2023-2024学年四川省成都市天府新区高二年级下册3月月考数学（理）试题（含答案）

2023-2024学年四川省成都市天府新区高二下册3月月考数学

(理)试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设命题P:ReN,>2",则7?为

A.X∕neN,n2>2"B.3neN,n2≤2"

C.VN∈M"2≤2"D.3n≡N,n2=2"

2.已知集合∕={0,L2},N={x∣x=2”,ae∕},则集合∕∩N等于

A.{0}B.{0,l}C.{1,2}D.{0,2}

3.复数卷在复平面内对应的点所在的象限为

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

χ+y≥2,

4.若X,y满足约束条件•》+2”4,贝［|2=2》-了的最大值是

∕≥0,

A.-2B.4C.8D.12

5.设α］,c,d∈R,且mc>d,则下列结论正确的是

ac

A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.—>—

db

6.已知函数段)=］；jjt^θ0'(αWR),若"/*(-1))=1,则α=

1ɪ

A.-B.VC.1D.2

42

7.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关

于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

1

8.已知双曲线C：£-<=l(a>0力>0)满足2=且，且与椭圆E+片=1有公共焦点，则双曲线C的

"/a2123

方程为

9.已知函数/(x)=F+χ2-办+1在R上为单调递增函数，则实数α的取值范围为

—,+∞

3

10.某公司10位员工的月工资(单位：元)为4,巧，…，x10,其均值和方差分别为T和s',若从

下月起每位员工的月工资增加IOO元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为

ɪ,s2+IOO2B.X+100,s2+1OO2

D.x+100,

11.如图，在正方体Z8C0-44G4中，M,N分别为4C,45的中点，则下列说法中不本碰的是

A.MV〃平面NDDI4

B.MNIAB

C.直线MN与平面/6C。所成的角为60。

D.异面直线MN与。"所成的角为45。

12.函数/(x)=CoSX+(x+l)SinX+1在区间［0,2π∣的最小值、最大值分别为

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.已知向量万=("?,3),B=(I,机+1).若2_1_否，则机=.

14.己知函数/(x)=/'⑴/Y"厕/(1)=.

15.如图，在正四面体P-ZBC中，M,N分别为尸4BC的中点，。是线段MN上一点，且Nz)=2DM,

^^PD=xPA+y'PB+zPC,则x+'+z的值为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=or*+bx+2在X=2处取得极值-14.

(1)求α,h的值；

(2)求曲线y=∕(χ)在点(IJ(I))处的切线方程.

18.(本小题满分12分)

2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程,

某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并

将得分分成以下6组：[40,50),[50,60),[60,70),……[90,100],统计结果如图所示:

0.030

0.020

0.015

0.010

(1)试估计这100名学生得分的平均数(同一组中的数据用该组区间中点值代表)；

(2)现在按分层抽样的方法在［80,90)和［90,100］两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加

这次竞赛的交流会，求两人都在［90,100］的概率.

19.(本小题满分12分)

如图，直三棱柱48C-的体积为4,BC的面积为2√Σ∙

(1)求4到平面48。的距离;

(2)设。为4。的中点，AA1=AB,平面48C，平面NBBd,求二面角/-8Z)-C的正弦值.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆：£:［+［=1("6>0)的一个顶点为40,1),焦距为2√J.

a^h^

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点尸(-2,1)作斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线NB,NC分别与X轴交于点

M,N,当IMNl=2时，求人的值.

21.(本小题满分12分)

已知I函数/(x)=亦」-(α+1)InX.

X

(1)当α=OIl寸，求/(x)的最大值；

(2)若/(χ)恰有一个零点，求α的取值范围.

22∙(本小题满分10分)

已知向量I=(CoSX,S山x),B=0,-JJ),X∈[0,π].

(ɪ)若,IlA,求X的值；

(2)记/(X)=5∙B,求函数y=∕(x)的最大值和最小值及对应的X的值.

答案:

1.C

【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题尸的否命题应该为∀77WN,∕<2",即本题

的正确选项为C.

2.D

【分析】求出集合N,根据交集含义即可得到答案.

【详解】当〃=O时，x=2a=0;当Q=I时，x=2a=2↑

当。=2时，χ=2a=4f故N={0,2,4},故4cN={0,2},

故选：D.

3.A

【分析】利用复数的除法可化2简-i*，从而可求对应的点的位置.

