角动量定理天体运动

关于角动量定理天体运动2惯性系S中的一个运动质点在运动过程中相对某参考点O的径矢r会相应的旋转在dt时间质点位移为vdt，转过角度dθr便会扫过面积dS面积速度O第2页,共84页，2024年2月25日，星期天3质点在

S

系中相对参考点O的角动量L角动量随时间的变化与什么有关呢？其中第3页,共84页，2024年2月25日，星期天4质点所受力相对参考点

O

的力矩质点角动量定理：质点所受力相对某参考点的力矩等于质点相对该参考点角动量的变化率。处理转动的所有公式都是从这个公式导出第4页,共84页，2024年2月25日，星期天5h力矩力臂

h：点O到力F作用线的距离。在直角坐标系中，M

可用行列式表述成它的三个分量：第5页,共84页，2024年2月25日，星期天6质点所受各分力Fi相对同一参考点的力矩之和，

等于合力F相对该参考点的力矩。两质点之间一对作用力与反作用力相对于同一参考点力矩之和必为零。12第6页,共84页，2024年2月25日，星期天7若过程中

M

恒为零，则过程中

L

为守恒量若过程中

Mz恒为零，则过程中

Lz为守恒量有心力：质点所受力F若始终指向一个固定点O，O为力心。第7页,共84页，2024年2月25日，星期天8例1相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量AB参考点A：重力矩角动量参考点B：重力矩角动量第8页,共84页，2024年2月25日，星期天9例2匀速圆周运动O选择圆心O为参考点力矩角动量R⊙其它任何点则没有这种情况角动量守恒第9页,共84页，2024年2月25日，星期天10例3地球绕太阳公转选择太阳为参考点万有引力的力矩为零第10页,共84页，2024年2月25日，星期天11例4圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m，取悬挂点O为参考点，求摆球所受力矩和摆球角动量。摆球受张力和重力张力对O点力矩为零摆球所受力矩⊙摆球角动量方向如图选另一参考点第11页,共84页，2024年2月25日，星期天12例5⊙z导出单摆的摆动方程力矩和角动量都只有z轴分量采用小角度近似利用角动量定理第12页,共84页，2024年2月25日，星期天13例6OA小球绕O作圆周运动，如图所示。（1）求B端所受竖直向下的外力T0（2）T0极缓慢增到2T0，求v（3）用功的定义式求拉力所作的功。B分析物理过程以O为参考点，力矩为零，角动量守恒。T0极缓慢增大，径向速度可略，中间过程近似为圆周运动。第13页,共84页，2024年2月25日，星期天14OAB解（1）（2）角动量守恒圆周运动第14页,共84页，2024年2月25日，星期天15（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动它恰好等于小球的动能增量第15页,共84页，2024年2月25日，星期天161.2质点系角动量定理角动量守恒定律在惯性系S中，质点系相对O点的角动量

L质点系角动量定理：质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。第16页,共84页，2024年2月25日，星期天17质点系角动量守恒定律若过程中M外恒为零，则过程中L为守恒量。若过程中M外x（或M外y，M外z）恒为零，则过程中Lx（或Ly，或Lz）为守恒量。非惯性系中质点系的角动量定理第17页,共84页，2024年2月25日，星期天18例7llh质量可略、长2l的跷跷板静坐着两少年，左重右轻，左端少年用脚蹬地，获得顺时针方向角速度ω0。求ω0至少多大时，右端少年可着地？O力矩系统角动量第18页,共84页，2024年2月25日，星期天19角动量定理积分此即机械能守恒第19页,共84页，2024年2月25日，星期天20例8水平大圆盘绕中心竖直轴以角速度ω旋转，质量m的小球从中心出发，沿阿基米德螺线运动，角动量L守恒。试求小球所受真实力的横向分量和径向分量。阿基米德螺线O角动量L守恒⊙ω第20页,共84页，2024年2月25日，星期天21圆盘系中小球所受合力合力的横向分量合力的径向分量角动量

L

守恒，横向力为零径向力应合成mar第21页,共84页，2024年2月25日，星期天221.3外力矩重心对称球的外引力分布中心外力矩是质点系角动量变化的原因合力为零的外力矩质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。O第22页,共84页，2024年2月25日，星期天23一对力偶大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力力偶的力矩不依赖于参考点的选择12第23页,共84页，2024年2月25日，星期天24重心位于rG的几何点称为质点系的重心质量均匀分布，几何结构具有对称性的物体，重心位于其几何中心第24页,共84页，2024年2月25日，星期天25质点系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量质点系各质点重力作功之和等于质点系重力作用于重心处所作的功重力势能重力的力矩重心是质点系重力分布中心猫的空中转体第25页,共84页，2024年2月25日，星期天26对称球的外引力分布中心P球心是对称球的外引力分布中心第26页,共84页，2024年2月25日，星期天27例9

