y=kx+b的图象及反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标及B点的纵坐标都是2，如图：（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3…标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：开放型．分析：（1）因为反比例函数解析式已知，所以把A点的横坐标及B点的纵坐标代入即可求出A点的纵坐标及B点的横坐标，然后代入一次函数解析式中，用待定系数法解答．（2）在（1）的基础上，可求出一次函数及x轴的交点，利用求和的方法解答．（3）当OA为腰时，有三个点符合条件，当OA为底时，有一个点符合条件．解答：解：（1）反比例函数的图象经过A，B两点，且A点的横坐标及B点的纵坐标都是2；∴当x=2时，，把y=2代入解得：x=﹣4∴A点的坐标为（2，﹣4），B点的坐标为（﹣4，2）；（2分）∵y=kx+b（k≠0）经过A，B两点；∴把A（2，﹣4），B（﹣4，2）代入y=kx+b（k≠0）得：解得：k=﹣1，b=﹣2；把k=1，b=2代入y=kx+b（k≠0）得：y=﹣x﹣2；（2分）（2）设直线AB交x轴于点C，把y=0代入y=﹣x﹣2解得：x=﹣2；∴点C的坐标是C（﹣2，0）；∴S△AOB=S△BOC+S△OAC====6（3分）（3）如图，P1，P2，P3为所求，它们的坐标分别为：，，P3（0，﹣8），．点评：此题主要考查了一次函数,反比例函数,待定系数法以及等腰三角形的性质等，难易程度适中．22．如图，反比例函数y=的图象及一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．（1）求反比例函数及一次函数的函数关系式；（2）依据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO,BO，求△ABO的面积；（4）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满意条件的点P的坐标．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：待定系数法．分析：（1）依据待定系数法就可以求出函数的解析式；（2）视察图象可得出一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围；（3）先求出一次函数及x轴的交点坐标，再利用分割法将三角形的面积分为△BOC和△AOC的面积之和进行求解；（4）中求出的点要在反比例函数的图象上；解答：解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数图象上∴k=3即反比例函数关系式为y=∵点B（n，﹣1）在反比例函数图象上∴n=﹣3∵点A（1，3）和B（﹣3，﹣1）在一次函数y=mx+b的图象上∴解得∴一次函数关系式为y=x+2；（2）依据图象当﹣3＜x＜0，x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）设一次函数及x轴交点为C，令一次函数值y=0，得x=﹣2，∴C（﹣2，0）∴S△ABO=S△BOC+S△AOC=×|OC|×|yB|×|OC|×|yA|=×2×1+×2×3=4（4）当点P的坐标为（3，1），（﹣3，﹣1）等时，可使点A，O，P构成等腰三角形．点评：用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同时在求解面积时，要奇妙地利用分割法，将面积分解为两部分之和．23．如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且及x轴相交于点C，求|AO|：|AC|的值；（3）若D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出全部满意条件的D点的坐标．考点：反比例函数及一次函数的交点问题．专题：代数几何综合题．分析：（1）由三角形面积和反比例函数经过的点可以求出k和m的值；（2）由（1）的结果，可得出AO的长度，再由线段及坐标轴的交点求出直线方程，从而得出C点坐标，得出AC的值；（3）依据等腰三角形的性质及点在坐标轴上进行分类探讨，得出正确的结果．解答：解：（1）∵AB⊥x轴，∴．∵k＜0，∴．∵，∴m=2．故k和m的值分别为．（2）由（1）得m=2，∴，∴由已知得，∴，∴一次函数为，令，∴，∴．∵，∴．又∵AO==故．（3）由（2）知，AO=，又∵D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，∴由分析可知：满意D点的坐标为：（0，±），（0，4），（﹣2，0），（±，0）．点评：本题综合考查反比例函数及方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．同时还加入了分类探讨的内容．24．（2012•茂名）阅读下面材料，然后解答问题：在平面直角坐标系中，以随意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为（，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0）的图象关于y轴对称，直线y=+及两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC,OB．（1）求a,b,k的值及点C的坐标；（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O,C,B,D为顶点的四边形是平行四边形，恳求出点D的坐标．考点：反比例函数综合题．分析：（1）首先把A（a，1），B（1，b）代入y=和y=+可以得到方程组，解方程组即可算出a,b的值，继而得到A,B两点的坐标，再把B点坐标代入双曲线y=（x＞0）上，即可算出k值，再依据中点坐标公式算出C点坐标；（2）此题分三个状况：①四边形OCDB是平行四边形，②四边形OCBD是平行四边形，③四边形BODC是平行四边形．依据点的平移规律可得到D点坐标．解答：解：（1）依题意得，解得，∴A（﹣3，1），B（1，3），∵点B在双曲线y=（x＞0）上，∴k=1×3=3，∵点C为线段AB的中点，∴点C坐标为（，），即为（﹣1，2）；（2）将线段OC平移，使点O（0，0）移到点B（1，3），则点C（﹣1，2）移到点D（0，5），此时四边形OCDB是平行四边形；将线段OC平移，使点C（﹣1，2）移到点B（1，3），则点O（0，0）移到点D（2，1），此时四边形OCBD是平行四边形；线段BO平移，使点B（1，3）移到点C（﹣1，2），则点O（0，0）移到点D（﹣2，﹣1），此时四边形BODC是平行四边形．综上所述，符合条件的点D坐标为（0，5）或（2，1）或（﹣2，﹣1）．点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是驾驭凡是图象经过的点必能满意解析式．