北师大版年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》专题3.2图形的旋转(知识解读)(原卷版+解析)

专题3.2图形的旋转（知识解读）【学习目标】1.掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。2.能够按要求作出简单平面满图形旋转后的图形，并能利用旋转的性质进行规律的探究，利用旋转进行简单的图案设计。【知识点梳理】知识点1：旋转的概念把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。知识点2：旋转的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（3）旋转前、后的图形全等。注意：（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。知识点3：旋转作图（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.【典例分析】【考点1旋转对称图形】【典例1】（2022春•路南区期末）下列运动属于旋转的是（）A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折过程 C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动【变式1-1】（2022•馆陶县二模）如图是一个钟表，将其旋转180度，根据时针和分针的位置，钟表中的时间可以是（）A．8：30 B．9：30 C．2：30 D．12：30【变式1-2】（2022•玉林模拟）观察下列图案，其中旋转角最大的是（）A． B． C． D．【变式1-3】（2021春•定陶区期末）将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（）A． B． C． D．【考点2旋转的性质】【典例2】（2022秋•黔南州期末）如图，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，点B的对应点是点E，连接CD，若AE⊥CD，则旋转角是（）A．25° B．30° C．45° D．50°【变式2-1】（2023•龙湖区校级开学）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得△AB′C′，若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB′C′的度数为（）A．80° B．70° C．60° D．100°【变式2-2】（2022秋•江门校级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝76°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则∠BAB'等于（）A．28° B．30° C．36° D．38°【典例3】（2022秋•阳泉期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6．将△ABC绕点C沿逆时针方向旋转至△A'B'C的位置，此时，点A'恰好在AB上，则点B与点B'的距离是（）A．6 B．3 C．2π D．3π【变式3-1】（2022秋•东方期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝6，则BE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-2】（2022秋•凤台县期末）如图，一个含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，若BC的长为15cm，那么AA′的长为（）A．10cm B．15cm C．30cm D．30cm【变式3-3】（2022秋•温岭市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（）A． B．4 C． D．5【考点3旋转作图】【典例4】（2021秋•长乐区期末）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【变式4-1】（2022•莱芜区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC绕着某点顺时针旋转一定的角度后，得到△A'B'C'，则旋转中心的坐标为（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，1） D．（1，﹣1）【变式4-2】（2021秋•黔西南州期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（）A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4）【考点4坐标系中图形旋转的规律】【典例5】（2021秋•阳东区期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．【变式5-1】（2021•广陵区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，0）、D（0，1），点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，点P4绕点A旋转180°得点P5，…，重复操作依次得到点P1，P2，P3，P4，P5，…，则点P2021的坐标为（）A．（2，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，0）【变式5-2】（2021秋•郧阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（3，0），B（0，4），则点B2021的横坐标为（）A．12120 B．12128 C．12123 D．12125【变式5-3】（2021•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）专题3.2图形的旋转（知识解读）【学习目标】1.掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。2.能够按要求作出简单平面满图形旋转后的图形，并能利用旋转的性质进行规律的探究，利用旋转进行简单的图案设计。【知识点梳理】知识点1：旋转的概念把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。知识点2：旋转的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（3）旋转前、后的图形全等。注意：（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。知识点3：旋转作图（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.【典例分析】【考点1旋转对称图形】【典例1】（2022春•路南区期末）下列运动属于旋转的是（）A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折过程 C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动【答案】D【解答】解：A、滚动过程中的篮球，属于平移和旋转，故A不符合题意；B、一个图形沿某直线对折过程，不属于旋转，故B不符合题意；C、气球升空的运动，不属于旋转，故C不符合题意；D、钟表钟摆的摆动，属于旋转，故D符合题意；故选：D．【变式1-1】（2022•馆陶县二模）如图是一个钟表，将其旋转180度，根据时针和分针的位置，钟表中的时间可以是（）A．