2024版高考复习数学A版考点考法讲解：应用与创新

应用与创新

应用创新篇

应用创新0数学与实际生活第一■题是测量海岛的图.如图，点E,H,G在水

平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且

解决实际应用问题的关键在于建立数学

等高的测量标杆的高度，称为“表高”❸,EG称为

模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语

“表距”❺,GC和EH都称为“表目距”，GC与

言,找出问题的主要关系，并把问题的主要关

的差称为“表目距的差贝悔岛的高48=❷

系近似化,形式化，抽象成数学问题，再化为常

规问题，选择合适的数学方法求解.

1.解答应用题的基本思想

从熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题

出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括

和必要的逻辑推理,得出数学概念和规律，通表高x表距表高X表距

A.+表高表目距的差一衣同

过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰表目距的差

化、具体化,找到有效的解题途径——构建数表高X表距表高X表距一表距.

C.+表距

表目距的差表目距的差

学模型，将实际生活问题抽象为数学问题.用

信息提取

框图表不如下：

❶由四个选项结构形式可知，将所求的海岛高

度用已知的线段长表示出来，由图可知此题使

分析、联想、用解三角形知识解决，重新读题，在题中寻找

转化、抽象

包含这些量的三角形；

在分析联想的基

础上，腐化为数❷“海岛的高48="意思是将海岛的高48放

学问题，抽豪树I

涯一个或几个数I在可解的三角形中，在△48,或中虽有

学模型来求解

A8,但由选项可知，这两个三角形中均未有给

‘建立数学模型）

出的量“表高”“表距”“表目距”“表目距的

2.解决实际问题的步骤差”，故应通过作辅助线,将所给的各量包含在

1）审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量所作的三角形中；

关系,初步选择数学模型；❸“==表高”为两个直角三角形的直角

2）建模:将自然语言转化为数学语言，将文字边长；

语言转化为符号语言，利用数学知识，建立❹“GC与EH”的差称为“表目距的差”即表目

相应的数学模型；距的差=CC-E〃；

3）解模:求解数学模型,得出数学结论；❺线段EG的长度称为“表距”.

4）还原:将数学问题还原为实际问题.［解题导引］题目的实际背景为《海岛算经》中测

例1】（2021全国乙，9,5分）魏晋时期刘徽撰海岛的高的方法.读题时要抓住本题中的三个

写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中关键词——“表高”“表距”“表目距的差”，由

选项可知，将海岛的高用给出的这几个量表示2.理解新定义的概念、法则，对新定义所提取的

出.明确考查的内容与解三角形相关后，再确定信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求

要解的三角形是哪几个，则需寻找这些量间的相近知识点，明确它们的共同点和不同点.

关系.从实际背景的描述中通过添加辅助线构3.对新定义中提取的知识进行转换，有效的输

造出含有已知量的三角形，通过求解这几个三出，其中对新定义信息的提取和化归是解题

角形，把岛高表示出来即可，最后还原回用给的关键，也是解题的难点.如果是新定义的运

定的这几个量表示.算、法则，直接按照运算法则计算即可；如果

＞解析连接FD并延长交48于点M,则48=是新定义的性质，一般就要判断性质的适用

AM+BM,MF//AC.设乙BDM=a,ZBFM=。，则性,能否利用定义的外延，有时也用特值排除

MBMB尸r…r八GF等方法解决.

-=MF-MD=DF.又tan。=丁，tana

tanBtanaGC圆冷(多选)(2020新高考I,12,5分)信息

ED…MBMB(1

——，所以----------=MB\-----一\=MB嫡是信息论中的一个重要概念设随机变量X

EHtan[3tana(tan万tana)

所有可能的取值为1,2,…且P(X=i)=p,

在=皿所以tf-ff

,因为〉0(，=1,2,…，九)，。小=产,定义〉的信息

i=1

GC-EH介~MBMBGC-EH

------，所以----------=MB---------炳"(X)=-£pjog2P()

EDtan万tanaED

i=1

ED-DFED-EGA.若n=1,贝ljH(X)=0

又易知DF二EG,所以MB=

GC-EH~GC-EH

B.若n=2,贝U〃(X)随着小的增大而增大

表高X表距表高x表距

所以海岛的高48=C.若P,=^(i=l,2,…，")，则”(X)随着鼠的

表目距的差表目距的差

n

+表高(注意将各线段用专用的术语表示出增大而增大

来)，故选A.

