2024届四川省乐山市高三年级上册第一次调研考试文数试题（含答案）

机密★启用前〔考试时间：2023年12月20日下午3：00—5：00]

乐山市高中2024届第一次调查研究考试

文科数学

（本试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设全集。=1,2,3,4),集合A={l,2,3,4},B={0,2}力(KCuA)nB=

A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{—1,0,2}

2.已知复数之=号^,则复数力+i的实部为

A.4B.C.1D.-1

3.执行右边的程序框图，则输出的B=

A.-5

B.7

C.0

D.2

4.如图是某几何体的三视图，其中主视图和左视图是两个全等的正方形，且

边长为2，俯视图是直径为2的圆，则这个几何体的侧面积为

A.兀B,2兀

C.37rD.47r

5.已知cos($+Q)=2cosa4(jtana+tan2a

2R1111

A.3B-TD.-T

高三文科数学试题第1页（共4页）

6.对四组数据进行统计，获得如下散点图，关于其相关系数的比较,说法正确的是

051015202505101520250510152025

相关系数n相关系数0相关系数八

A.r4<r2<0<ri<r3B.r2<r4<0<r3<r1

C.r2<Zri<Z0<Zri<Zr3D.2VoVn

7.3个0和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为

A12

A-5BR•百C-—5D•春

8.设等差数列加”）的前n项和S“，若S3=9,Se=36,则a7+as+a9=

A.18B.27C.45

10.地处长江上游的四川省乐山市，多年来始终树立上游意识，落实上游责任，不断提升水环境

治理体系和治理能力现代化水平，为守护好这一江清水作出乐山贡献（摘自：人民网四川频

道）。为了解过滤净化原理，某中学科创实践小组的学生自制多层式分级过滤器，用于将含

有沙石的大渡河河水进行净化。假设经过每一层过滤可以过滤掉五分之一的沙石杂质，若

要使净化后河水中沙石杂质含量不超过最初的三分之一，则最少要经过多少层的过滤？

（参考数据：lg2心0.30,lg3«s0.48）

A.7B.6C.5D.4

11.已知函数/Gr）=sin（s+<p）（其中s>0,|卬|<夕）在z=套时取最大值，两条对称轴之间

的最小距离为科则直线Z：k一工十等与曲线尸了⑺的交点个数为

A.1B.2C.3D.4

12.已知函数/Xz）定义域为R,且满足fW=0,f（~x）=f（x）,f（1-0-/（l+O+4r=0,

给出以下四个命题：

①八一1）=八3）②八了+2）=/（乃

③八4）=64④函数y=f（x）~2x的图象关于直线工=1对称

其中正确命题的个数是

A.0B.1C.2D.3

高三文科数学试题第2页（共4页）

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

13.命题“3£GZ,*=2z”的否定是.

14.曲线y=e在了=1处的切线方程为.

15.若一个正三棱锥底面边长为1,高为噂，其内切球的表面积为.

16.已知正六边形ABCDEF边长为2,MN是正六边形ABCDEF的外接圆的一条动弦,

MN=2,P为正六边形ABCDEF边上的动点，则亘宓­同的最小值为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.

17.(本小题满分12分)

为吸引更多优秀人才来乐山干事创业，2023年10月27日，乐山市招才引智系列活

动一教育人才专场在西南大学北硝校区招聘大厅举行，其中，甲、乙两名大学生参加了面试,

10位评委打分如茎叶图所示：

甲乙

885575888

431108003355

99

(1)写出甲得分的中位数和乙得分的众数；

(2)现有两种方案评价选手的最终得分：

方案一:直接用10位评委评分的平均值；

方案二:将10位评委评分去掉一个最低分和一个最高分之后，取剩下8个评分的平均值.

请分别用以上两种方案计算两位同学的最终得分，并判断哪种评价方案更好？为什么？

18.(本小题满分12分)

已知数列｛4｝满足%=1,2na〃+i=(〃十1)即，设b=—.

nn

(1)求口求2,仇;

(2)判断数列｛4｝是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛%｝的通项公式.

高三文科数学试题第3页(共4页)

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD,

点E在棱PC上，PA〃平面EBD.

（1）试确定点E的位置，并说明理由；

⑵是否存在实数4，使三棱锥E—BPQ体积为母.

20.（本小题满分12分）

在平面四边形ABCD中，已知/BAO=3NBCD,AB=2,AD=展,BD=，访.

⑴若求CD；

（2）求△BCD面积的最大值.

21.（本小题满分12分）

已知函数FO）=loga2,gO）=a"其中实数a>1.

⑴当a=e时，求乂力岛在（。，+8）上的单调区间和极值;

（2）若方程g（2）一£产=1有两个零点，求实数a的取值范围.

请考生在第22—23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）

fz=2十2cosa

在直角坐标系zOy中，已知圆G的参数方程为4（a为参数），以坐标原点为

[y=l+2sina

极点，了轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求C1的极坐标方程；

⑵若直线G的极坐标方程为片于（pGR）,设G与Ci的交点为P,Q,求△3PQ的面积.

23.（本小题满分10分）

已知/（,）=2|R一a|一%+a,a>0.

⑴若曲线y=与直线尸。围成的图形面积为|■，求a的值;

（2）求不等式的解集.

高三文科数学试题第4页（共4页）

乐山市高中2024届第一次调查研究考试

文科数学参考答案及评分意见

2023.12

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

ABBDCBCCDCAB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.Vx€Z,一。2x；14.y=ex；

71

15.—；16.—1.

