苏科版 八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题9.14正方形的性质与判定大题专练（重难点培优）（原卷版+解析）

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.14正方形的性质与判定大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．(2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC=32°，求∠FMN的大小．2．(2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF=45°．求证：四边形ABCD是正方形．3．(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在AB延长线上，且BE=2．求证：DE平分∠BDC4．(2023秋·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．5．(2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．(1)求证：DE＝AF；(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．6．(2023春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G．(1)求证：BG=CE；(2)若OB=2，BF是∠DBC的角平分线，求OE7．(2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F，交AE于点O，且BF⊥AE．(1)求证：BF＝AE；(2)连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．8．(2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．(1)∠ACB的大小＝______°；(2)求证：△ABE≌△ADE；(3)若∠CBF=20°，则∠AED的大小＝______°．9．(2023春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．10．(2023春·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数．11．(2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，已知正方形ABCD的边长是5，BE⊥AE，DF⊥CF，垂足分别是E、F，且AE=CF=3，则EF的长是______________．12．(2023春·江苏·八年级专题练习）如图，边长为4的正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，C，E点在同一直线上，连接BF（1）求菱形BDFE的面积；（2）求CG的长度．13．(2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．14．(2023秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．15．(2023秋·江苏·八年级专题练习）（1）作图发现如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是．（2）拓展探究如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．16．(2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（1）以A为中心，把△ADE按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形；（2）设旋转后点E的对应点为F，连接EF，△AEF是什么三角形（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长17．(2023春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE（1）求证：ΔABE≅ΔDAF（2）若AF=1，ΔAED的面积为4.5，求EF的长18．(2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．(1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为17的正方形（正方形是四条边相等，四个内角都是90°的四边形）；(2)在图（2）中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其底边为32，腰长为5(3)在图（3）中，A、B均为格点，请画出一个格点C，使得∠CBA=45°．19．(2023春·江苏南京·八年级南京市宁海中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点、过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD(1)求证：CE=AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A=______时，四边形BECD是正方形（直接写出答案）．20．(2023春·江苏南京·八年级期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．(1)求证：AF与DE互相平分；(2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形．21．(2023秋·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．22．(2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上两动点，且满足∠DAE=1求证：BD+CE>DE．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明的解题思路：将半角∠DAE两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的△AFE，然后证明与半角形成的△ADE全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．请你根据小明的思路写出完整的解答过程．