D.若九=2加，随机变量y所有可能的取值为1,

2,…，且P(Y=j)=Pj+p2m+H(j=1,2,•••,

机)，则Y)

信息提取

“设随机变量X所有可能的取值为1,2,…，

屋意味着题目给出一个随机变量可以取到的

0数学中的新定义问题

应用创新值，形式上是一个概率问题；

新定义问题是相对于高中教材而言的,指n

「"P(X=i)=Pj〉0(i=1,2,…，鼠)，2p,=l"

在高中教材中不曾出现过的概念、定义、定理i=1

意思是随机变量取每一个值时的概率,这实际

以及性质.它的一般形式是由命题者先给出一

上是给出了一个分布列；

个新的概念，新的运算法则或者给出一个抽象

函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”❸“定义X的信息嫡H(x)=-£P,log2P」是

i=1

去解决相关的问题.一个用求和符号给出的新定义,可以依据求和

新定义问题的解题步骤：

符号的意义，将其展开为〃(X)=-火

1.对新定义进行信息提取，明确新定义的名称i=1

和符号.log也=-(Pl.log必+P2.log2P2+…+P1T'

log2P“T+P”TogzP”)，通过展开式找到H(X)与对于C,由pt='(1=1,2,…，几)可知，"(X)=

H(y)之间的联系.n

<£]]

解题导引题目的实际背景虽然为概率问题，

-2Pi^2Pi=~2—1。&一=1空2〃，

i=i,=1〃n

但实际上是给出一个新定义“信息嫡”.由所给

H(X)随着"的增大而增大，C正确.

出的四个选项可知，本题实质上考查对数的运

对于D,解法一(特例法)：不妨设m=l,n=2,

算、对数型函数的单调性及对数式的大小比较

2

等内容，四个选项引导学生由浅入深，层层深则H(X)=-2pj0gM=-(pj0g2Pj+p210g2P2),

i=\

入考查对数的运算及转化思想；其中B选项需

由于Pi+P2=1,不妨设Pi=Pz=；，则H(X)=

要构造一个函数，通过导数的符号来判断函数

的单调性，从而进行选择，对于D选项，需明确

-fylog2y+ylog2=log22=1,H(K)=-lxlog2l

给出的式子“P(y=/)=P/+P2m+"'的含义，由特

殊到一般的思想归纳出其意义，从而得到=0,故H(X)>H(y),D不正确.

