2023高考数学压轴卷含解析二

KS5U2023新高考II卷

高考压轴卷数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知全集。=R,集合力={x|—2«x<3},B=[y\y=2x,x<\\,则〃口6=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<2)C,{x|0<x<2}D.{x|0<x<l)

2已知复数z满足|z|z=3+4i,则|z|=()

A.1B.逐C.V10D.5

3.“-5〈人<0”是“函数y=x2-kx-k的值恒为正值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知sin—=—>则cos(a-4)=()

24

A.—B..—C.——D.——

2828

5.已知石满足4=(2,2),国=2,且g的夹角为'兀，则,+3卜()

A.26B.2C.4D.2百

f11

6.已知椭圆]+_/=],耳、鸟分别是椭圆的左、右焦点，点尸为椭圆上的任意一点，则西+西的

取值范围为()

A.[1,2]B.[啦，百]C.[V2,4]D.[1,4]

7.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙

马身上的图案就叫做“河图把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居

南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.“河图”将一到十分成五行属性分别

为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水

克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.现从这十个数中随机抽

取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为()

1

D.-

2

8.已知实数x,y,z满足e〉lnx=j，e*且e：lnL=ze",若y>l,则(

)

x

A.x>y>zB.x>z>y

C.y>z>xD,y>x>z

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列说法中正确的是()

1Q

A.已知随机变量X服从二项分布8(4,—)，则。(X)=-

39

B.己知随机变量X服从正态分布NC,/)且p(X45)=0.85,则尸(1<X<3)=0.3

C.已知随机变量X的方差为。(X),则。(2X-3)=4O(X)-3

D.以模型y=ceh(c>0)去拟合一组数据时，设z=lny,将其变换后得到线性回归方程z=2x-1,则

e

10.已知函数/(x)对任意xeR都有/(x+2)+/(x)=0,且函数/(x+1)的图象关于(一1,0)对称.当

xe[-U]时,/(x)=sinx.则下列结论正确的是()

A.函数歹=/(x)的图象关于点/0)(丘Z)中心对称

B.函数y=|/(x)|的最小正周期为2

C.当xe[2,3]时，/(x)=sin(2-x)

D.函数y=/(⑷在[2左,24+1](左eZ)上单调递减

11.已知抛物线C:y2=2px,。的准线与x轴交于K,过焦点厂的直线/与C交于/、8两点，连接4K、

BK,设的中点为尸，过尸作为8的垂线交x轴于°,下列结论正确的是（）

A..尸|•忸刈=|力刈.怛阴B.tanZAKF=cosZPQF

2

c.△ZK8的面积最小值为D.\AB\=2\FQ\

12.已知正四棱台NBC。-44G2的上下底面边长分别为4,6,高为J5,E是4瓦的中点，则（）

A.正四棱台ZB。。—46cA的体积为必叵

3

B.正四棱台ABCD-A^C.D,的外接球的表面积为104万

C.4E〃平面BCQ

D.4到平面8G。的距离为生野

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知抛物线/=4x的焦点为准线为/,则焦点到准线的距离为；直线y=Jjx—与

抛物线分别交于产、。两点（点尸在x轴上方），过点尸作直线尸。的垂线交准线/于点H,则

|P"|--------------

14.在（4-；x）"的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中炉的系数为.

15.如图，已知。，6是相互垂直的两条异面直线，直线与。，6均相互垂直，且48=2百，动点P，

7T

。分别位于直线a,b上，若直线尸。与Z8所成的角。=:，三棱锥4一800的体积的最大值为.

16.设/(X)为偶函数，且当xe(-2,o]时，/(x)=-x(x+2)；当xw[2,+8)时，/(x)=(a-x)(x-2).关

于函数g(x)=/(x)-加的零点，有下列三个命题：

①当a=4时，存在实数，"，使函数g(x)恰有5个不同的零点；

②若函数g(x)的零点不超过4个，贝

③对V,〃€(l,+8),3ae(4,+oo),函数g(x)恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列.

其中，正确命题的序号是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛%｝满足q=3,an+l=a：-2an+2.

(1)证明数列｛ln(a“一l)｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

⑵若"=一+-数列出｝的前〃项和S,，求证：S“<2.

4一2

R+r

18.已知△Z8C的内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,且asinC=JMcsin----

2

(1)求角A的大小；

TT

(2)若点。在边8c上，且。。=38。=3,/BAD=—,求△ZBC的面积.

