高中数学 指数 知识点精讲及重点题型训练（解析版）

4.1指数

❽知识导图

®知识点精讲

考点一根式

(1)概念：式子标叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

件,<7>0,

(2)性质：(m)"=a(a使G有意义);当〃为奇数时，标=a,当〃为偶数时，取)=同=

—。，a<0.

考点二分数指数暴

m__

(1)规定：正数的正分数指数塞的意义是。-=板需(。>0,m,〃£N*,且心1)；

n

m1

(2)正数的负分数指数哥的意义是L-(«>0,m,〃£N*,且〃>1)；0的正分数指数幕等于0；0的负

n

分数指数累没有意义.

考点三指数塞的运算性质

(2)有理指数幕的运算性质：/废=。±；3)£=即(ab)r=arbr,其中Q>0,b>0,r,s《Q.

@逊题翌

（一）根式化简

例1、（1）、（2023春•江西抚州•高一江西省乐安县第二中学校考期末）下列各式计算正确的是（）

,、n12211

A.（-1）=1B.a2，a2=aC.43=8D.a3^.a3=a3

【答案】A

【分析】根据分数指数基的运算性质即可求解.

【详解】对于A,（-A对；

对于B，B错；

2

对于C,正=2蚯，C错；

T2121小

对1于D,加+”=产=〃，D锢.

故选：A

（2）、（2021•全国•高一课前预习）计算汨了的结果是（）

A.5B.-5

C.±5D.不确定

【答案】A

【分析】根据根式运算性质：当"为偶数时，即可解决.

【详解】#（-5）4=卜5|=5.

故选：A.

（3）、（2021•四川.成都市郸都区川科外国语学校高一开学考试）计算：血-4=.

【答案】—.

2

【分析】将近=2收，、［=交代入计算即可.

\22

【详解】原式=2血一包=迪.

22

故答案为:逑.

2

（4）、（2022秋•高一单元测试）下列各式正确的是（）

A..（-3）2=后B.疗

C.行=啦D.a°=1

【答案】C

【分析】根据指数幕的运算法则，验证选项的结论.

【详解】后『二行=将，A选项错误；

而'=同，B选项错误；

_21

M尹=2，=23=\[2'C选项正确；

/=1,条件为awO,D选项错误。

故选：C.

【变式训练1-1】、（2022•北京房山•高一期末）化简汴的结果是（）

231,

6

A.B..C.x6D.x

【答案】A

【分析】利用分数指数幕与根式的互化可得结果.

2

【详解】利用分数指数幕与根式的互化可得正…

故选：A.

【变式训练1-2】、（2023•全国•高一课堂例题）（多选题）下列说法中正确的是（）

A.V万=3B.16的4次方根是土2

C.V§I=±3D.J（x+y）2=|x+y|

【答案】BD

【分析】利用根式的定义即可求解.

【详解】负数的3次方根是一个负数，m=JR=_3,故A错误；

16的4次方根有两个，为±2,故B正确；

病=疗=|3|=3,故C错误；

J（x+y）2是非负数,所以J（x+y）2=|x+y],故D正确.

故选：BD.

_L_1

【变式训练1-3】、（2021•黑龙江•齐齐哈尔市第八中学校高一期中）计算=

【答案】1

【分析】将带分数化为假分数，再根据分数指数累的运算法则计算可得;

11

【详解】解:X

故答案为：1

【变式训练1-4】、（2023•全国•高一假期作业）下列各式中成立的是（）

B.=g

__________3

C..尤3+.3=（x+y）4D.廊=%

【答案】D

【分析】根据指数幕的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幕的互化可判断BD选项.

【详解】对于A选项,A选项错误;

4]__

对于B选项，回（_3）4=行=英=*=5手表与，B选项错误;

对于C选项，（%+.尸=y（x+y）3w+93,c选项错误;

对于D选项,

故选：D.

（-）根式与分数指数塞互化

例2、（1）、（2023秋•高一课时练习）用分数指数幕的形式表示的结果是（

57.3

A.B.a2C.aD-“5

【答案】B

【分析】根据根式与分数指数塞的互化原则直接化简即可.

117

【详解】03.衣==后.

..Cl\Ll-ClCI-C7t5-Cl

故选；B.

（2）、（2021•全国•高一专题练习）计算:

【答案】1

【分析】由题意结合指数幕的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】因为犷有意义，所以所以原式13

-6Z3=Q+a—1

故答案为1.

【点睛】本题主要考查分数指数累及其运算法则，属于基础题.

（3）、（2022•全国•高一课时练习）（多选题）下列根式与分数指数塞的互化正确的是（）

A.-s/x=(-x)2B-V/=(^<0)

________3J

D.鼻(-x)2"=X?(尤>0)

【答案】CD

【分析】根据分式与指数累的互化逐项判断可得答案.

11,____

【详解】=-x2（x>0）»而（-%尸=<^（工工0）,故A错误；

=一/（'<0）,故B错误；

一二+（x>0）,故C正确；,（_工）24二,3〉二£（%〉0）,故D正确.

故选：CD.

【变式训练2-1】.（2023春•江西宜春•高一灰埠中学校考期末）化简历（加<0）的结果为（）

A.my[mB.my[—m

C.—myTmD.

【答案】D

【分析】利用根式的运算性质即可得出答案.

-my[-m.

故选：D

【变式训练2-2】、（2022•全国•高一课时练习）已知加>0,则J-J陶赤化为（）

55

A.w4B.加5C.rnD.1

【答案】C

【分析】把根式化为分数指数幕进行运算.

