辽宁省大连市高二年级上册期中考试数学试题

大连市2021-2022学年度上学期高二期中考试

数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.已知直线4：岳+3y—1=0,4：⑪一歹=1，若4丄‘2,则4的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.m=3是直线4：（加一2）x—y—l=0与直线3x-叩=0互相平行的（）条件

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要

3.过点（0,2）作与圆/+/一2》=0相切的直线L,则直线L的方程为（）

A.3x-4y+8=0B.3x+4y-8=0

C.x=0或3x+4y-8=0D.x=0或3x-4尸8=0

4.如图，在三棱柱/6C-中，”为4c的中点，若而=落石;=心阮=5,则下

列向量与两相等的是（）

11F—

A.—a一——。+。B.-a+—b+c

2222

1_1r_1_1r_

C.——a——b+cDn.——a+—b+c

2222

5.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发

射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图

中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已

知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）

第1页供6页）

A.焦距长约为150公里B.长轴长约为3988公里

C.两焦点坐标约为（±150,0）D.离心率约为詰

6.0A、0B、0C是由点0出发的三条射线，两两夹角为60°,则0C与平面0AB所成角的余弦值

为（）

1mlA/3

A.~B.C.5D.%

jj乙乙

7.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.诗中

隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,

先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域

为若将军从点4（3,1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=5,并假定将军只

要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A.B.275C.回D.2回

Y22

8.己知椭圆C：・+J=l（a〉6>0）的左、右焦点分别为用，点尸（玉,必）,

。（一七,一切）在椭圆。上，其中%>0,乂>0,若|P。|=2|06|空正，则椭圆C

PF13

的离心率的取值范围为（）

C.(0,73-1]

第2页（共6页）

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求•全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9.下列说法正确的是（）

A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角.

B.不经过原点的直线都可以用方程±+。=1表示.

ah

C.直线厶：2x+j-4=0,/2：2x+y+2=0,则与直线厶与厶距离相等的直线方程为

2x+^-l=0

I）.已知圆C:f+y2-4y=0,圆心为C,P为直线2x+y+3=0上一动点，过点P向圆。

引两条切线PA和PB,A、B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为1

10.已知正方体Z8CD-44GA的棱长为I,点区。分别是44，4G的中点，p在正方

体内部且满足/=；君+?而+|怒，则下列说法正确的是（）

A.直线AC[丄平面A]BDB.直线BBi与平面AiBCDi所成的角为:

C.直线OE与平面AiBCDi的距离为遅D.点尸到直线ZO的距离为』

26

11.已知椭圆c的中心在原点，焦点片，鸟在y轴上，且短轴长为2,离心率为手，过焦点

耳作歹轴的垂线，交椭圆。于尸，。两点，则下列说法正确的是（）

A.椭圆方程为工+必=1B.椭圆方程为匕+犬=1

33

。|尸。|=苧D.APE。的周长为4厶

12.在平面直角坐标系xOy中，点4（0,3）,直线/:y=2x—4.设圆C的半径为1,圆心在/

上，若圆C上存在点“，使|M4|=2|Mq,则圆心。的横坐标。的值可以是（）

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A.0B.1C.2D.3

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知直二面角仁一/一夕的棱/上有4,8两个点，ACcza,AC11,BDuB,

BDLl,若/B=4,AC=3,BD=5,则CD的长是.

14.设直线x+冲+1=0过定点A,直线mx—y—2机+3=0过定点8,直线L经过

点C（2,-1）,并且以方为法向量，则直线L的方程为.

15.已知四面体N8C。的每条棱长都等于2,点、E,F,G分别是棱AD,OC的中

点，则历.不等于,

22

16.在平面直角坐标系X0中，已知椭圆。：匕+-^=1（加〉4）,点力（一2,2）是椭圆内

一点，5（0,-2）,若椭圆上存在一点尸，使得|/训+|尸4=8,则根的范围是；

当加取得最大值时，设Q为椭圆上任意一点，C（0,2）,则|QB『+|QC『的最小值为。

（第一个空3分，第二个空2分）

三、解答题（本题共6小题，共70分.第17题满分10分，第18—22题每题满分12分.解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分10分）

已知d=（1,1,0）,b=（-1,0,2）.

（1）若旧=3,且。〃（d-J）,求普

（2）若k苍+b^ka-2仮互相垂直,求实数k.

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18.(本题满分12分)

如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱。4,0民。。两两垂直，且OA=1,0B=0C=2,E

是0C的中点.

(1)求异面直线8E与4C所成角的余弦值；

(2)求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值.

19.(本题满分12分)

已知圆C经过点4(3,—2)和8(1,0),且圆心在直线x+y+l=0上.

(1)求圆C的方程；

(2)直线L经过(2,0),并且被圆C截得的弦长为2后，求直线L的方程.

20.(本题满分12分)

如图，三棱柱力6。一同用G的所有棱长都是2,4%丄平面Z8C,D,£分别是NC,CG

的中点.

(1)求证：平面丄平面4/。：

(2)求平面05%和平面从I4夹角的余弦值；

(3)在线段(含端点)上是否存在点M,使点M到平面45。的距离为竽？请说明

理由.

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21.(本题满分12分)

己知圆/：(》+1)2+;?=16的圆心为厶，过点8(1,0)作直线与圆A交于点C、D,连接/C、

AD,过点B作/C的平行线交于点E；

(1)求点E的轨迹方程；

(2)己知点H(2,0),对于x轴上的点P(t,0),点E的轨迹上存在点M,使得MP丄MH,求实

数t的取值范围.

22.(本题满分12分)

如图，正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE

的中点，平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.