6

19.如图，在三棱柱/3C—4gG中，四边形力4GC是边长为4的菱形，AB=BC=g点。为棱ZC

上动点(不与4C重合)，平面6出。与棱4a交于点£

(1)求证：BB\〃DE；

AD7

(2)若嘿=彳，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线48与平面用8。£

AC4

所成角的正弦值.条件①：平面Z8C_L平面44CC；条件②：N//C=60°；条件③：9=后.

20.某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年

以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客

户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽

车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，表示B组的客户.

注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.

（I）记A,8两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为〃?，〃，根据图中数据，

试比较"？，〃的大小（结论不要求证明）；

（H）从A,B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率；

（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”.从4

B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为求随机变量J的分布列及其数学期望

21.已知椭圆C:三+£=l（a>b>0）的离心率为椭圆的右焦点尸。,0）

（1）求椭圆。的方程；

（2）A、8是椭圆的左、右顶点，过点b且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N,直线ZAZ与直线x=4

交于点P.记P4、PF、3N的斜率分别为左、左2、右,是否存在实数几，使得左+/=靛2?

22.帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数〃?，〃，

a-4-/7V4-...4-Z7X

函数/(X)在x=0处的阶帕德近似定义为：R(x)=^-------各二，且满足：/'(0)=R(0)，

l+b}x+---+bnx

/'(0)=R(0),/〃(0)=火〃(0)…，/(m+n)(0)=/?(,,,+n)(0).已知〃x)=ln(x+l)在x=0处的[1,1]阶帕

/]X

德近似为及(x)二—・注：

\+hx

=[fXx)],f\x)=[f"MJ,f(4)(x)=[fm(x)],f(5)(x)=…

(l)求实数a,b的值：

(^2)求证：(x+b)/]-1>1；

(3)求不等式++的解集，其中e=2.71828….

[KS5U1题答案】C

【KS5U解析】解：因为Z={x|-2«x<3},B={y|y=2x,x<l}={y|0<y<2},

所以/n8={x|0<xW2}.故选：C.

【KS5U2题答案】B

【KS5U解析】将等式|z|z=3+4i两边同时取模，有||z|z|=|3+甸=出品不=5，

即||z|zHz『=5,所以|z|=J5.故选：B

[KS5U3题答案】B

【KS5U解析】函数歹=/一射一上的值恒为正值，则△<()=左2+4左<0n_4<左<0,

'."(-4,0)(―5,0),.•.“一5〈人<0”是“函数y=——6一左的值恒为正值，，的必要不充分条件.故选：B.

【KS5U4题答案】D

a5

【KS5U解析】cos(«-.TT)=-cosa-2sin2---1=——.故选：D.

28

[KS5U5题答案】B

【KS5U解析】a=(2,2),所以,卜20,Q工=卜《忸卜0$]兀=一4,

pz+^|+7+2a.B=8+4-8=4,所以,+©=2.故选：B

【KS5U6题答案】D

2

【KS5U解析】对于椭圆上+丁=1,°=2,b=l,。=6，根据椭圆的定义可得|尸娟+归用=2=4,

4

设|尸制=x,贝！]|尸"|=4一%，且a-c4x4a+c,即2—2+G，

则归耳HPE|=X(4_X)=_X2+4X=_(X_2)2+4G[1,4],所以，

11附|+陷|4「，,1

西十西=|阿•附广附卜世广「L故选:

【KS5U7题答案】C

【KS5U解析】由题意得数字4,9属性为金，3,8属性为木，1,6属性为水，2,7属性为火，5,10属性

为土，从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数

〃=G(C；C；+C；C；)=20,这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件

个数为：”=C；(C；C；+C；C；)=8,,

这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率p='=_§_=2.故选：C.

〃205

【点睛】此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个

数.

【KS5U8题答案】D

yz

【分析】首先根据题中的条件得到J+J=o,从而得到z<o；再根据X>1时x〉lnx得到巴

歹ZyX

结合函数g(x)=>1)的单调性得到y>x,从而得到y>x>z,

VX

【KS5U解析】由"lnx=y/得一二巴-,-------①

yInx

1史上

由e-ln_=ze*得z,],--------@

xIn—

x

eyezp2

两式相加得一+-=o,因为y>l,"'>0，所以_<0，又因为y>0,所以z<0；

Nzz

E"e'产

因为一="—>)>1，所以--->0>即lnx>0,所以x>l；

yInxInx

令/(x)=x—lnx(x>l),则/'(x)=l—，=3,当xe(l,+oo)时，f'(x)>0,

XX

所以/(x)=x-lnx在(1,口)内单调递增，即x>lnx,

cxe'/

所以—=--->—，即—>—,

yInxxyx

又令g(x)="(x>l)，则gG)=^^=£l)e'a〉]),

xx2x2v7

当x>l时，g'(x)〉0,所以g(x)=£•在(l,+8)内单调递增，所以由丝>《，得到y>x

Xyx

所以y>x>z.故选：D.