证明：将△ABD绕点A旋转至△ACF，使AB与AC重合，连接EF，……（2）【应用提升】如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD点D运动；点Q点D同时出发，以相同的速度沿射线AD方向向右运动，当点P到达点D时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线交过点Q平行于CD的直线l于点E，BE与CD相交于点F，连接PF，设点P运动时间为ts①求∠PBE的度数；②试探索在运动过程中△PDF的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．23．(2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．(1)如图1，当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形．(2)如图2，连接CF，当△FCG的面积等于1时，求线段DG的长度．24．(2023春·江苏无锡·八年级统考期末）在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN＝DD′；问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若BD′＝6，CM＝2，求线段MN的长.25．(2023春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．(2)探究证明：①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．26．(2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，已知矩形ABCD中，AB=9，AD>AB．菱形EFGH的顶点H在边AD上，且AH=4，顶点G，E分别是边DC，AB上的动点，连接CF．(1)当四边形EFGH为正方形时，直接写出DG的长等于________；(2)连接GE，判断图中∠1与∠2的大小关系，并说明理由；(3)若ΔFCG的面积等于12，求DG27．(2023春·江苏泰州·八年级统考期末）已知点E为平行四边形ABCD外一点．(1)如图1，若∠AEC=∠BED=90°，求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)如图2，若∠AEB=∠BEC=∠CED=45°，过点B作BF⊥BE交EC的延长线于点F．①求证：四边形ABCD是正方形；②探索线段AE、CE与BE之间的数量关系，并说明你的理由；直接写出线段DE、CE与BE之间的数量关系．28．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，AB=4，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），DE=t，连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为G，交AD于点F．(1)如图1，若t=3．①求BF的长；②求四边形DEGF的面积．(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求DG+CH的长（用含t的代数式表示）．29．(2023春·江苏泰州·八年级校联考期中）在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处．(1)若P为BC边上一点．①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时CE=；②如图2，连接CE，若CE∥则BP与BC有何数量关系？请说明理由；(2)如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长．30．(2023春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；(2)请思考并解决小明提出的两个问题：问题1：B、G两点间距离的最大值为；问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.14正方形的性质与判定大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．(2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC=32°，求∠FMN的大小．【答案】119°【分析】根据正方形的性质得到∠A=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质，得到∠F=∠A=90°，∠FEN=∠C=90°，∠DNM=∠ENM，根据平角的定义得到∠ENM的度数，根据四边形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，∴∠F=∠A=90°，∠DNM=∠ENM，∠FEN=∠D=90°，∵∠NEC=32°，∴∠ENC=90°−32°=58°，∴∠DNM=∠ENM=1∴∠FMN=360°−90°−90°−61°=119°．【点睛】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．2．(2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF=45°．求证：四边形ABCD是正方形．【答案】证明见解析．【分析】可作EM⊥BC于点M，由∠ABE+∠CEF=45°可得∠BEM+∠CEF=45°，进一步可得∠BAC=∠ACB=45°，从而可得AB=BC，再根据四边形ABCD是矩形即可得到结论．【详解】证明：如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM//∴∠ABE=∠BEM，∠BAC=∠CEM，∠ABC=90°∵∠ABE+∠CEF=45°，∴∠BEM+∠CEF=45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM=45°=∠BAC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴AB=BC∴矩形ABCD是正方形．【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键．3．(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在AB延长线上，且BE=2．求证：DE平分∠BDC【答案】见解析【分析】求得BE=2，证明BE=BD，推出∠BDE=∠E=∠DCE【详解】证明：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴BD=12+∵BE=2，∠CDE=∠E∴BE=BD，∴∠BDE=∠E=∠CDE，∴DE平分∠BDC．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，证明BE=BD是解题的关键．4．(2023秋·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．