1-31

【详解】—=□□)=沙=I,所以该复数对应的点为

l-3i10102

该点在第一象限，

故选：A.

4.C

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

上下平移直线N=2X-Z,可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大,

所以ZmaX=2X4-0=8.

故选：C.

5.A

A.利用不等式的加法性质判断；B.利用特殊值法判断；C.利用特殊值法判断；D.利用特

殊值法判断；

【详解】A.因为α>6,c>d,由不等式的加法性质有α+c>6+d,故正确；

B.当α=3,b=2,c=2,d=l时，a-c=b-d,故错误；

C.当α=O,b=-l,c=—2,d=—3时，ac<hd,故错误；

D.当。=0,6=-1,。=一2,1=-3时，二<：,故错误；

ab

故选：A

本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.

6.A

【分析】先求出/(-1)的值，再求/'(/(-1))的值，然后列方程可求得答案

【详解】解：由题意得∕∙(T)=2TT=2,

所以/(/(T))=/(2)=α∙22=4a=l,解得α=1.

故选：A

此题考查分段函数求值问题，属于基础题

7.B

【详解】设正方形边长为。，则圆的半径为彳，正方形的面积为/,圆的面积为邛.

24

由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几

1Tta2

何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是五ɪ=四，选B.

a28

点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长

度、面积、体积或时间)，其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几

何度量，最后计算PQ).

8.A

【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得4,6的值，即可求解.

【详解】由椭圆的标准方程为∙→¢=1,可得/=12-3=9,即c=3,

123

因为双曲线C的焦点与椭圆片+亡=1的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距c=3,

123

又因为双曲线uW-<=l(a>O,b>O)满足2=正，即〃=立α,

a2b2a22

又由/+∕=c2,即/+，解得a2=4,可得〃=5,

所以双曲线C的方程为巨-片=L

45

故选:A.

9.A

【分析】由题设可得/CU)'。在R上恒成立，结合判别式的符号可求实数。的取值范围.

【详解】f'(x)=3x2+2x-a,

因为/(x)在R上为单调递增函数，故/C(x)30在R上恒成立，

所以A=4+12040即α≤-L

3

故选：A.

10.D

1

【详解】试题分析：均值为J2ς1OCL22=;+IO0；

10

方差为

^{lx^l00∣-(η-100lf∙[*x-100l-ixz+100)f*+[lx^lO0t-lx0÷lOOlf|=

t

ɪp-j⅞y+lx-.x<Γ-...-Lr-X1-Γ]=/,故选D.

考点：数据样本的均值与方差.

11.C

【分析】取棱4D,441中点瓦尸，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推

理判断B；求出线面角、线线角判断CD作答.

【详解】在正方体ZBCD-44GA中，取棱44中点瓦尸，连接ME,EF,FN,

因为"，N分别为ZC,的中点，姒ME"CD“AB/1NF,ME=1CD=LAB=NF,

22

因此四边形MEFN为平行四边形，则EF//MN,EFU平面力。R4,

MNN平面力。。4，所以MN//平面A正确；

因为48工平面40。/,则/8_L£F,所以MNj.18,B正确;

显然平面/8CZ),则NEEZ是E尸与平面/5C。所成的角，又4E=Z尸,NE4F=90°,

有/REZ=45"，由于EF"MN,所以直线仞V与平面/8C。所成的角为45。，C错误；

因为44J/。。，EFHMN,则/Z尸E是异面直线MN与。2所成的角，显然乙4尸£=45°,

D正确.

故选：C

12.D

【分析】利用导数求得/(x)的单调区间，从而判断出/(x)在区间［0,2兀］上的最小值和最大

值.

【详解】/'(X)=-SinX+sinx+(x+1)cosX=(x+l)cosX,

所以〃X)在区间(Ow)和仁,2j上/心)>0,即/(x)单调递增；

在区间S爸上r(χ)<o,即/(χ)单调递减，

又/(O)=/(2兀)=2,/(S=∙∣+2,/(冷)=_管+1)+1=与，

所以/(x)在区间［0,2π］上的最小值为点,最大值为尹2.

故选：D

13.--##-0.15

4

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

_3

【详解】由题意知：a∙b=τn÷3(τw+l)=0,解得加=—.

4

3

故答案为.-二

4

14.0

【分析】根据导数的运算法则即可计算.