质量M的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。质量m的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v系统动量守恒麦管移入桌面长度第27页,共84页，2024年2月25日，星期天28分两种情况讨论：（1）麦管全部进入桌面，第二个小虫可取任何值。（2）麦管和二个小虫相对桌边的重力矩应该满足第28页,共84页，2024年2月25日，星期天29§2对称性与守恒律2.1对称性第29页,共84页，2024年2月25日，星期天30德国数学家魏尔（H.Weyl）对称性：系统在某种变换下具有的不变性。例左右对称，上下对称，也称镜面对称第30页,共84页，2024年2月25日，星期天31空间变换对称性xOzy系统相对点、线、面的变换第31页,共84页，2024年2月25日，星期天32镜面反演对称性镜面反演：对平面直角坐标系，仅取x到-x（或y到-y，或z到-z）的变换。一个系统若在镜面反演变换下保持不变，则称这一系统具有镜面反演对称性。第32页,共84页，2024年2月25日，星期天33第33页,共84页，2024年2月25日，星期天34空间平移对称性系统在空间平移，即在变换下具有的不变性。第34页,共84页，2024年2月25日，星期天35轴转动对称性（轴对称性）系统在绕着某直线轴作任意角度旋转的变换下具有的不变性。第35页,共84页，2024年2月25日，星期天36空间反演对称性（点对称性）系统在空间反演，即在变换下具有的不变性。第36页,共84页，2024年2月25日，星期天37点转动对称性（球对称性）系统在绕着某点作任意旋转的变换下具有的不变性。RR电场强度半径均匀带电球体相对球心具有球对称性，它的空间场强分布也具有此种对称性。第37页,共84页，2024年2月25日，星期天38时间变换对称性一维的时间只能改变方向和平移，所以只有两种变换：时间反演对称性时间平移对称性第38页,共84页，2024年2月25日，星期天39时间反演对称性时间反演即时间倒流O过去未来过去未来12第39页,共84页，2024年2月25日，星期天40牛顿第二定律具有时间反演对称性经典力学中，与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等不具有时间反演对称性时间倒流在真实世界是不可能发生的第40页,共84页，2024年2月25日，星期天41时间平移对称性系统在时间平移，即在变换下具有的不变性。牛顿第二定律和力的结构性定律都具有时间平移对称性自然界中除了与时空变换有关的对称性以外，还有其它的对称性，物理学的后续课程中将会讨论。第41页,共84页，2024年2月25日，星期天42§2.2

对称性原理第42页,共84页，2024年2月25日，星期天43法国物理学家皮埃尔.居里（Pierre.Curie）在1894年指出对称性原理因中若有某种对称性，果中也有此种对称性，因果间的这种对称性是普遍存在的。第43页,共84页，2024年2月25日，星期天44§2.3

对称性与守恒律EmmyNoether(1882-1935)诺特最伟大的女数学家第44页,共84页，2024年2月25日，星期天45诺特定理：论证了对称性与守恒律之间存在的普遍联系连续变换的对称性都对应一条守恒定律时间平移对称性能量守恒定律空间转动对称性角动量守恒定律空间平移对称性动量守恒定律第45页,共84页，2024年2月25日，星期天46小结牛顿定律惯性系非惯性系质点质点系我们周围的世界第46页,共84页，2024年2月25日，星期天47§3天体运动太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的木星太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。第47页,共84页，2024年2月25日，星期天48§3.1

天体运动天体运动的开普勒三定律第一定律（轨道定律）：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，

太阳在椭圆的一个焦点上。第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。第三定律（周期定律）：各行星椭圆轨道半长轴A的三次方与轨道运动周期T的二次方之比值为相同的常量，即第48页,共84页，2024年2月25日，星期天49牛顿力学结合万有引力定律推导天体运动的开普勒三定律极坐标系角动量守恒能量守恒第49页,共84页，2024年2月25日，星期天50太阳质量记为M，待考察的行星质量记为m，某时刻M至m的径矢r和m的速度v。建立极坐标系在径矢r和速度v确定的平面上，建立以M为原点的极坐标系。第50页,共84页，2024年2月25日，星期天51利用角动量L和能量E守恒首先可得到角向速度和径向速度第51页,共84页，2024年2月25日，星期天52行星轨道方案1：参数方程方案2：轨道方程第52页,共84页，2024年2月25日，星期天53确定轨道方程引入参量第53页,共84页，2024年2月25日，星期天54作变量代换积分后可得总可选取第54页,共84页，2024年2月25日，星期天55行星的轨道方程这是太阳位于焦点的圆锥曲线第55页,共84页，2024年2月25日，星期天56三种可能的轨道：都与行星质量无关行星的轨道方程第56页,共84页，2024年2月25日，星期天57大行星受太阳引力束缚，E