故选：C.

【变式训练2-3】.（2022秋•浙江台州•高一台州一中校考开学考试）下列计算正确的是（）

5

A.x3y3=x6B.（〃/）3=加

C.（-tz）6=-a3D.2x-2=

【答案】C

【分析】根据指数幕运算法则进行计算.

3336

【详解】A选项，xy=（xy）^x,A错误；

B选项，（仅2）3=仅6,B错误；

C选项，（-a『=（-a）3=-/,c正确；

D选项，2》-2==，D错误.

x

故选：C

（三）多重根式化简

例3、（1）、（2023•全国,高一课堂例题）［多选题］下列关系式中，根式与分数指数塞的互化正确的是（）

A.护=）（…）B.（x>0）

________3

C./一五（"0）D.=x（x>0）

【答案】BD

【分析】利用根式与指数事的关系求解.

【详解】当"0时，犷>0，，<0,故A错误.

_3

(x>0),故B正确.

,1

3=-n=(xwO),故C错误.

故选：BD

（2）、（2021•全国高一课时练习）将亚石化为分数指数累为（）

33

A.22B.?4

77

C.2aD.

【答案】D

【分析】

根据根式与分数指数塞的互化以及指数的运算公式即可求出结果.

【详解】

故选：D

（3）、（2022•全国•高一专题练习）化简，11+6/+山-6啦=■

【答案】6

【分析】根据根式的运算性质可求出结果.

【详解】V11+6V2+711-672=7（3+V2）2+7（3-V2）2

=3+V2+3-V2

=6.

故答案为：6.

【变式训练3-1】、（2021•全国高一专题练习）/否（。＞0）可以化简成（

132

A，a&B-a4C.aiD.q

【答案】B

【分析】

根据指数幕和根式的运算性质转化即可.

【详解】

解:yjay/a='/a^=a，'

故选：B.

【变式训练3-2】.（2023秋•高一课前预习）J（%一5）2_y（2—万甘=

【答案】3.

【详解】而行了一苑二^7=|无一5|-（2—兀）=5-无一2+无=5-2=3.

【变式训练3-3】、（2021•全国•高一专题练习）将（晨.正工）t化成分数指数嘉为（

【答案】B

【分析】直接化根式为分数指数嘉，再利用指数塞的运算法则即得.

_8_8_88

【详解】小户,-x3-=j]-=x*-=》i5.

、JIJIJ<>

故选：B.

（四）利用整体代换思想求值

例4、（1）、（2021.全国•高一单元测试）已知五+二=3,贝的值是（）

7a

A.47B.45C.50D.35

【答案】A

【分析】利用指数幕的运算法则即求.

【详解】•:夜占=3,

•••(Q+Q1)="+4?+2=49,

Q?+Q2=47-

故选：A.

(2)、(2022秋,广西玉林•高一校考期中)已知1+贝IJV—r2=_______________

AIA-J

【答案】±21亚

【分析】利用分数指数幕的运算，根据平方关系即可求得结果.

【详解】由1可得=x+2+/=9,

AiA-J

I7

即％+=7,

又因为(X+]T)2=^X-X-1)2+4,

BP72=(X-X-')2+4,可得(x-ky=45

BPx-x-1=±375,

所以x?_x<=(x+xT)(x-x7)=7x卜3石)=±21>/5.

故答案为：±21石

【变式训练4-1】、(2022•新疆昌吉・高一期末)已知。+：=4,则/一等于()

A.2B.V2C.-V2D.+V2

【答案】D

<11V1]।

【分析】由a2-a2=a+--2,即可求出足一屋5的值.

\7a

【详解】解：••・。+,=4,

''—a5=±V2'

故选：D.

3_3

【变式训练4-2】、(2023•全国•高一假期作业)已知加；+加彳_4,则“1一洸；的值是(

m2-m2

A.15B.12C.16D.25

【答案】A

【分析】利用分数指数塞的运算即可求出结果.

【详解】因为m5+相一5一4,

所以加+加一i=(加5+加5)2—2=16—2=14,

3_3i__j_

22_(m22)(m+m22+m-1)

m—m-m-m1

又由立方差公式,\_=m+l+m~=15，

m2—m2m2—m2

故选：A.

（五）指数基的综合应用

例5、（2023秋•高一课时练习）（1）计算:O.OOOM+275-^^2+(小

J.J.11

(2)化简："'：一"：+〃：+〃：(加且

~2———

m+n2m2-n2

__._、314,、2(m+n]

【答案】(z1)—(2)△----

7m-n

【分析】（1）根据指数幕的运算可得答案;

（2）通分化简计算可得答案.

【详解】（1）0,000看+27、（若「+用

=（0.14户+（3下一弓

川…一-

§+27=叁

=10+9—

77

/-、加2-n2m2+n2

⑵~~

m+n2m2—n2

2(加+〃)

m-n

21(11W]1lA

例6、(2023秋•高一课时练习)(1)化简：a3-b1-2a-b3+-a6b6(a>0,/)>0)；

IJ15)

（2）计算：（也2+/

23

【答案】（1）10。；（2）—

4

【分析】（1）根据分数指数塞运算法则，底数相同的指数累分别运算即可求得结果:

（2）将底数改写成指数幕的形式再进行运算即可得结果.

【详解】（1）凉.庐•2足加+―疝桢=lx2-r—\a^26,^2