2024年高考数学一轮复习第6章：数列的综合问题（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第6章：数列的综合问题学生版

1.(2023・怀仁模拟)在递增的等比数列仅“｝中，前”项和为S”3—=丄，m=l.

S2+S45

(1)求数列但“｝的通项公式：

⑵若儿=10g3。2n.1，求数列｛儿｝的前n项和Tn.

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2.(2022・潍坊模拟)已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S“，且m=2,S3=的+6.

(1)求数列｛。”｝的通项公式；

(2)设b„=\og2an,求数列｛④加｝的前n项和T,,.

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3.已知等差数列｛a“｝和等比数列｛儿｝满足m=2,历=4,a.=21og2b””GN*.

(1)求数列｛%｝,｛儿｝的通项公式；

(2)设数列｛。“｝中不在数列｛儿｝中的项按从小到大的顺序构成数列｛以｝，记数列｛金｝的前n项和

为S,,,求Sioo.

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4.(2023•荆州模拟)设正项数列的前〃项和为S“，m=l,且满足.给出下列三

个条件：①s=4,21ga«=lga„_i+lga„+i(n^2)；@Sn-man—1(mGR)；③2ai+3a2+4a3H—

n

+(n+\)an=kn-2(k&R).

请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

⑵若b„=—~!--------，且数列｛4｝的前n项和黑，求n的值.

(n+l)log2an+i100

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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5.(2023・济南模拟)已知｛。“｝是递增的等差数列，知+的=18,a”即之分别为等比数列出”｝

的前三项.

(1)求数列｛。“｝和｛瓦｝的通项公式；

(2)删去数列｛儿｝中的第a,项(其中i=l,2,3,…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列

｛c„｝,求数列｛以｝的前〃项和S”

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6.(2022•天津)设｛a“｝是等差数列，｛儿｝是等比数列，且7=6=42一历=的一加=1.

(1)求｛a,,｝与｛瓦｝的通项公式;

(2)设｛&｝的前〃项和为S”,求证：(&+1+a»+1)6n=Sn+ii>n+1—Snbn;

(3)求Ea*+1—(-1)*四］尿

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2024年高考数学一轮复习第6章：数列的综合问题教师版

1.(2023・怀仁模拟)在递增的等比数列他“｝中，前〃项和为S”，亠"=丄"尸L

&।S45

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

⑵若儿=10g3。2n-I,求数列｛儿｝的前n项和T„.

解(1)设等比数列｛斯｝的公比为夕，

S21

由一,得S4=4S2,

S2+S45

所以43+。4=3(。1+白2),即(Qi+a2)q2=3(ai+〃2),

所以中=3,

因为等比数列但“｝递增，所以q=他,

7J-1

所以a„=a\qn~'=32.

(2)由(1)可得。2"-1=3"-1,所以瓦,=log3a20-1=”-1,

故7；=0+l+2H------卜"一］="5_".

2

2.(2022・潍坊模拟)已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S,且4=2,S3=S+6.

(1)求数列｛斯｝的通项公式：

(2)设仇=log2⑧,求数列｛"疝"｝的前n项和T„.

解(1)设数列｛斯｝的公比为私由m=2,$3=的+6,

得01(1+q+q2)=6+aq2,解得口=2,

n

所以an—2.

⑵由⑴可得b„=log2a„=n,所以a„b„=n-2n,

7；=1X2+2X22+3X234-----\-nX2",

27；=1X22+2X23H------l-(w-l)2n4-H-2,,+1,

所以-7],=2+22+…+2"—"-2"'i=———n-2"'1=2"11-2—n-2"11,

1-2

所以n=(n-l)2n，1+2.

3.已知等差数列｛。“｝和等比数列｛d｝满足m=2,3=4,a.=21og2b",“GN*.

(1)求数列｛。“｝,｛5｝的通项公式；

(2)设数列｛诙｝中不在数列｛儿｝中的项按从小到大的顺序构成数列｛c“｝,记数列｛c“｝的前n项和

为S,,,求Si00.

解(1)设等差数列｛d｝的公差为d,

因为62=4,所以〃2=2log2b2=4,

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所以d=ai—a\=2,

所以斯=2+(〃-1)义2=2〃.