<

0，轨道是椭圆Mm椭圆偏心率时，为圆轨道。第57页,共84页，2024年2月25日，星期天58例10太阳质量M，行星椭圆轨道半长轴A、半短轴B。行星的轨道运动周期T，试导出开普勒第三定律。Mm12选择长轴的两点：近日点1和远日点2，速度与径矢垂直的唯一的两点。第58页,共84页，2024年2月25日，星期天59机械能守恒角动量守恒面积速度行星的轨道运动周期开普勒第三定律第59页,共84页，2024年2月25日，星期天60解法二轨道1处的曲率半径牛顿第二定律面积速度行星的轨道运动周期开普勒第三定律第60页,共84页，2024年2月25日，星期天61例11对于太阳和某个行星构成的两体引力系统，若考虑到引力对太阳的影响，开普勒三定律将作哪些修正？引入约化质量和行星相对太阳的加速度将引力公式代入第61页,共84页，2024年2月25日，星期天62上式可改写为除了将太阳质量M换成M+m以外，所有结果保持不变。开普勒第一、第二定律不依赖于太阳质量，保持不变。开普勒第三定律依赖太阳质量，严格意义下不再成立。即使是行星中质量最大的木星确实是小到可以忽略第62页,共84页，2024年2月25日，星期天63例12计算第一、第二、第三宇宙速度略去地球大气层的影响地球半径地球轨道半径太阳质量地表重力加速度第63页,共84页，2024年2月25日，星期天64第一宇宙速度：在地球引力作用下，贴近地面沿圆轨道运动的飞行器速度v1。飞行器质量m第64页,共84页，2024年2月25日，星期天65第二宇宙速度：从地面向上发射太空飞行器，为使它能远离地球而去的最小发射速度v2。地球质量ME第65页,共84页，2024年2月25日，星期天66第三宇宙速度：从地面向上发射太空飞行器，为使它能相继脱离地球和太阳的引力束缚远离太阳系而去的最小发射速度v3。相对地球的最小发射速度v3需沿着地球轨道的运动方向。地球轨道速度在地心参考系中，飞行器距地球足够远时，它相对于地球从v3降为（1）第66页,共84页，2024年2月25日，星期天67转到太阳系，飞行器相对太阳的速度为（2）为使飞行器恰好能脱离太阳的引力束缚，要求（3）第67页,共84页，2024年2月25日，星期天68例13

通过天文观测，发现存在行星椭圆轨道，假设质点间的万有引力大小与距离r的关系为试就下面两种情况分别确定α（1）太阳在椭圆轨道的一个焦点上；（2）太阳在椭圆的中心Mm12第68页,共84页，2024年2月25日，星期天69Mm12面积速度不变对于椭圆从开普勒第一、第二定律，导出了引力的平方反比律（1）第69页,共84页，2024年2月25日，星期天70（2）Mm123对于1、3两处对于椭圆引力具有弹性力的特点第70页,共84页，2024年2月25日，星期天71§3.2

有心力场中质点的运动存在有心力的空间称为有心力场，以力心为坐标原点，在有心力场中质点所受力可表述成：第71页,共84页，2024年2月25日，星期天72有心力场中，质点初速度沿径向或为零时，运动轨道是直线。对于吸引性有心力场，质点初速度沿角向并满足运动轨道是圆。一般情况下，质点的运动轨道都是平面曲线，这一平面由质点初位矢和初速度确定。第72页,共84页，2024年2月25日，星期天73有心力场中，在由质点初位矢和初速度确定的平面上，以力心为坐标原点，建立极坐标系。系统的角动量和机械能都是守恒量：角向和径向速度第73页,共84页，2024年2月25日，星期天74为获得r-t，这是关于r-t的一阶微分方程，原则上可解出r-t关系。轨道微分方程给定V(r)，积分上式，得轨道方程：第74页,共84页，2024年2月25日，星期天75对r-t关系的定性讨论了解r随t的变化范围，确定轨道是有限的，还