【详解】；r(x)=2_f(I)x-e、，Λ∕,(l)=2∕∙,(l)-e=>∕,(l)=e,

Λ∕(x)=ex2-e∖Λ∕(l)=0.

故0.

i5∙I

【分析】利用基向量表示丽,结合空间向量基本定理可得.

【详解】丽=丽:+血=L刀+，丽」刀+!(两-两)=∙⅛+L方+1定

2323366

112

所以工=彳，7=Z=7，所以x+y+z=；.

363

,4√24√2

16.------或av------.

33

【分析】由题意可得：∖PFt∖+∖PF2∖=4,∣ΛJ∕^∣=2√3,在△耳阴中由余弦定理可得

l∙l^I=P再由两点间的距离公式化简得(茅-4)2,解出豌的值，根据

XI)G(-2,2)进行取舍即可.

【详解】解：由题意可得：IwI+∣Pg∣=2α=4,∣∕^∣=2C=2√L

在△片至中由余弦定理可得：

22i2

∖F1F2∖=∖PF1∖+∖PF2∖-2∖PF,∖-∖PF2∖-c0sZFtPF2=(∖PFl∖+∖PF2∖)-3∖PFl∖-∖PF2∖,

4

所以有IPGl・|尸鸟|=§,

22

即J(XO+Cf+Pt/∙ʌ/(ɪɑ-√3)+y0=y,

22

ψx0+T3)+l-^-∙,J(x0-ʌ/ɜ)+1-^-=y'

(~~÷2Λ∕3X0+4)∙(⅛—2>∕3x0+4)ɪɪ»

所以(茅+4)2-(2√Jχ°)2=为，

整理得：(苧_4)2=1,

22

所以3盘r一4=4,或3x'-4=」4，

4343

解得/=±g或X。=±*2,

又因为Xoe(-2,2),

所以χ°="f或%=-*¥•

故逑或一逑,

33

17.(l)α=l,6=-12

(2)9x+y=0

[∕,(2)=0

【分析】(1)由[:、，，求解，再检验即可；(2)利用切点处的导数等于切线斜率即可求

∣√(2)=T4

解;

【详解】(1)因/(x)=0χ3+bx+2,⅛⅛f'(x)=3ax2+b,

由于/(X)在X=2处取得极值,

八2)=O∖2a+b=0

故有

/(2)=-148α+26+2=-14'

∖2a+b=0a=1

化简得解得

4a+b=-Sb=-i2

经检验，α=l,b=T2时,f∖χ)=3χ2-12=3(x+2)(x-2),

令/(x)>0,解得xv-2或x>2,令/'(x)<0,解得-2<x<2,

所以/(X)在(-8,-2)单调递增，(-2,2)单调递减，(2,+8)单调递增,

所以/(x)在X=2处取得极值，

符合题意，所以”=1,6=72.

(2)由(1)W/(X)=X3-12X+2,∕,(X)=3X2-12,

故/(1)=-9,/(1)=-9.

所以曲线N=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为：

y-(-9)=-9(x-l),即9x+y=0.

18.(1)70.5

10

【分析】(1)根据频率分布直方图直接平均数求法解决即可；(2)根据分层抽样得在［80,90)

分组中抽取的人数为5x而1=3人，在［90,100］分组中抽取的人数为2人，有古典概型概

率求法解决即可.

【详解】(1)由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数

X=(45X0.01+55×0.015+65X0.02+75×0.03+85×0.015+95X0.01)×10=70.5

⑵在［80,90)和［90,100］两组中的人数分别为

IoOX(0.015x10)=15和IOOX(0.01xl。=10人，

所以在［80,90)分组中抽取的人数为5xm^=3人，记为a,b,c,

在［90,100］分组中抽取的人数为2人，记为1,2,

所以这5人中随机抽取2人的情况有",在,儿,3,02,4,，2,&,‘2,12共10种，

其中两人得分都在［90,100］的情况有1种，

所以两人得分都在［9o,ιoo］的概率为尸q.

19.(1)√2

(2)T

【分析】(1)由等体积法运算即可得解；

(2)由面面垂直的性质及判定可得8C/平面/28/,建立空间直角坐标系，利用空间向

量法即可得解.