【答案】(1)见解析(2)80【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS证得△ADE≌△ABF；（2）根据勾股定理可得AE＝410，再由全等三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°∵F是CB的延长线上的点，∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°在△ADE和△ABF中，AD=AB∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：∵BC＝12，∴AD＝12在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，∴AE＝AD2+D由（1）知△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．∴∠EAF＝90°∴S【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．5．(2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．(1)求证：DE＝AF；(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）证明△ADE≌△BAF，即可求证；（2）根据勾股定理可得DE=25，从而得到AF=25，再由S△ADE（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD，∴∠BAF+∠DAF=90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD=90°，∴∠ADE+∠DAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAFASA∴DE=AF．（2）解：∵AB=4，点E是AB中点，∴AE=2，在Rt△ADE中，DE=A∵DE=AF，∴AF=25∵S△ADE∴AG=4∴GF=6【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．6．(2023春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G．(1)求证：BG=CE；(2)若OB=2，BF是∠DBC的角平分线，求OE【答案】(1)见解析(2)OE=2−【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易证△EOC≌△GOB（ASA），根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根据BF是∠DBC的角平分线，可知∠EBF=∠CBF，可证△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根据正方形的性质，可知BC=2，即可求出OE．（1）证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，∴∠EOC=∠GOB=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵BF⊥CE，∴∠OEC+∠OBG=90°，∴∠OBG=∠OCE，在△EOC和△GOB中，∠EOC=∠GOBOC=OB∴△EOC≌△GOB（ASA），∴BG=CE；（2）解：∵BF⊥CE，∴∠EFB=∠CFB=90°，∵BF是∠DBC的角平分线，∴∠EBF=∠CBF，∵BF=BF，∴△EBF≌△CBF（SAS），∴BE=BC，在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，∵OB=2，根据勾股定理，得BC=2，∴OE+2=2，∴OE=2-2．【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．7．(2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F，交AE于点O，且BF⊥AE．(1)求证：BF＝AE；(2)连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)OD=AB，理由见解析【分析】（1）根据正方形的性质和BF⊥AE，可得∠BAE=∠CBF，从而得到△ABE≌△BCF，即可求证；（2）延长AD交射线BM于点G，根据△ABE≌△BCF，可得BE=CF，从而得到CF=DF，再由AD∥BC，进而得到∠DGF=∠CBF，可证得△DGF≌△CBF，从而得到DG=BC，进而得到OD为△AOG的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解．(1)证明：在正方形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BF⊥AE，∴∠EOB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴BF=AE；(2)解：OD=AB，理由如下：如图，延长AD交射线BM于点G，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴BE=CF，∵E是BC的中点，∴CF=BE=1∴CF=DF，∵AD∥BC，∴∠DGF=∠CBF，在△DGF和△CBF中，∵∠DGF=∠CBF，∠DFG=∠BFC，DF=CF，∴△DGF≌△CBF，∴DG=BC，∴DG=AD，即OD为△AOG的中线，∵BF⊥AE，∴OD=1【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．(2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．(1)∠ACB的大小＝______°；(2)求证：△ABE≌△ADE；(3)若∠CBF=20°，则∠AED的大小＝______°．【答案】(1)45(2)证明见解析(3)65【分析】（1）由正方形的性质求解即可；（2）由正方形ABCD可知，AB=AD，∠EAB=∠EAD，进而可证△EAB≌△EAD（SAS）；（3）由△EAB≌△EAD可知∠AED=∠AEB，由三角形外角的性质可知∠AEB=∠EBC+∠BCE，计算求解即可．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠ACB=故答案为45．（2）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，∠EAB=∠EAD在△EAB和△EAD中∵EA=EA∴△EAB≌△EAD（SAS）．（3）解：∵△EAB≌△EAD∴∠AED=∠AEB∵∠AEB=∠EBC+∠BCE=20°+45°=65°∴∠AED=65°故答案为65．