【KS5U9题答案】AD

【分析】根据二项分布得方差公式即可判断A；根据正态分布得对称性求出尸(XVI),从而可判断B；

根据方差得性质即可判断C；根据题意求出左,C,即可判断D.

i](1、8

【KS5U解析】解：对于A,由随机变量X服从二项分布8(4,；),得。(X)=4x彳x1-彳故A正

3313y/9

确；对于B,因为随机变量X服从正态分布N(3,/),则对称轴为X=3,

又尸(X<5)=0.85,所以尸(X<l)=0.15,所以尸(1<XW3)=O.5-P(XWl)=0.35,故B错误;

对于C,因为随机变量X的方差为。(X),则。(2X—3)=4Z)(X),故C错误；

对于D,模型y=。心'(。>0),则lny=lnc+fcc,又因z=lny,z=2x-l,

所以左=2』nc=-l,所以c=l,故D正确.故选：AD.

e

【KS5U10题答案】BC

【分析】先求出歹=/(x)周期和解析式，画出图像，对四个选项一一验证：

对于A：由图像可判断函数y=/(x)的中心对称；

对于B：利用图像变换作出函数y=|/(x)|的图象，即可判断；

对于C：直接求出解析式即可判断；

对于D：利用图像变换作出丁=/(|x|)的图像，即可判断；

【KS5U解析】因为函数〃x)对任意xeR都有/(x+2)+/(x)=0,

所以/(x-2+2)+/(x—2)=0,即/(x)+〃x-2)=0,所以/(x+2)=/(x-2)

所以/(x+2+2)=/(x+2—2),即/(x)=/(x+4)恒成立，所以/(x)的周期为4.

因为函数/(x+1)的图象关于(—1,0)对称，所以将丁=/(x+l)的图象向右平移一个单位，得到y=f(x)

的图象，所以y=/(x)关于(0,0)对称.

任取xe[l,3],则

因为函数/(x)对任意xeR都有/(x+2)+/'(x)=0,即/(x)+/(尤-2)=0,所以

sinx,-l<x<l/、

/(X)=-f(x—2)=—sin(x—2).所以/(x)=<-sin(x-2),l<x<3；作出丁=/(')的图象如图所示:

/X、如t

»-3-2X^5'!56\

-siiil

对于A：由图象可知：函数y=/(x)的图象关于点(2%,0)(左€2)中心对称，故A错误；

对于B：函数丁=|/(x)|的图象可以看成y=/(x)的图象X轴上方的图象保留，把X轴上方的图象轴下方

的图象翻折到X轴上方，所以函数V=|/(x)|的最小正周期为2.故B正确；

-sinl

对于C：由前面的推导可得:当XG[1,3],/(x)=_sin(x_2)=sin(2_x).故C正确;

对于D：作出丁=/(|x|)的图像如图所示，在[-2,-1]上函数y=/(|x|)单调递增.故D错误.

MV

/X、，/X、％坨选.BC

7^1o1XiX5Z乂晒,

-sinl

[KS5U11题答案】ABD

【分析】设直线的倾斜角为a,即N4%=a,设Z(x”y),B(x2,y2),可根据角平分线的

性质判断A：过/作4D_Lx轴，垂足为。，表示出tan/ZKF、cosZPQF,即可判断B；

SAKB=SAKF+SBKF,数形结合即可判断C；

求出尸0方程，令尸0求出。的横坐标，求出|力司、|尸。|即可判断它们的关系，由此判断D.