(1)求证：G是棱PD的中点

(2)若PA丄底面ABCDE,且二面角P-DE-A的大小为45°,求直线BC与平面ABF所成角的大小,

并求线段PH的长.

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2021-2022学年度上学期高二期中考试

数学试卷答案及评分标准

1.B2.A3.C4.D5.D6B.7.A8.D9.AC10.ABD11.BCD12.ABC

13.57214.x+y-l=o15.116.(1).(6+275,25](2),50

17.解：(l)a-b=(2,1,-2).】c〃(a-b),设c=A(a-b),

即c=入(2,1,—2)=(2入，入，—2X),/.|c|--\]4X"+X'+4X2=31A.|=3,入=±1,

；.c=(2,1,—2)或c=(-2,-1,2).5分

(2)Vka+b=(k-l,k,2),ka—2b=(k+2,k,-4).

又；(ka+b)丄(ka-2b),/.(ka+b),(ka—2b)=0.

即(k—l,k,2)•(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.

解得k=2或k=-|,故所求k的值为2或10分

18解：(1)以0为原点，OB、0C、0A分另IJ为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系.

则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0)

_________22

AEB=(2,-L0),AC=(O,2,-l)ACOS<<EB,AC>>==一一

>/5,v55

2

所以异面直线BE与AC所成角的余弦为《6分

(2)设平面ABC的法向量为“=(x,y9z)则

勺丄AB知n}-AB=2x-z=0

勺丄AC知马-AC=2y-z=0取4=(1,1,2),

/an

则sin<EB,n,>=------

130

故BE和平面ABC的所成角的正弦值为叵

12分

30

第1页(共5页)

19.解：(1)设圆C的方程为/+/+取+与+尸=0

9+4+3D-2£+F=0

依题意得〈l+D+F=0解之得O=-2,E=4,F=1

生+1=0

22

.•.圆C的方程为d+丁-2x+4y+l=05分

(2)圆d+y2-2x+4y+l=0可化为(x-iy+(y+2)2=4,

所以圆心到直线的距离为4=^22-=1

6分

当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为九=2,

此时直线1被圆C截得的弦长为26,符合题意8分

当直线1的斜率k存在时，设直线1的方程为y=Mx-2),即云-^一2斤=()

\k+2-2k\3

山题意得=1解得“二，直线的方程为3x—4y—6=011分

综上所述，直线1的方程为x=2或3x—4y—6=012分

20.解：(1)取AG的中点。，连接耳。,8，则。耳丄AG，

又A4,丄平面ABC,所以QD丄平面ABC,所以。4,,。。,。旦

两两垂直，如图，以。为原点，片所在直线分别为x

轴，》轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A(l,2,0),5(0,2,6),0(0,2,0),4(1,0,0),E(-1,1,0),

AD=(-1,2,0),\B=(-1,2,73)，BA=(1,0,-73),BE=(-1,-1,-73)，

设［=(%,y,zj,3=(%,为，Z2)分别为平面43。和平面BAE的法向量,

第2页(共5页)

-%+2yl=0,

由泰•[=(),&•[=0,得'%2y+岳=0,'”=1'则寸2，1。，

=(2,1,0)是平面48。的一个法向量,由康=°，蜃=0,得

,“"z，:，令z?=1,则x2=A/3,y2=-2y/3,

一%2—%一gz2=0,

4=（G,—2G,1）是平面BAE的一个法向量,

.,.%•勺=2x6—2>/§+0=0，,平血BAE丄平血\BD.6分

（2）4A=（0,2,0），设平血的法向量为m=（x,y,z）•

'2y=0,

由AA.m=0,4"机=0，r+2y+Gz=。,'令z=l'则x=5>=°'

；♦/；=（6,0,1）是平面AA8的一个法向量,

设平面和平面8AA的夹角为8,由图可知。为锐角,

n]-m

=专5=半，即平面和平面84A夹角的余弦值为孚.

则cos6=1--9分

〃1m

（3）假设在线段8乃（含端点）上存在点M,使点M到平面A3。的距离为讐，

-2加BMn,

设"（0,。,6）（0＜。＜2），则俞=（0,q-2,0），由~^~=一=一=靑,

解得：。=4（舍去）或。=（）,

故在线段上存在点M（端点处），使点M到平面的距离为平.12分

（注：如果第（1）问用立体几何方法证明，第（2）问建立坐标系那就是（1）给4分，

（2）给5分）

第3页（共5页）

BEDE

21.解：(1)由题意：圆心A(-1,0),半径r=4,由8E〃AC,可得会=胃，

ACAD

由4c=40,所以BE=Z)E,则E4+EB=E4+E£>=4)=4为定值,

所以E在以A,B为焦点的椭圆上，且2。=4,即。=2,c=l,贝=Jq2_c2=6

则点E的轨迹方程的方程为三+二=1。彳0)；6分

43

22

(2)设M(xo,yo)(x°W±2),则二;①①

4+3T

又由P(t,0),II(2,0).则而二(t-x0，-y0),MH=(2-x0，-y0)

由MP丄MH可得而•而二0,即(t-xo,-y0)•(2-x0,-yo)二

2

(t-X。)'(2-XO)+yo=O

由①②消去y。，整理得t(2-Xn)=-入，+2乂「一3②

u4uu

13

Vx0^2,t=^x0•・•一2<xo<2,-2<t<-1

故实数t的取值范围为(-2,-1).12分

22.(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB〃DE.

又因为ABC平面PDE,所以AB〃平面PDE.因为ABu平面ABF,

且平面ABFA平面PDE=FG,所以AB//FG.,所以FG〃DE,,

因为F为棱PE的中点，所以G是棱PD的中点。