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．9．(2023春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．【答案】（1）见解析；（2）90°【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，得AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，利用SAS可证得△ABP≌△CBP即可证明PC＝PE．（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，从而得∠DAP＝∠DCP，再由PA＝PE即可证出∠DCP＝∠E，进而可证出∠CPE＝∠EDF＝90°．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，AB=BC∠ABP∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE，（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10．(2023春·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠FAD＝45°【分析】（1）根据正方形的性质，可得EF=CE，再根据∠CEF=∠90°，进而可得∠FEH=∠DCE，结合已知条件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可证明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性质可得FH=ED；（2）根据矩形的性质得到CD=AB=3，求得DE=4，根据全等三角形的性质得到FH=DE=4，EH=CD=3，得到AH=FH，根据等腰直角三角形的性质得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE=EF，∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，∴∠FEH=∠DCE，在△FEH和△ECD中，∠FHE=∠D∠FEH=∠DCE∴△FEH≌△ECD（AAS），∴FH=ED；（2）解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，∴CD=AB=3，∵AE=1，∴DE=4，∵△FEH≌△ECD，∴FH=DE=4，EH=CD=3，∴AH=4，∴AH=FH，∵∠FHE=90°，∴∠FAD=45°．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．11．(2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，已知正方形ABCD的边长是5，BE⊥AE，DF⊥CF，垂足分别是E、F，且AE=CF=3，则EF的长是______________．【答案】7【分析】延长EB,FC交于点G，证明△BAE≌△DCF≌△CBG，根据勾股定理即可求得EF【详解】如图，延长EB,FC交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=5，∵AE=CF=3，BE⊥AE，DF⊥CF，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴BE=AB2∴△BAE≌△DCF（SSS），∴∠ABE=∠CDF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABC=90°，∴∠DCF+∠BCG=90°，∠ABE+∠CBG=90°，∵∠DFC=90°,∠BEA=90°，∴∠DCF+∠CDF=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠CDF=∠BCG,∠CBG=∠BAE，∵∠ABE=∠CDF，∴∠ABE=∠BCG，在△ABE和△BCG中∠ABE=∠BCGAB=BC∴△ABE≌△BCG，∴∠G=∠AEB=90°，GB=AE=3,CG=BE=4，∴GE=GB+BE=3+4=7，GF=GC+CF=4+3=7，∴EF=G故答案为：72【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．12．(2023春·江苏·八年级专题练习）如图，边长为4的正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，C，E点在同一直线上，连接BF（1）求菱形BDFE的面积；（2）求CG的长度．【答案】（1）162；（2）4【分析】（1）已知正方形的边长可求BD，根据BE，DC即可求菱形BDFE的面积．（2）连接DE，可证△BCG≌△DCE，得出CG＝CE，可求CG的长度．【详解】解：（1）正方形边长为4，则BD＝BC2+DC2菱形BDFE的面积为S＝42×4＝162．答：菱形BDFE的面积为162．（2）连接DE，则DE⊥BF，∴∠CBG+∠DEC＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CBG，又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴CG＝CE=BE-BC=42【点睛】本题考查了菱形的对角线垂直的性质，正方形的性质，勾股定理，本题中证△BCG≌△DCE是解题的关键．13．(2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．【答案】∠CBH＝∠GBH＝∠GBA，理由见解析【分析】连接CG，由折叠的性质得出EF垂直平分BC，则BG=CG，证明△BCG是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBG=60°，则可得出答案．【详解】∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．理由：连接CG，由第一次折叠知点B、C关于EF对称，∴EF垂直平分BC，∴BG＝CG，由第二次折叠知△BCH≌△BGH，∴BG＝BC，∴BG＝CG＝BC，∴△BCG是等边三角形，∴∠CBG＝60°，∵△BCH≌△BGH，∴∠CBH＝∠GBH＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠GBA=90°−60°=30°，∴∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．【点睛】本题考查的是折叠的性质、等边三角形的判定与性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．14．(2023秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．