2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评十三

核心素养测评十三

变化率与导数、导数的计算

巩固提升练（25分钟50分）

一、选择题（每小题5分，共35分）

1.下列求导运算正确的是（）

Mx+SY

B.（logx）'=-^—

2rln2

C.（5x）'=5xlogx

5

D.（X2cosx）'=-2xsinx

【解析】选B.A.（x+丄丫=1-2，故错误；

vxJX2

B.符合对数函数的求导公式，故正确；

C.（5x）'=5xln5,故错误；

D.（X2cosx）'=2xcosX-X2Sinx,故4皆误.

2.若函数f（x）&,则f'（0）等于（）

r+1

A.1B.0c.-lD,-2

【解析】选A.函数的导数

_<r<>s,x(.v+

(x)

(r+n2

-1-

3.某炼油厂的一个分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热,如果第x

小时时,原油温度(单位：℃)为f(X)2X3-X2+8(0WXW5),那么，原油温度的瞬时

变化率的最小值是()

A.8B.—C.-1D.-8

【解析】选C.因为f(x)」X3-X2+8(0WXW5),

a

所以f'(x)=X2-2X=(XT7,

又0WxW5,故当x=1时，f'(x)有最小值7,即原油温度的瞬时变化率的最小值

是7.

4.(2020•广元模拟)已知函数f(x)=X2+cosx,则其导函数伊(x)的图象大致是

()

ABCD

【解析】选A.因为fz(x)=ix-sinx,这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排

A.2B.3C.4D.5

-2-

M—1vnv

【解析】选D.因为导函数为y‘二沱『

",产

所以y'|=二£=，,所以n=5.

X=1ae

6.设曲线y卫在点⑶2)处的切线与直线ax+y+l=O垂直，则a=()

r-1

A.2B.lC.-1D.-2

2?

【解析】选D.y'廿£)二一2

(x_l)(x_l)

vl—z二-_■又因为切线与直线ax+y+1=0垂直，且直线ax+y+1=0的斜率

(3-1)2

为-a.所以a=-2.

7.直线y=x+l与曲线y=ln(x+a)相切时，a=()

A.-lB.1C.-2D.2

［解析］选D.设切点P(x,y),则y=x+1,且y=In(x+a),又因为切线方程y=x+1

000000

的斜率为1,即y'|二二一二1,所以x+a=1,

x=x。x0+a0

所以y=0,x,所以a=2.

00

二、填空题(每小题5分，共15分)

8.(2019•南昌模拟)设函数f(x)在(0,+8)内可导,其导函数为f，(x),且

f(Inx)=x+lnx,则f'(1)=.

【解析】因为千(Inx)=x+lnx,

所以f(x)=x+e«,

所以f'(x)=1+ex,所以f'(1)=1+ei=1+e.

-3-

答案：1+e

9.已知函数y=f(x)的图象在x=2处的切线方程是y=3x+l,则f(2)+f'(2)

=--------n

【解析】由题意可知f(2)=3X2+1=7,*(2)=3,所以f(2)+f'(2)=10.

答案：10

【变式备选】

如凰y=f(x)是可导函数,直线/是曲线y=f(x)在x=4处的切线,令g(x)=必,则

g'(4)=.

【解析】由题图知，切线过(0,3),(4,5),所以直线/的斜率为a=丄，

4--0?

由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，所以f'(4)=1,f(4)=5.

2

由g(x)=0，得屋(x)三广G丿一

XX2

故g'(4)5二—丄

,121a

答案:--1

16

10.(2018・全国卷II)曲线y=21n(x+l)在点(0,0)处的切线方程为

-----------------------------------------n

【解析】y'=二―,k二2二2,

Y+104-1

-4-

所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.

答案：y=2x

缥合运用练(15分钟35分)

1.(5分)已知函数f(x)=X2+2xf'(1),则f(-l)与f(l)的大小关系是()

c.⑴D.不能确定

【解析】选A.由函数的解析式可得：*(x)=2x+2f‘(1),

令x=1可得：V(1尸2+2千‘(1),

则千'(1)=-2,故函数的解析式为f(X)=X2-4X,据此可知弓-1)=5,千(1)=-3,

故f(-L)>可1).

2.(5分)(2020•太原模拟)已知点P是直线y=2x-4上的动点，点Q是曲线y=x+ex

上的动点，则|PQ|的最小值为()

A.5B.西

C.e+3D/15^+3;

【解析】选B.设曲线y=x+ex上切点为M(x,x+c%。),y=x+ex=>yr=l+ex,k=解c"o=2

00

nx°=0=M(0,l),M(0,1)至u直线y=2x-4的距离为、，耳即|PQ|的最小值为'亏

-5-

3.(5分)函数f(x)=sinx+ae、的图象过点(0,2),则曲线y=f(x)在(0,2)处的切线

方程为.

【解析】由函数千(x)=sinx+ae*的图象过点(0,2),

可得：a=2,由函数千(x)=sinx+2e、，可得f'(x)=cosx+2ex,曲线y=f(x)在(0,2)

处的切线的斜率为3.所以在(0,2)处的切线方程为：y-2=3x,即3x-y+2=0.

答案:3x_y+2=0

4.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=X2上的两点.

(1)在曲线y=X2上分别求过点P,Q的切线方程.

⑵求与直线PQ平行的曲线y=X2的切线方程.

【解析】(1)因为y'=2x,

所以过点P,Q的切线斜率分别为-2,4,

所以过点P的切线方程为：y-1=-2(x+1);

即y=-2x-1;过点Q的切线方程为：

y-4=4(x-2);即y=4x-4.

⑵设切点为(X。，/)，k;点1,

因为切线和直线PQ平行，且切线的斜率为2x,

0

所以2x=1,所以x=丄,所以切点为己

所以切线方程为y--=x--,即y=x-L

474.

5.(10分)已知函数f(x)=xs+(1-a)X2-a(a+2)x+b(a,b£R。

(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.

(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.

【解析】f'(x)=3x2+2(l-a)x-a(a+2).

⑴由题意得丁/ft)丿=b=0'

』’(0丿=~a(a+2)=-3,

解得b=0,a=-3或a=1.

⑵因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于x的方程千'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不