XQX

【KS5U解析】设直线”的倾斜角为a,即NN&=a,设Z(J,5(2,^2),P(x0,y0),

................................\AF\\AK\

①若厂|•忸K|=|/K|•忸M，则―=品，则根据角平分线的性质可知，x轴为N/K8的角平分线，

设直线l:x=my+g,代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,

所以乂+%=22加,乂8=-P2，

k+k一切।为_必।%_2叩跖+P(.+乃)_0

所以y,£r,£myx+pmy2+pp)[my2+p)

‘I222

所以x轴一定是N/KB的平分线，故A正确；

②过/作/O_Lx轴，垂足为

ZAKF=-^―[冗

cos/PQF=cosly-a=sina=7^4=一^—

则tanp,叫+会

X,+

12

tan/AKF=cos/PQF,故B正确；

2

③sAKB=SAKF+SBKF=^-\KF\-\yx-y^=^-\yx-y^^-2p=p,当|乂一刃=|/8|=2p,即

Z8_Lx轴B寸，取等号，故△NKB的面积最小值为p2,故C错误；

，二晚=5+幻(…1ML)，则tana=[*=£

对于。：＜

...尸。方程为：N一”=一

令尸0得，一儿=一—(x-x0)=>x=p+x0,0(p+Xo,O),

pP

：.\FQ\^p+x0--^-+X(),

A\AB\=X]++p=2x°+p=21尸©,故D正确.

故选：ABD.

【KS5U12题答案】BCD

【分析】利用正四棱台ZBCD-48cB的体积计算可判断A；连接NC、8。相交于。2,连接4G、BR

相交于01,分外接球的球心O在正四棱台的内部、内部,

根据血。一DQ；+So?一DO；=OR、[DO-DQ；-502_DO；=OQ2，求出火?可判断B；

取的中点/，利用面面平行的判断定理可判断平面。乃。〃平面4环，从而可判断c；以。2为原点，

02D、O2A.02a所在的直线分别为x、六z建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法

向量，利用点到平面3G。的距离的向量求法可判断D.

连接NC、8。相交于。2,连接4G、4R相交于9,如果外接球的球心。在正四棱台

NBC。-48c2的内部，则。在。02上，0。2=6，因为上下底面边长分别为4,6,所以

DR=LBR=26,D0,=、DB=36,设外接球。的半径为R,所以

22

5。一+^DO2-DOl=on,即

JF=i+JF=10=拒，无解，所以外接球的球心。在正四棱台45C。-4坊GR的外部，如下图,

则。在。。2延长线上，＜9,0=72,因为上下底面边长分别为4,6,所以94=；44=2四,

DO[=；DB=36,设外接球O的半径为R,所以60一DQ；—出0。—D0；=0}02，即

，*一8一，火2-18=后,解得氏2=26,

所以正四棱台ABCD-A^C^的外接球的表面积为4万斤=104乃，故B正确;

取。4的中点/，连接力/，EF,AlClP[EF=G,连接NG,

所以D£〃EF,所以6是49的中点，因为4G=4百,所以GG=3jI,

又/U=3J5,所以GG=/02，又因为GCJ/Z。？，所以四边形GG^/是平行四边形，

所以G/〃C02，64(2平面68。，£。2<=平面。田。，所以G4〃平面G8D,

因为D\BJ/BD,所以EF//BD,所0平面。/。，8。匚平面。/。，所以瓦7/平面G8。，

因为EFcZG=G,所以平面G8。〃平面/或7，因为“Gu平面/E/L所以NE〃平面68。〃，

故C正确；

以a为原点，Q。、o/、02a所在的直线分别为小y、z建立如图所示的空间直角坐标系，则

D(3V2,0,0),5(-35/2,0,0),G(0,-2仓闺,4(0,272,72),

5q=(-372,-272,VI),fiq=(3^,-272,72),=(0,-472,0)

设平面BCQ的一个法向量为n=(x,y,z),

_Ln-3y/2x-Z,VZy+0—

所以一，即《「「，令y=l可得〃=(0,1,2),

J_n3V2x-2V2y+V2z=0

I"，4GI4J24-Vio

4到平面BGD的距离为,故D正确.故选：BCD.

n\y/55

V3

【KS5U13题答案】①.2②.

T

【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作PP'_L/交准线/于点P',易得直线

厂厂\PF\\PP'\

y=Ex-E过焦点、,则局=匕一从而可得出答案.

\PH\\PH\

【KS5U解析】解：抛物线/=4x的焦点厂(1,0),准线/为x=—1,所以焦点到准线的距离为2,

如图，作尸P_U交准线/于点P，因为直线y=一0过焦点。则1PH=|PP'|,

因为PPL/,所以P尸'〃x轴，又直线y=JIx-G的倾斜角为60。，所以/尸尸尸'=60°,所以

\PFPP'\cos30。=/二.故答案为：2；

ZHPP'=30°,则^——=——

\PHPH\2

8

【分析】根据二项式的第3项和第6项的二项式系数相等，求得〃，再求出展开式的通项，令x的指数等于

5,从而可得出答案.