8：30 B．9：30 C．2：30 D．12：30【答案】A【解答】解：将钟表旋转180°后，如图所示，钟表中的时间为8：30，故选：A．【变式1-2】（2022•玉林模拟）观察下列图案，其中旋转角最大的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、旋转角是120°；B、旋转角是90°；C、旋转角是72°；D、旋转角是60°．故选：A．【变式1-3】（2021春•定陶区期末）将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：将图绕中心按顺时针方向旋转60°后得到的图形是．故选：A．【考点2旋转的性质】【典例2】（2022秋•黔南州期末）如图，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，点B的对应点是点E，连接CD，若AE⊥CD，则旋转角是（）A．25° B．30° C．45° D．50°【答案】D【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝25°∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝25°，∵AE⊥CD，AD＝AC，∴∠DAE＝∠CAE＝25°，∴∠DAC＝25°+25°＝50°，即旋转角度数是50°，故选：D．【变式2-1】（2023•龙湖区校级开学）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得△AB′C′，若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB′C′的度数为（）A．80° B．70° C．60° D．100°【答案】A【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAB'＝100°，AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'，∴∠B＝∠AB'B＝40°＝∠AB'C'，∴∠BB'C'＝80°，故选：A．【变式2-2】（2022秋•江门校级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝76°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则∠BAB'等于（）A．28° B．30° C．36° D．38°【答案】A【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝76°，∴∠C′CA＝∠CAB＝76°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝28°．故选：A．【典例3】（2022秋•阳泉期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6．将△ABC绕点C沿逆时针方向旋转至△A'B'C的位置，此时，点A'恰好在AB上，则点B与点B'的距离是（）A．6 B．3 C．2π D．3π【答案】B【解答】解：如图，连接BB'，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，∴sinA＝＝，∴BC＝6×＝3，∵将△ABC绕点C沿逆时针方向旋转至△A'B'C的位置，∴BC＝CB'，∠BCB'＝60°，∴△BCB'是等边三角形，∴BB'＝BC＝3，∴点B与点B'的距离是3，故选：B．【变式3-1】（2022秋•东方期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝6，则BE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，∵AB＝6，∴BE＝6．故选：D．【变式3-2】（2022秋•凤台县期末）如图，一个含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，若BC的长为15cm，那么AA′的长为（）A．10cm B．15cm C．30cm D．30cm【答案】C【解答】解：连接AA′．∵△A′B′C是由△ABC按顺时针方向旋转得到的，∴BC＝B′C，AC＝A′C；又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形，∴从图中知，∠BAC＝30°，∴AC＝2BC，AB＝BC；而BC＝15cm；∴在Rt△ABA′中，AB＝15cm，A′B＝BC+CA′＝BC+AC＝45cm，∴AA′＝＝30cm．故选：C．【变式3-3】（2022秋•温岭市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（）A． B．4 C． D．5【答案】A【解答】解：如图，连接AA'，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，根据勾股定理得：AB＝＝5，∴A'B＝AB＝5，∴AC'＝AB﹣BC'＝1，在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：AA'＝＝，故选：A．【考点3旋转作图】【典例4】（2021秋•长乐区期末）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C【解答】解：如图，∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ，∴连接ER、FP、GQ，作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过C，即旋转中心是C．故选：C．【变式4-1】（2022•莱芜区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC绕着某点顺时针旋转一定的角度后，得到△A'B'C'，则旋转中心的坐标为（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，1） D．（1，﹣1）【答案】A【解答】解：如图，点P即为所求，P（﹣1，1）．故选：A．【变式4-2】（2021秋•黔西南州期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（）A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4）【答案】B【解答】解：如图，点P即为所求．P（4，4）．故选：B．【考点4坐标系中图形旋转的规律】【典例5】（2021秋•阳东区期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．【答案】C【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB＝，由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）故选：C．【变式5-1】（2021•广陵区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，0）、D（0，1），点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，点P4绕点A旋转180°得点P5，…，重复操作依次得到点P1，P2，P3，P4，P5，…，则点P2021的坐标为（）A．（2，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，0）【答案】A【解答】解：结合图象确定前几个点的坐标为：P1（2，﹣