【答案】（1）见解析；（2）CF⊥AB，理由见解析；（3）16【分析】（1）四边形APCD正方形，则PD平分∠APC，PC=PA，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；（2）由△AEP≌△CEP，则∠EAP=∠ECP，而∠EAP=∠BAP，则∠BAP=∠FCP，又∠FCP+∠CMP=90°，则∠AMF+∠PAB=90°即可求解；（3）过点C作CN⊥BG，垂足为N，证明△PCN≌△APB（AAS），则CN=PB=BF，PN=AB，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形APCD为正方形∴PD平分∠APC，∠APC=90°，PC=PA∴∠APD=∠CPD=45°在△AEP和△CEP中，{∴△AEP≌△CEP(SAS)（2）CF⊥AB．理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP=∠ECP∵∠EAP=∠BAP∴∠BAP=∠FCP∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP∴∠AMF+∠PAB=90°∴∠AFM=90°∴CF⊥AB（3）过点C作CN⊥BG，垂足为N∵CF⊥AB，BG⊥AB∴四边形BFCN为矩形，FC∥BN∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB又AP=CP，∠ABP=∠CNP=90°∴△PCN≌△APB(AAS)∴CN=PB=BF，PN=AB∵△AEP≌△CEP∴AE=CE∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+BF+AF=2AB=16【点睛】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明△PCN≌△APB（AAS），是本题的关键．15．(2023秋·江苏·八年级专题练习）（1）作图发现如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是．（2）拓展探究如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）BE＝CD；（2）BE＝CD，理由见解析．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，再通过角的等量代换可证出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．（2）根据正方形的性质可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，再通过角的等量代换可证出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD和△EAB中，∵AD=∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE＝CD．（2）BE＝CD，理由同（1），∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，AD=∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE＝CD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．16．(2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（1）以A为中心，把△ADE按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形；（2）设旋转后点E的对应点为F，连接EF，△AEF是什么三角形（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长【答案】（1）见解析；（2）△AEF是等腰直角三角形；（3）29【分析】（1）利用正方形的性质，可画出旋转后的图形；（2）由旋转的性质，可得AF=AE，∠FAE=90°，即△AEF是等腰直角三角形的性质．（3）由四边形AECF的面积为25，易知正方形的面积也为25，从而得到正方形的边长AD=5，而DE=2，再利用勾股定理即可求出AE.【详解】解：（1）如图，△ABF即是旋转后的图形；（2）△AEF是等腰直角三角形．理由：∵以A为中心，把△ADE按顺时针方向旋转90°得到△ABF，∴AF=AE，∠FAE=90°，∴△AEF是等腰直角三角形的性质．（3）∵△ADE≌△ABF，∴SΔADE∴SΔADE∴S四边形AECF∴AD∴AD=5,在RtΔADE中，DE=2，AD=5，∴AE=A【点睛】此题考查了正方形的性质与旋转的性质及勾股定理．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．17．(2023春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE（1）求证：ΔABE≅ΔDAF（2）若AF=1，ΔAED的面积为4.5，求EF的长【答案】（1）见解析；（2）2．【分析】（1）首先根据正方形的性质得出AB=AD,∠BAD=90°，然后通过等量代换得到∠DAF=∠ABE，从而利用AAS即可证明；（2）由全等三角形的性质得出AE=DF，设EF=x，则DF=AE=1+x，然后利用S△AED【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°∴∠BAE+∠DAF=90°∵BE⊥AG，DF⊥AG∴∠AEB=∠DFA=90°∴∠BAE+∠ABE=90°∴∠DAF=∠ABE在△ABE和△DAF中，∠AEB=∠DFA∠ABE=∠DAF∴△ABE≅△DAF(AAS)；（2）∵△ABE≅△DAF∴AE=DF设EF=x，则DF=AE=1+x∵∴x=2或x=−4（舍去）∴EF=2【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．18．(2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．(1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为17的正方形（正方形是四条边相等，四个内角都是90°的四边形）；(2)在图（2）中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其底边为32，腰长为5(3)在图（3）中，A、B均为格点，请画出一个格点C，使得∠CBA=45°．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据要求作一个边长为17的正方形即可；（2）根据要求作出图形即可；（3）利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题即可．