25．（2011•攀枝花）如图，已知反比例函数（m是常数，m≠0），一次函数y=ax+b（a,b为常数，a≠0），其中一次函数及x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满意：①PA⊥x轴；②PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，推断点Q是否在该反比例函数的图象上．考点：反比例函数综合题．专题：计算题．分析：（1）用待定系数法求解函数解析式即可得出答案；（2）先求出P点的坐标，然后用待定系数法即可求出函数解析式；（3）先求出P关于原点对称的点Q的坐标，然后代入反比例函数验证即可．解答：解：（1）∵一次函数y=ax+b及x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2），∴﹣4a+b=0，b=2，∴a=，∴一次函数的关系式为：y=x+2；（2）设P（﹣4，n），∴=，解得：n=±1，由题意知n=﹣1，n=1（舍去），∴把P（﹣4，﹣1）代入反比例函数，∴m=4，反比例函数的关系式为：y=；（3）∵P（﹣4，﹣1），∴关于原点的对称点Q的坐标为Q（4，1），把Q（4，1）代入反比例函数关系式符合题意，∴Q在该反比例函数的图象上．点评：本题考查了反比例函数的综合题，难度适中，关键是驾驭用待定系数法求解函数解析式．26．（2011•衡阳）如图．已知A,B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）．直线AB及反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式．（2）求∠ACO的度数．（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0，），B（2，0）分别代入，得到a，b方程组，解出a，b，得到直线AB的解析式；把D点坐标代入直线AB的解析式，确定D点坐标，再代入反比例函数解析式确定m的值；（2）由y=﹣x+2和y=﹣联立解方程组求出C点坐标（3，﹣），利用勾股定理计算出OC的长，得到OA=OC；在Rt△OAB中，利用勾股定理计算AB，得到∠OAB=30°，从而得到∠ACO的度数；（3）由∠ACO=30°，要OC′⊥AB，则∠COC′=90°﹣30°=60°，即α=60°，得到∠BOB′=60°，而∠OBA=60°，得到△OBB′为等边三角形，于是有B′在AB上，BB′=2，即可求出AB′．解答：解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0，），B（2，0）分别代入，得，解得k=﹣，b=2∴直线AB的解析式为：y=﹣x+2；∵点D（﹣1，a）在直线AB上，∴a=+2=3，即D点坐标为（﹣1，3），又∵D点（﹣1，3）在反比例函数的图象上，∴m=﹣1×3=﹣3，∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）过C点作CE⊥x轴于E，如图，依据题意得，解得或，∴C点坐标为（3，﹣），∴OE=3，CE=，∴OC==2，而OA=2，∴OA=OC，又∵OB=2，∴AB==4，∴∠OAB=30°，∴∠ACO=30°；（3）∵∠ACO=30°，而要OC′⊥AB，∴∠COC′=90°﹣30°=60°，即△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为60°时，OC′⊥AB；如图，∴∠BOB′=60°，而∠OBA=60°，∴BB′=2，∴AB′=4﹣2=2．点评：本题考查了利用待定系数法求图象的解析式．也考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满意函数图象的解析式和旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．27．（2011•贺州）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数y=的图象经过点（1，4），菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上．（1）求反比例函数的关系式；（2）直接写出菱形OABC的面积．考点：反比例函数综合题．分析：（1）运用待定系数法，把（1，4）代入y=即可求解；（2）依据菱形的对角线相互垂直平分，得菱形的两条对角线长分别是2和8，再依据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半进行计算．解答：解：（1）∵y=的图象经过点（1，4），∴4=，即k=4．∴所求反比例函数的关系式为y=；（2）连接AC交x轴于点D，∵四边形OABC是菱形，∴AD=CD，AD⊥OB，OD=BD，∴S△AOD=S△ABD=S△OCD=S△BCD，∵S△OAD=×4=2，∴S菱形OABC=8．点评：此题考查了待定系数法求函数解析式以及菱形的性质．思路：连对角线，一个小三角形面积是2，一共4个全等三角形，所以面积为8．28．（2010•苏州）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB,BC翻折，得到正方形MABC′,NA′BC．设线段MC′,NA′分别及函数（x＞0）的图象交于点E,F，求线段EF所在直线的解析式．考点：反比例函数综合题；一次函数的应用．专题：综合题．分析：（1）依据正方形的面积公式可求得点B的坐标，从而求得k值．（2）先依据正方形的性质求得点F的纵坐标和点E的横坐标，代入反比例函数解析式求得其坐标，利用待定系数法求得直线EF的解析式．解答：解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，∴OA=OC=2，∴点B坐标为（2，2），将x=2，y=2代入反比例解析式得：2=，∴k=2×2=4．（2）∵正方形MABC′,NA′BC由正方形OABC翻折所得，∴ON=OM=2AO=4，∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．∵点E,F在函数y=的图象上，∴当x=4时，y=1，即E（4，1），当y=4时，x=1，即F（1，4）．设直线EF解析式为y=mx+n，将E,F两点坐标代入，得，∴m=﹣1，n=5．∴直线EF的解析式为y=﹣x+5．点评：此题综合考查了反比例函数及一次函数的性质，综合性比较强，留意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．要会娴熟地运用待定系数法求函数解析式，这是基本的计算实力．29．（2010•双流县）如图所示，直线y=kx+6及函数y=（x＞0，m＞0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且及x轴,y轴分别交于D,