【KS5U解析】解：因为二项式的第3项和第6项的二项式系数相等，所以C；=C；,所以〃=7,

则二项式(4-；x)7展开式的通项为子，

令々=5,则厂=3,所以展开式中工5的系数为C；=一生.故答案为：一生.

2I2J788

【KS5U15题答案】叵

33

【分析】根据直线a,b,N8三条直线两两垂直，将图形还原为长方体/巴花-BC。。，再根据Z3//PC,

可得NPQC即为直线P。与所成的角的平面角，由此可求得C。，从而可得8。2+8。2,再根据棱锥

的体积公式结合基本不等式即可得解.

【KS5U解析】因为直线三条直线两两垂直，如图，将图形还原为长方体/尸庄-68。，

JT

因为ABHPC,所以/尸。。即为直线产。与所成的角的平面角，则/2。。=一，

6

因为尸CJ_平面8c0。，CQu平面6C。。，所以PC_LC。，在RtaPC。中，由尸。=45=2行，

得CQ=2,所以8。2+802=4,

VA“PQ=Vp-ABQ=3又¥乂AB.BQ.PA=*BC.BQ=晔

JJJJ

当且仅当8。=8。=&时，取等号，所以三棱锥力一8。。的体积的最大值为,百.

故答案为:

【点睛】关键点点睛：根据直线d仇/6三条直线两两垂直，将图形还原为长方体Z尸FE-8C。。，从特

殊几何体入手是解决本题的关键.

【KS5U16题答案】①②③

【分析】根据偶函数的图象关于y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进

行判断即可.

/、[-x(x-2)XG[0,2)/、

【KS5U解析】解：当a=4时/(》)="'J.L)、又因为/(x)为偶函数

(4—xH%—2jxG2,4-001

・•・可画出/(X)的图象，如下所示:

可知当掰=0时g(x)=/(x)-加有5个不同的零点；故①正确；

若函数g(x)的零点不超过4个，

即歹=/(》)与歹=加的交点不超过4个，；.X22时/(力40恒成立

又•.•当xe[2,+oo)时，/(x)=(a-x)(x-2),a-xV0在xe[2,+8)上恒成立

.•.a4x在xe[2,+s)上恒成立，由于偶函数/(X)的图象，如下所示：

直线/与图象的公共点不超过4个，则。42,故②正确:

故答案为：①②③

【KS5U17题答案】

ln(a,-1)

【分析】(1)根据递推公式证明，'/为定制,即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即

ln(4T)

可得解；

111(J1、

(2)由4川=4：_2%+2,得％则------=------------------，则

《用一22)21%-2an)

112,.

一=-------------再利用裂项相消法求出数列也｝的前〃项和S“，即可得证.

4a„-2an+l-2

【小问1解析】

因为。Hi=%一2%+2,所以j一1=(%-l)t

则ln(a“+i==21n(an-l),又ln(q_1)=ln2,

所以数列｛M(。“-1)｝是以山2为首项，2为公比的等比数列，

则ln(a„-l)=2"T•In2=In22'"'，所以a,=2r"+1；

【小问2解析】由an+]=%-2an+2,得all+}—2=an(a“—2),

1

则，所以_______「

a««(«,,-2)214一2a)aa„-2a-2

n+\~2nnn+l

,1112122

所以2=—+----=------------1------二--------------

a

na“_?an-2%+1-2an-2an-2a“+i-2

所以S,=。+b2+•••+/>„

、%-2a2-2J\a2-2ay-2)0-2anA-2?

22

%-2a„-2222"-2'因为「—>0,所以2----<2,所以S,<2.

+122-222-2

2兀(2)也.

【KS5U18题答案】(1)/(=-；

19

r-A

【分析】(1)由正弦定理的边角关系、三角形内角的性质可得sin4=gcos—,再应用二倍角正弦公式化

2

简可得sind=正，即可求/的大小.

22

(2)由题设可得ND4C=N,法一：由正弦定理及乙408+//。。=兀可得竺2=£,再由余弦定理

2CDb

得到加2=3，最后根据三角形面积公式求△NBC面积；法二：根据三角形面积公式有与必=导，由

19SADC2b

△8/。的边8。与△ZDC的边。C上的高相等及已知条件可得£=,，再由余弦定理得到“2=笆，最

2b319

后根据三角形面积公式求△ABC面积；

【小问1解析】由已知及正弦定理得：sin力sinC=JJsinCsin-----,又B+C=AA,

2

B+C兀/「.「八・,匚A厂….AAnrA，八A兀

-----------，又sinCw0,•••sinA—cos—，则2sin—cos—=73cos—,而0<一<一，

222222222

：.cos-^O,贝心足且=立，故且=3，得/=§.