【详解】（1）解：如图1中，正方形ABCD即为所求；根据作法得：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=1∴该四边形为正方形，∴该四边形的面积为172（2）解：如图2中，△ABC即为所求．根据作法得：AB=AC=1（3）解：如图3中，点C即为所求．根据作法得：BC=AC=1∴BC∴∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．(2023春·江苏南京·八年级南京市宁海中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点、过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD(1)求证：CE=AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A=______时，四边形BECD是正方形（直接写出答案）．【答案】(1)见解析(2)四边形BECD是菱形，理由见解析(3)45°【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．【详解】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，故答案为：45°．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．20．(2023春·江苏南京·八年级期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．(1)求证：AF与DE互相平分；(2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形．【答案】(1)见解析(2)AB＝AC且∠BAC＝90°【分析】（1）证明四边形DFEA是平行四边形，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出AF⊥BC，再根据三角形中位线定理及正方形的判定可得出结论．（1）证明：∵△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O，∴EF是△ABC的中位线，AD＝BD，∴EF∥AB，EF=12AB＝∴四边形DFEA是平行四边形，∴AF与DE互相平分．（2）解：当△ABC满足AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形ADFE是正方形，理由如下：由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AF是△ABC的中线，∴AF⊥BC，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴AF⊥DE，∴平行四边形ADFE是菱形．又∵∠BAC＝90°，∴四边形ADFE是正方形．故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．(2023秋·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】见解析【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．【详解】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=CB∠ABD=∠CBD∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．22．(2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上两动点，且满足∠DAE=1求证：BD+CE>DE．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明的解题思路：将半角∠DAE两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的△AFE，然后证明与半角形成的△ADE全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．请你根据小明的思路写出完整的解答过程．证明：将△ABD绕点A旋转至△ACF，使AB与AC重合，连接EF，……（2）【应用提升】如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD点D运动；点Q点D同时出发，以相同的速度沿射线AD方向向右运动，当点P到达点D时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线交过点Q平行于CD的直线l于点E，BE与CD相交于点F，连接PF，设点P运动时间为ts①求∠PBE的度数；②试探索在运动过程中△PDF的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．【答案】（1）见解析；（2）①45°；②不变，2【分析】（1）如图1，将△ABD绕点A旋转至△ACF，使AB与AC重合，连接EF，根据旋转的性质结合已知可证△DAF≌△FAE，再根据三角形三边关系定理即可证得结论；（2）①如图2，根据已知结合正方形性质证得△ABP≌△QPE，推出PB=PE，即可证出结论；②如图3，延长DA到G，使AG=CF，连接BG，证出△BAG≌△BCF，得到BG=BF，∠ABG=∠CBF，证出△PBG≌△PBF，由全等三角形的性质得出PF=PG，由此可得出△PDF的周长是定值8．【详解】（1）如图1，将△ABD绕点A旋转至△ACF，使AB与AC重合，连接EF，∵△ABD绕点A旋转至△ACF，∴△ABD≌△ACF∴BD=CF，AD=AF，∠BAD=∠CAF，∵∠BAD+∠DAE+∠CAE=∠BAC，∠DAE=1∴∠BAD+∠CAE=∠DAE∴∠CAF+∠CAE=∠DAE∵∠CAE+∠CAF=∠EAF∴∠DAE=∠FAE∵AE=AE∴△DAE≌△FAE∴DE=FE∵CF+CE>EF∴BD+CE>DE（2）①如图2，由题意：AP=DQ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠A=90°∵AP=DQ∴AD=PQ=AB∵PB⊥PE∴∠BPE=90°∴∠ABP+∠APB=90°∠APB+∠EPQ=90°∴∠ABP=∠EPQ在△ABP和△QPE中∵∠ABP=∠EPQ∴△ABP≌△QPE∴PB=PE∴∠PBE=∠PEB=45°②△PDF的周长不随时间t的变化而变化，如图3，延长DA到G，使AG=CF，连接BG，在△BAG和△BCF中∵BA=BC∴△BAG≌△BCF∴BG=BF，∠ABG=∠CBF∵∠PBE=45°，∠ABC=90°∴∠ABP+∠CBF=∠ABP+∠ABG=45°，∴∠PBG=∠PBF在△PBG和△PBF中∵BG=BF∴△PBG≌△PBF∴PF=PG∴PF=PA+AG=PA+CF∵正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4∴△PDF的周长=PF+DP+DF=∴△PDF的周长是定值8．