【详解】(1)在直三棱柱/8C-/4C中，设点4到平面//C的距离为人

y5h

则A-AlBC=IMflC-ɪ-ɪʌ=七TBC=；S“BC,4"=；%C"B£=g'

解得人=v∑»

所以点A到平面AyBC的距离为近；

(2)取48的中点E,连接力瓦如图，因为Z4=Z8,所以/EJ.48,

又平面/田CI平面/88/,平面CC平面/88/=48,

且4£u平面/844,所以/E_L平面45C,

在直三棱柱ZBC-48∣C∣中，8及_1,平面Z8C,

由BCU平面48C,JSCU平面NBC可得/ElBC,BBjBC,

又AE,BBtU平面ABBiAt且相交，所以8C上平面ABBiAt,

所以8C,8484两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得AE=4i,所以"4=/8=2,4∙S=2√2,所以BC=2,

则4(0,2,0),4(0,2,2),5(0,0,0),C(2,0,0),所以/0的中点。(LU),

则而=(1,1,1),而=(0,2,0),或=(2,0,0),

设平面的一个法向量Zn=(Xj,z),贝『7强:'n

[in-BA-2y=0

可取m=(l,0,-l),

n-BD-a+b+c=0

设平面8。C的一个法向量7=S，A。），则，

n-BC=2a=0

可取〃=(0,1,τ),

/一一mn

则"力∖丽∙=R1r51,

所以二面角/-8D—C的正弦值为J-（gJ=*.

20.(1)—y2=1

4+

(2)女=一4

b=1

【分析】（1）依题意可得上c=2√I,即可求出。，从而求出椭圆方程；

c2=a2-b2

（2）首先表示出直线方程，设8（不必）、。（々，必），联立直线与椭圆方程，消元列出韦达

定理，由直线48、/C的方程，表示出X”、χ,v,根据IMNl=卜V-XM得到方程，解得即可:

【详解】⑴解:依题意可得）=1,2c=2√3,5Lc2=a2-b2,

所以4=2,所以椭圆方程为二+/=1；

4•

（2）解：依题意过点P（-2,l）的直线为y-l=Mx+2）,设8«,必）、C（x2,y2）,不妨令

-2≤x1<x2≤2,

y-1=MX+2)

⅛*X22,消去y整理得(1+412)/+(16^+8左)x+16∣2+161=0,

—+y=1

4

所以公=（16/+我『一4（1+4公）（16公+164）＞0,解得我＜0,

16k、8k∖6k2+∖6k

所以x∣+々=jl+4⅛2ɪ''ʌ2∖+4k2

直线18的方程为V-I=令V=0,解得XW=Tɪ

χlIr

直线NC的方程为y-l=*2i二ɪχ,令y=0,解得XN=#

X2I-J

所以|加明=瓦-j|14-广」

一%ɪ-ʃi

_______X2_______________ɪɪ______

-1-[A(X2÷2)+1]-1-[⅛(XI+2)+1]

二9Ixl

-⅛(x2+2)%(再+2)

(x2÷2)x1-x2(ɪɪ÷2)

MX2÷2)(x1+2)

=2k]f∣=2

∣⅛∣(X2+2)(XI+2)

所以N-々|=网(工2+2)(玉+2),

rx

即,(4+工2)‘-4中2=W[∙2∙i+2(X2+x1)+4]

即116公+8左丫外/6公+16ZrTjjI6公+1632(16公+弘%；

K↑+4k2)1+4*I[1+4*(1+4〃J

即急舸而千丽西=i⅛[16左2+16"2(16左2+8左)+4(l+4/)]

整理得8口=4阳，解得％=-4

21.（1）-1

⑵（。，+8）

【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；

（2）求导得/（X）=叵二9二D,按照α≤0∖0<"<l及。>1结合导数讨论函数的单调性,

求得函数的极值，即可得解.

【详解】（1）当α=0时，/（x）=-'-lnx,x>0,则r（χ）=J-L=号，

XXXX

当X€（0,1）时，f^x）>O,〃X）单调递增;

当Xe(l,+∞)时，∕,(x)<0,f(x)单调递减;

所以小心=川)=-1；

(2)/(x)=tzx--■一(α+l)lnx,x>0,则r(x)=α+]-"^=(""X",

XXXx^

当α≤O时，αx-l<0,所以当Xe(0,1)时，/心)>O,/(x)单调递增；

当X«1,+8)时，∕,(x)<0,f(x)单调递减;

所以/(x)gχ=/⑴Μ-1<0，此时函数无零点，不合题意；

当O<α<l时，→1,在(0,1),(：,+8)上，/y)>0,/(同单调递增；

在(1，)上，∕,