222233

27TTTTT

【小问2解析】由NA4C=—,NBAD=—,则NZX4C=—.

362

BDc

法一：在△48。中，.无一sinNBDA，①

sin一

6

CDb

在△ZOC中，.兀-SinNADC，②

sin—

2

,/ZADB+ZADC=n,

/.sinZ.BDA-sinNADC,③

2BDCC2

由①②③得：----,又CD=3BD=3,得BD=1,，一=一,不妨设c=2/w,b=3m,

CDhh3

iA

在△Z8C中，由余弦定理可得，42=（2W）2+（3/M）2-2X2T«X3/77COS—,得/=—,

''''319

所以S八=—bxcsinABAC=—x2mx3mx^-=百.

ZA/IDCrcc1c

ITT

s—c-ADsmABADcsin—

法二：---------------=-----6_L

2A^D_=2=

S^ADC^b-ADsmACAD6sin-%

22

•••△8〃。的边8。与4力。。的边。。上的高相等，

.°ABADBDIclc2

—由此得：—=-，即7=一，不妨设c=2〃?b=3m,

S4ADCDC32b3b3

,?27r16

在8c中，由余弦定理可得，4?=（2mY+（3mY-2x2/«x3mcos—■,得加？=—

‘'''319

6_246

所以以'BC=—bxcsinABAC=-x2mx3mx

22--19

【KS5U19题答案】

【分析】（1）由棱柱的性质可得N/J/BA，即可得到88"/平面NCG4，再根据线面平行的性质证明即

可;

（2）选①②，连接4。，取zc中点。，连接4。，BO,即可得到同。上zc,根据面面垂直的性质得

到4。1平面Z8C,即可得到4。人。8,再由80人ZC,即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法

求出线面角的正弦值;

选②③，连接4。，取4c中点。，连接4。，BO,依题意可得4。人NC,再由勾股定理逆定理得到

A}O1OB,即得到4。工平面力8C,后续同①②；

选①③，取ZC中点。，连接80,4。，即可得到由面面垂直的性质得到801平面ZCG4，

从而得到BO10A1,再由勾股定理逆定理得到4。1Z。后续同①②；

【小问1解析】在三棱柱Z8C—中，AAiHBB,,又8瓦2面/CC,A,,441u面4CC4,

所以8片//平面NCC/,又面BfOEc面4CC/=。后，BBiU面&BDE,所以BBJ/DE.

【小问2解析】选①②：连接4。，取ZC中点。，连接4。，BO.

在菱形ZCG4中，4zc=60°，所以z/c为等边三角形•又。为/c中点，所以

又面48cl面ZCG4,面力8Cc面ZCG4=4c，4。匚平面zcc/i，

所以4。1平面力8C，O8u平面为8C,故4。工。8,又AB=BC,所以3O14C.

以。为原点，以08、0C、。4为x轴、＞轴、z轴建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0),4(0,-2,0),4(0,0,273),8(3,0,0),0(0,1,0).

所以丽=(一3,1,0),DE=7^=(0,2,273).

_n-BD=-3x.+y.=0厂

设面818Z)E的一个法向量为”=(X[,%zJ,则彳_,广，令Z|=-j3r,故元=(1,3,-JJ).

ri-DE=2yi+2y/3zl=0

um।---।\AB,/79

又48=(3,2,0),设直线ZB与面所成角为6»,则sine=|cos)/8,孙=|—.面干.

।1|J5|«|13

9

所以直线N6与平面所成角的正弦值为值.

选②③：连接4。，取4c中点。，连接4。，80.在菱形ZCC/中24/。=60°，所以44C为等

边三角形.又。为ZC中点，故4。//。，且4。=26，又08=3,娟=后.

所以4。2+052=432,则4。人。6.又ZCcO8=O,NC,O3u面N8C,所以4。工面Z8C,

由08u平面48C,故4。工。8,又AB=BC,所以80人4。

以。为原点，以OB、。。、。4为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),4(0,-2,0),4(0,0,273),8(3,0,0),0(0,1,0).

所以丽=（一3,1,0）,方豆