空间直角坐标系

关于空间直角坐标系数轴Ox上的点M

直角坐标平面上的点MxOyAOxxM(x,y)xy实数x实数对(x，y)第2页,共58页，2024年2月25日，星期天右手直角坐标系一、空间直角坐标系—Oxyz横轴纵轴竖轴第3页,共58页，2024年2月25日，星期天

右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．第4页,共58页，2024年2月25日，星期天空间的点有序数组空间中的点的坐标x叫做点M的横坐标y叫做点M的纵坐标z叫做点M的竖坐标第5页,共58页，2024年2月25日，星期天C'D'B'A'COAByzxxoy平面上的点竖坐标为0yoz平面上的点横坐标为0xoz平面上的点纵坐标为0x轴上的点纵坐标竖坐标为0z轴上的点横坐标纵坐标为0y轴上的点横坐标竖坐标为0一、坐标平面内的点二、坐标轴上的点第6页,共58页，2024年2月25日，星期天C'D'B'A'COABzyx例1：如图变式与相交于点P写出点P的坐标。第7页,共58页，2024年2月25日，星期天平面：的中点类比猜想中点坐标公式空间：的中点第8页,共58页，2024年2月25日，星期天练习C'D'B'A'COAByzx棱长为a，OB’与BD’交于点Q写出点Q的坐标。第9页,共58页，2024年2月25日，星期天类比猜想两点间距离公式第10页,共58页，2024年2月25日，星期天例2在空间中，已知点A(1,0,-1)，B(4,3,-1)，求A、B两点之间的距离.

例3已知两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)，点P在z轴上，若|PA|=|PB|，求点P的坐标.第11页,共58页，2024年2月25日，星期天空间向量及其运算3.1第12页,共58页，2024年2月25日，星期天平面向量空间向量具有大小和方向的量几何表示：有向线段

字母表示:

向量的大小

模为0的向量，与任何向量共线模为1的向量，没有规定方向长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相同的向量定义表示法向量的模零向量单位向量相反向量相等向量一、空间向量的基本概念第13页,共58页，2024年2月25日，星期天ababOABb空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。O′1.空间向量的运算就是平面向量运算的推广．2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，

平面向量中有关结论仍适用于它们。第14页,共58页，2024年2月25日，星期天平面向量空间向量二、空间向量的加法与减法运算加法法则运算律减法法则加法交换律加法结合律OAB三角形法则OABC平行四边形法则OAB三角形法则第15页,共58页，2024年2月25日，星期天三、空间向量的数乘运算例如:第16页,共58页，2024年2月25日，星期天空间向量的数乘运算满足分配律及结合律三、空间向量的数乘运算第17页,共58页，2024年2月25日，星期天ABCDA’B’C’D’例1第18页,共58页，2024年2月25日，星期天解：ABCDA’B’C’D’第19页,共58页，2024年2月25日，星期天⑶设M是线段CC’的中点，则解：ABCDA’B’C’D’M第20页,共58页，2024年2月25日，星期天⑷设G是线段AC’靠近点A的三等分点，则GABCDA’B’C’D’M解：第21页,共58页，2024年2月25日，星期天例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1第22页,共58页，2024年2月25日，星期天四、共线向量零向量与任意向量共线.1.空间共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作2.与平面向量一样，对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使第23页,共58页，2024年2月25日，星期天2.中线性质：

若P为AB中点,则OABP1.A、B、P三点共线四、共线向量补充知识第24页,共58页，2024年2月25日，星期天1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac五、共面向量第25页,共58页，2024年2月25日，星期天平面向量基本定理：【温故知新】第26页,共58页，2024年2月25日，星期天2.

如果两个向量

不共线，

则向量与向量共面的充要条件是存在唯一实数对x,y使C五、共面向量第27页,共58页，2024年2月25日，星期天实数对3.空间四点P、A、B、C共面五、共面向量第28页,共58页，2024年2月25日，星期天

共线向量

共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共面，或直线平行于平面共面共线向量与共面向量的区别第29页,共58页，2024年2月25日，星期天1.下列命题中正确的有：A.1个B.2个C.3个D.4个B2.对于空间中的三个向量它们一定是：A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线又不共面向量A第30页,共58页，2024年2月25日，星期天3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为：D4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？第31页,共58页，2024年2月25日，星期天两个向量的夹角的定义OAB六、向量的数量积注意1.向量的夹角：平移到同起点2.第32页,共58页，2024年2月25日，星期天注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。六、向量的数量积已知两个非零向量a,b，则|a||b|cos叫做向量a,b的数量积，记作即并规定0第33页,共58页，2024年2月25日，星期天1.空间向量的数量积性质注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：第34页,共58页，2024年2月25日，星期天2.空间向量的数量积满足的运算律：90页思考注意：1.数量积不满足结合律2.数量积不满足除法3.数量积不满足消去律第35页,共58页，2024年2月25日，星期天1.下列命题成立吗?①若,则②若,则③3.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则△BCD是()三角形A.钝角B.直角C.锐角C第36页,共58页，2024年2月25日，星期天练习第92页1,2,3第37页,共58页，2024年2月25日，星期天ABA1C1B1C1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为2.已知在平行六面体中，课堂练习求对角线的长。第38页,共58页，2024年2月25日，星期天通过学习,我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：

1、证明两直线垂直;2、求两点之间的距离或线段长度;3、求两直线所成角.

第39页,共58页，2024年2月25日，星期天1.已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证：PM⊥QN．2.在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求BD第40页,共58页，2024年2月25日，星期天3.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：ABCDEFG第41页,共58页，2024年2月25日，星期天任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。六、空间向量基本定理

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}，使都叫做基向量注意基向量是非零向量；三个基向量是不共面的第42页,共58页，2024年2月25日，星期天已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ例题第43页,共58页，2024年2月25日，星期天练习平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN第44页,共58页，2024年2月25日，星期天练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－a+b+c

122312(C)a+b

－c

122312(D)a+b

－c

122323B第45页,共58页，2024年2月25日，星期天练习第46页,共58页，2024年2月25日，星期天e1e2e3单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空间直角坐标系：

在空间选定一点O和一个

单位正交基底

如图建立了一个空间直角坐标系O--xyzxyzO七、空间直角坐标系第47页,共58页，2024年2月25日，星期天

给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作P(x,y,z)xyzOe1e2e3七、空间直角坐标系第48页,共58页，2024年2月25日，星期天【新知探究】

平面向量运算的坐标表示：类比推广空间向量运算的坐标表示：第49页,共58页，2024年2月25日，星期天例1．已知

解:【应用举例】

第50页,共58页，2024年2月25日，星期天【新知探究】

平面向量运算的坐标表示：类比推广空间向量运算的坐标表示：第51页,共58页，2024年2月25日，星期天在空间直角坐标系中，已知、，则空间两点间的距离公式第52页,共58页，2024年2月25日，星期天练习23第53页,共5