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．23．(2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．(1)如图1，当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形．(2)如图2，连接CF，当△FCG的面积等于1时，求线段DG的长度．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据菱形和正方形的性质，去证明Rt△HDG≌Rt△AEH，即可得到∠DHG=∠AEH，从而推出∠DHG+∠AHE=90°，得到（2）过F作FM⊥CD，交DC的延长线于点M，连接GE，根据菱形和正方形的性质得到∠A=∠M，∠AEH=∠MGF，HE=FG，从而证明得到△AEH≌△MGF，得到FM=AH=2，根据△FCG的面积等于1，即可求出（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，∵DG=AH=2∴在Rt△HDG和RtHG=HEDG=AH∴Rt△HDG≌Rt∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形；（2）过F作FM⊥CD，交DC的延长线于点M，连接GE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，CD∥∴∠AEG=∠MGE，∵四边形EFGH是菱形，∴HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠FGM，∵FM⊥CD∴∠M=90°，∴∠M=∠A，在△AEF和△MGF中，∠A=∠M∠AEH=∠MGF∴△AEH≌△MGF（AAS），∴FM=AH=2，∴S△FCG∴CG=1，∴DG=DC−CG=6−1=5．【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，综合掌握以上性质和判定是本题的关键．24．(2023春·江苏无锡·八年级统考期末）在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN＝DD′；问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若BD′＝6，CM＝2，求线段MN的长.【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）过点N作NH⊥BC于H，利用ASA证明△ADD'≌△HNM，得DD'=MN；（2）连接MD'，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，解方程可得x的值，利用勾股定理求出DD'，再根据（1）知，DD'=MN，从而解决问题．【详解】解：（1）证明：过点N作NH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABM=90°，∵∠NHB=90°，∴四边形ABHN是矩形，∴AB=HN，∵DD′⊥MN，∴∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠OND+∠MNH=90°，∴∠ODN=∠MNH，∵∠DAD'=∠NHM，AD=NH，∴△ADD'≌△HNM（ASA），∴MN=DD'；（2）连接MD'，DD'，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，∴62+（x-2）2=x2+22，解得x=9，∴AB=AD=9，∴AD'=3，由勾股定理得，DD'=310∵MN是DD'的垂直平分线，由（1）知，DD'=MN，∴MN=310【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．25．(2023春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．(2)探究证明：①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．【答案】(1)AF=(2)①见解析

②见解析【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理即可解决问题；（2）①延长BC，作DG∥AF，交BC的延长线于点G，连接EG，证明四边形AFGD为平行四边形．从而证明△CDE≌△FGE，得到△②作DG⊥DE，并截取DG=DE，连接AG，证明△DEG是等腰直角三角形，得到EG=2DE，再证明△GDA≌△EDC，EF=AG，AG∥EF，再得到四边形（1）AF=2∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，∵AB2＝AE2＋BE2，∴AB2＝2DE2，∵B点与F点重合，∴AF2＝2DE2，∴AF=2故答案为：AF=2（2）①如下图，延长BC，作DG∥AF，交BC的延长线于点G，连接∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD，AD∥∵DG∥AF，∴四边形AFGD为平行四边形．∴AF＝DG，AD＝FG．∴FG＝CD．∵∠ABC=90°，AB＝BC，∴∠ACB=45°．∴∠ACD=45°∵EF⊥AC．∴∠FEC=90°．∴∠EFC=∠ECF=45°．∴EF=EC．∴∠EFC=∠ECD．∴△CDE≌∴ED=EG，∠FEG=∠CED．∴∠DEG=∠FEC=90°．∴△DEG是等腰直角三角形∴DG∴DG=2∴AF=2②如图，作DG⊥DE，并截取DG=DE，连接AG、GE．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，CD＝AD．∴∠DAC=DCA=45°同理，∠ACB=45°．∵GD⊥DE，∴∠GDE=90°．又∵DG＝DE，∴△DEG是等腰直角三角形∴EG∴EG=2∵∠ADC=∠GDE=90°，∴∠GDA=∠EDC．∴△GDA≌∴∠GAD=∠ECD=45°，AG＝EC．∴∠GAE=90°．∵EF⊥AC，∴∠FEC=∠FEA=90°．∴∠EFC=∠ECF=45°．∴EF=EC．∴EF=AG．∵∠GAE=∠FEA=90°，∴AG∴四边形AGEF为平行四边形．∴AF＝EG．∴AF=2【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．26．(2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，已知矩形ABCD中，AB=9，AD>AB．菱形EFGH的顶点H在边AD上，且AH=4，顶点G，E分别是边DC，AB上的动点，连接CF．