又210g2瓦,即2〃=210g2儿，

所以〃=log2d,

所以b,,=2n.

⑵由⑴得儿=2"=2・2广1=。2〃一】,

即儿是数列｛呢｝中的第2〃r项.

设数列｛如｝的前〃项和为尸“，数列｛儿｝的前〃项和为。〃，

因为〃7=426=464,68=。27=。128,

所以数列｛。”｝的前100项是由数列｛。〃｝的前107项去掉数列｛儿｝的前7项后构成的，

所以Soo=P『0」°7X(；+2⑷-送=113。2.

4.(2023•荆州模拟)设正项数列｛斯｝的前〃项和为S”m=l,且满足.给出下列三

个条件:©03=4,21ga«=lga»-i+lgan+i(w>2)；®Sn=man—l(/»eR)；③2m+3a2+4a3T■…

+(n+\)a„^kn-2"(k^R).

请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)若为-----，且数列｛儿｝的前〃项和求〃的值.

(n+l)log2an+i100

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)选条件①时，4,21gan—lga„_i+lgan+i(n^2),

整理得晶=a,一「如+i,故正项数列｛小｝为等比数列，

由于0=1,43=4,故公比k=且=4,解得q=2,

a\

故a〃=aqLi=2"-i.

选条件②时，S,=m。“-ISPR),

当〃=1时，整理得0="0—1,解得机=2,

故S”=2。"一1,(a)

当”22时，5„-i=2a„_i-l,(b)

(a)一(b)得a“=2斯-2a“.i,整理得区=2(常数)，

。〃一1

所以数列｛为｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以③=2"丿

选条件③时，2。1+3。2+4°3+…+(〃+l)a”=hr2"(kWR),

当〃=1时，整理得2G=Q21解得左=1,

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故2。|+3。2+4。3+…+(〃+1)。〃="2"(左£R),(a)

n{

当时，2。1+3。2+4。3T-----\-nan-\=(n—l)-2~,(b)

(a)一(b)得斯=2〃r(首项符合通项)，

所以斯=2『L

]1

(2)由(1)得b=~~~—1

n(〃+l)10g24〃+l77(7?+1)n〃+1

__1_99

所以7；,-1———解得〃=99.

223n〃+1100’

5.（2023•济南模拟）已知｛斯｝是递增的等差数列,01+05=18,ai，的，的分别为等比数列｛儿｝

的前三项.

（1）求数列｛斯｝和也"｝的通项公式;

（2）删去数列出“｝中的第3项（其中i=1,2,3,…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列

｛c„｝,求数列｛以｝的前〃项和S”.

解（1）设数列｛%｝的公差为，（分0）,数列｛儿｝的公比为%

〃]+。1+44=18,

由已知彳中解得QI=3,d=3,所以斯=3〃；

所以6=0=3,夕=後=3,所以为=3〃.

a\

（2）由题意可知新数列｛。〃｝为bi,bi,d,bs,…,

则当〃为偶数时，S〃=A+64+…+by+65+•••+6/X

I3㈤

nnn

=3(1-273)+32(1-27)=6(27^-1)

1-271-2713-'

则当“为奇数时，

_6(27?—l)1芳

〃〃

S=S_i+c”=S〃」+b=Si+b型13'

n

6(272-1)

〃为偶数，

13’

综上,w-1

6(27~-1)3/J-I

+3亍，〃为奇数.

13

6.（2022,天津）设｛%是等差数列，｛/>”｝是等比数列,且。1=加=。2—设=。3—加=1.

⑴求｛斯｝与｛儿｝的通项公式;

（2）设｛&｝的前,项和为S.,求证：（5.+1+。”+。儿=*+1，+1—5疝.；

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(3)求错误!*l(―1)%后瓦.

(1)解设｛斯｝的公差为d,｛d｝的公比为外

则。〃=1+(〃-l)d,bn=q“r,

由42—62=03—63=1可得

\+d—q=\f

*d=q=2(d=q=0舍去),

\+2d-q2=\

所以a〃=2〃-1,bn~2"1.

(2)证明因为瓦“=26〃W0,

所以要证(S”+1+。〃+1)6〃=S“+仍〃+］—