解法二：由，加),

"(F)=一](Pl+P2m)•10g2(Pl+P2m)+(P2+P2"T)P(Y=j)=Pj+p2nl+“(j=1,2,…

得p(y=i)=p[+p2nl,P(1=2)=0+。2时1,,

•log2(p2+p2m_1)+•••+(/>„,+pm+i)*log2(7?m+

(

PM+1)]”H(X)=-(Pl•log必+P2T0g2P2+…+P(Y=m)=Pm+p…:.H(y)=-[Pi+p2m),

(

。2“-1.log2P+P2m。bg2P2m),然后再比较“log2Pi+p2a)+(P2+P2m-1),log2(p2+p2m—1)++

(X)、H(Y)的大小(也可用特例法).(Pm+Pm+l)10g2(P0,+P“+l)],

2m

►■解析对于若九=则

A,1,P]=1,;.H(X)=由"=2〃z,得H(X)=-2pjogzp,=-(pJog2Pl

-1xlogl=0,A正确./=1

2+p210g2P2+…+P2mbg2P2m)，不妨设0<fl<l,0<6<

对于B,若九=2,贝UPi+p=1,

21,JL0<a+b01,

2

H(X)=-2pJog2Pi=-(Pjog2Pl+则log2Q<log2(Q+6),alog2a<alog2(a+fe)，同理，

i=1

61og6<61og(a+b),aloga+61og6<(a+6),

P210g2P2),：P1+P2=1,六P2=l-Pi,Pie(0,1),2222

log(a+6),

H(X)=-[pJog2Pi+(l-/h)log2(l-Pi)」,2

•••PJog2Pl+〃2nJog2P2m<(P1+02加)log2(Pl+「2zn),

令/(Pl)=一由1%「1+(1-小)1脸(>Pl)]，

P210g2P2+P2时1kg2P2时1<(P2+P2时1)l(>g2(P2+

l

"Pi-------——+log2p1+(l-p1)•

Lpi-In2Plm-l)，

-1]

1----;~~T^T°g2(1-。1)=-[log2PiTog2(l-

・In2」+

Pm^Pm+Pm+110g2Pnz+l<(Pm+Pm+1)l0g2(Pm

1—PiPm+1)，

Pl)]=log------，

2P\2mm

+

2Pj0g2P,<2(PjP2m+l-；)(Pj+

i=1j=I

令/'(P1)>O,得0<Pi<q；令/'(P1)<O,得万<

p21n+「,)，.•.”(X)〉H(Y),D不正确.

Pi<l.>答案AC

y=/(Pi)在[0,；]上为增函数，在性上为

应用创新目数学文化

减函数,”(X)随着pi的增大先增大后减小，高考对数学文化的考查主要有三个方面:

B不正确.一是利用古代数学文化为背景命制与核心考

点相结合的题目；二是利用相关数学知识直接设s”为的前n项和，则第一层、第二层、

解答古代数学问题;三是利用古代数学成果解第三层的块数分别为S*,S2n-Sn,S3f（用等

决实际问题.解决的关键是从中提取出数学问差数列的前n项和表示出“上、中、下”三层的

题,利用相关的数学知识进行求解.每层石板总数），

倒&（2020课标n理,4,5分）北京天坛的圜因为下层比中层多729块，

丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层巴上所以S-“+729,

3鼠（9+27兀）2^（9+18,?）_2?“9+18限）

层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天即m----------------------------=---------------

222

心石砌9块扇面形石板构成第一环°,向外每

九（9；9九M729,即9九2=729,解得=9,

环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的n

最后一环多9块，向外每环依次也增加9块❸

所以S„=S=27X（9；9X27）=3402故选c

已知每层环数相同°,且下层比中层多729327

块，则三层共有扇面形石板寅不含天心石）

❺＞答案C

（）

应用创新⑦跨学科交汇

数学是研究数量关系和空间形式的科学,

高度的抽象性、结论的确定性和广泛的应用性

A.3699块B.3474块是数学的特点.目前在高中数学教材中出现越

C.3402块D.3339块来越多的跨学科融合试题，更多的体现了数学

信息提取在其他学科中的应用，主要体现在平面向量、

❶从题中体会“层”与“环”的区别与联系；导数与物理学的应用,立体几何在化学物质结

❷结合图形，明确“三层且每层的环数相同”的构的应用,排列组合在生物学中的应用等.

实际意义；（2021新高考n,4,5分）卫星导航系统

自上而下的各环的石板数下一环均比上一中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤

环多9块,意味着这道题使用等差数列的知识道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度

解决,且等差数列的公差为9；指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成

❹等差数列的首项为9；一个球心为。，半径r为6400劭km的球，其上

若设第n环扇面形石板块数为册，第一层共点4的纬度是指与赤道所在平面❸所成角

有九环，第二层为第九+1环至第2九环,第三层的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静

为第2九+1环至第3鼠环,并且设S.为|a,J的止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为