(1)当四边形EFGH为正方形时，直接写出DG的长等于________；(2)连接GE，判断图中∠1与∠2的大小关系，并说明理由；(3)若ΔFCG的面积等于12，求DG【答案】(1)4(2)∠1=∠2，理由见解析(3)3【分析】（1）根据正方形的性质及矩形的性质得出∠DHG=∠AEH，利用全等三角形的判定和性质求解即可；（2）根据矩形及菱形的性质得出∠CGE=∠GEA，∠FGE=∠HEG，结合图形，找准各角之间的关系即可得出结果；（3）作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，连接EG，利用矩形及菱形的性质得出∠MGF=∠AEH，再由全等三角形的判定和性质得出MF=AH=4，利用三角形面积得出CG=6，结合图形求解即可．（1）解：如图所示，当四边形EFGH为正方形时，GH=HE，∠EHG=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠A=90°，∴∠DHG=90°-∠AHE=∠AEH，∴∆DHG≅∆AEH，∴DG=AH=4，故答案为：4；（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠CGE=∠GEA，∵四边形EFGH为菱形，∴GF∥HE，∴∠FGE=∠HEG，∴∠CGE-∠FGE=∠GEA-∠HEG，即∠1=∠2；（3）如图，作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，连接EG，∵四边形EFGH为菱形，∴GF∥HE，∴∠FGE=∠HEG，∵AB∥CD，∴∠CGE=∠GEA，∴∠CGE-∠FGE=∠GEA-∠HEG即∠MGF=∠AEH∵∠D=∠A=90°，GF=EH，∴∆MGF≅∆AEH，∴MF=AH=4，∵ΔFCG的面积等于12∴12∴CG=6，∵CD=AB=9，∴DG=CD-CG=3．【点睛】题目主要考查矩形、正方形及菱形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．27．(2023春·江苏泰州·八年级统考期末）已知点E为平行四边形ABCD外一点．(1)如图1，若∠AEC=∠BED=90°，求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)如图2，若∠AEB=∠BEC=∠CED=45°，过点B作BF⊥BE交EC的延长线于点F．①求证：四边形ABCD是正方形；②探索线段AE、CE与BE之间的数量关系，并说明你的理由；直接写出线段DE、CE与BE之间的数量关系．【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②CE+AE=2BE，理由见解析；【分析】（1）连接EO，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行证明即可；（2）①通过证明△ABE≌△CBF，即可证明四边形ABCD是正方形；②由△ABE≌△CBF，可得AE=CF，再由CE+AE=EF=2BE；过点C作CP⊥BE交于P，过点C作CQ⊥ED交于Q，可证明△BCP≌△DCQ，再由EC=2（1）证明：如图，连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O为AC，BD的中点，∵∠AEC=∠BED=90°，∴AC=2OE，BD=2OE，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）①证明：∵∠AEB=∠BEC=∠CED=45°，∴∠AEC=∠BED=90°，由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠BEC=45°，BF⊥BE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE=BF，∠F=45°，∴∠AEB=∠F，∵∠ABC=90°，∠EBF=90°，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AB=BC，∴四边形ABCD是正方形；②CE+AE=2∵△ABE≌△CBF，∴AE=CF，∴CE+AE=CE+CF=EF，∵△BEF是等腰直角三角形，∴EF=2∴CE+AE=2过点C作CP⊥BE于点P，过点C作CQ⊥ED于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°，∵∠PCQ=∠BCD=90°，∴∠DCQ=∠BCP，∴△BCP≌△DCQ（AAS），∴BP=DQ，∵∠CED=45°，∴△CEQ是等腰三角形，∴EQ=CQ，∴EC=∵∠BEC=45°，∴PE=PC，∴EC=2∴PE=2∴EC=2∴DE+BE=2【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握矩形的判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．28．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，AB=4，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），DE=t，连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为G，交AD于点F．(1)如图1，若t=3．①求BF的长；②求四边形DEGF的面积．(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求DG+CH的长（用含t的代数式表示）．【答案】(1)①5；②96(2)t【分析】（1）①由“ASA”证明△BAF≌△EAD，得出AF＝DE＝3，再由勾股定理即可求出BF的长；②利用等积法求出AG的长度，由勾股定理得出BG的长度，再由S四边形DEGF＝S△ABG，即可求出四边形DEGF的面积；（2）先证明四边形四边形BHGF是平行四边形，得出FG＝BH，由BC＝BH＋CH，AD＝AF＋FD，得出FD＋DG＋CH＝AF＋FD，即可得出DG＋CH＝AF＝t．（1）解：①∵在正方形ABCD中，∴∠BAF=∠ADE=90∘，∵BF⊥AE，∴∠AGB=90∴∠ABG+∠BAG=90∘，∴∠DAE=∠ABF，在ΔBAF和Δ{∠FBA=∠EAD∴ΔADE≅∴AE=BF，DE=AF，∵AB=4，AF=3，在Rt△ABF中，BF∴BF=5；②由①知ΔADE≅∴SΔADE＝∵AB=4，AF=3，BF=5，∴12AB·AF=1∴SΔ∴S四边形∵在RtΔABG中，∠AGB=90°，AB=4，∴BG=A∴S四边形DEGF=（2）解：∵AE⊥HM，BF⊥AE，∴∠AGB=∠AEH=90∴BF∥∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥∴四边形FBHM为平行四边形，∴FM=BH，而BH+HC=BC，∴FM+HC=BC=AD，∴FD+