6

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

on!oi

17.解：⑴甲得分的中位数为------=80.5；.............2分

2

乙得分的众数为78；.............4分

(2)若使用方案一：

-75+75+78+78+80+81+81+83+84+99

x甲=------------------------------------=81.44.............5分

10

-75+78+78+78+80+80+83+83+85+85°八「

x乙=------------------------------------=80.5.............6分

10

因为x甲〉x乙，所以甲的得分较高..............7分

若使用方案二：

-75+78+78+80+81+81+8升84。八

昨=-------------o-----------=80.............8分

O

-78+78+78+80+80+83+83+85/

y乙=-----------------------------x80.6.............9分

8

因为亍甲＜3乙，所以乙的得分较高..............10分

方案二更好，因为有一个评委给甲选手评分为99,高出其他评委的评分很多，方案二可以规避个别

极端值对平均值的影响，评选结果更公平、更正..............12分

18.解：(1)：4=1,

(2)...2〃4用=(〃+1)%,...汽=(x组,即6"+1=<”..............6分

〃+12n2

又；4=1,..•{〃}是以1为首项，以g为公比的等比数列.................8分

(3)由(2)得"=1义弓)1=5.............10分

fl

所以%=7仍”=k.............12分

19.解：(1)£是尸。的中点.................1分

证明：

连结ZC,交BD于点、O,连结OE.

•.•底面Z5CD是正方形，

0是NC的中点.................2分

：尸2〃平面£5。，平面PNC。平面BDE=OE,

C.PAUOE............................4分

:。是/。的中点，

・•・£是尸。的中点.................6分

（2）E为PC中点、,

・・^E-BPD=]Vc—BPD=2Vp—DBC,...........................8分

24

右^E-BPD=§'则Vp—DBC=§

124

Vpi-DUDBKC^-3—•S/空\nlDJlC,•PD-3-，22=3—............................10分

.*.2=1.

2

存在4=1,使三棱锥£—AP。体积为一.................12分

3

20.解：（1）在△48。中，由余弦定理得:

AD2+AB?-BD?2+4—10旦

cosNBAD=...........................2分

2ADAB2x6x2~T

37r

0<NBAD<7i,ABAD=—...........................3分

4

71

・・・/BAD=3ZBCD,/BCD=-.4分

4

57r

VZBDC=—,在△BCD中，由正弦定理得:

12

BDCDmVlOCD

sinZBCD~sinZCBD'sm.—"一sm.—"

43

6分

（2）解法一:

37r号)

在△BCD中,设NBDC=a,ZCBD=——a,ee(0

4

由正弦定理得：一-------

./STC、.TC

sm(--6z)sin—

V10xsin(--a)-

：.CD=---------------------=275sin(--a).8分

.n4

sm—

4

]13兄

S4BCD=]5O.CZ).sina=—xV10X2A/5sin(--cif)sin6Z

=5-72sin(与-a)sina=5y/2(^-cosa+sina)sina

二5(sinacosa+sin2a)=5(—sin2aH-------------)

•o1o.5_5V2.7V5

—5(-sin2a—cos2oc)H—=------sin(2a)H—..............................11分

222242

rrjr37r5A/25

.••当且仅当2a—°=上，即a=不时ABCD面积取到最大值一+二

42822

故ABCD面积的最大值为述+*.

.............................12分

22

解法二：

在△BCD中，BD=屈,NBCD=°,由余弦定理得：

4

BD2=CD2+CB2-2CDCBcos/BCD..............................8分

即：1。=CD?+CB?-辰D•CB)(2-6)CD•CB

：.CDCBW，=5(2+V2)当且仅当CD=C8时取“=”..............................10分

2-V2

故ABCD面积的最大值为豆2+3.

.............................12分

22

V1—V

21.解：(1)由题可知，/z()=—(xeR),所以/z'(x)=——.............................1分

xexex

由〃'(x)<0,得〃>1；由〃'(x)>0,得〃<1..............................2分

所以//(x)在(0,1)单调递增,在(1,+00)单调递减..............................3分

所以/z(x)的极大值为/z⑴=工，无极小值.

.............................5分

e

(注：只给出极大值，没有说无极小值扣1分)

(2)因为g(x)—」为=1,所以a'—皎戛二=1,

XX

可得M*=X+logqX=logqW)..............................6分

令t=xax(a>1),可得/二优+xaxIna=a"(l+xlnQ)>0,

所以仁x优在(0,+oo)单调递增..............................7分

故g(x)-,/(x)=1有两个零点，等价于h(t)=Z-log/有两个零点.

.............................8分

X

可得〃'(/)=1———,

tina

当，£(0,-----)时，h'(t)<0；

Ina

当/£(---,+oo)时,h'(t)>0，

In(2

所以〃⑶在(0,L)递减，(L,+00)递增，

InQIna

111-J-

可得/z(/)min=/?(--)=-------log--=log(a,nfl-lno)..............................9分

InaInaInafl

XX，i

令logaS111。・lna)<0,所以a111。・liia<1,则---,

-Ina

设/=---，贝!Ja=e"°,aXna=ax°=(ex°)x°=e..............................10分

Ina

-J-11-

所以々Ma<-----,则e<------，则6Z€(l,ee)..............................11分

InaIna

因为用!)=工+1>0,〃(优)=优—a=a(优T—1)>0,

aa')')

此时存在两零点x^xJ其中玉£（—，----）,xG（------,+00）,且〃（X]）=/z（工2）=0,

2a]na2]na'

故。£（l,ee）..............................12分

（注：没有用零点存在定理判断扣1分）

22.解：（1）因为圆G的参数方程为<.（a为参数），

[y=1+2sina

则其直角坐标方程为C1：(X—2)2+3—1)2=4,即/+/—4x—2y+1=0................................2分

因为x=pcos3,y=psin3,.............................3分

故G的极坐标方程为Q之—4/7cos6—20sine+l=O..............................5分

7T

（2）因为G的极坐标方程为。=