锐角三角函数及其应用（5个知识点）-中考复习讲义及练习（解析版）

第四部分三角形

专题16锐角三角函数及其应用（5大考点）

核心考点一特殊角的三角函数值及其计算

核心考点二由三角函数值求锐角

核心考点核心考点三锐角三角函数的增减性

核心考点四解直角三角形及其应用

核心考点五三角函数的综合

新题速递

核心考点一特殊角的三角函数值及其运算

H（2021.贵州黔东南.统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABe。中，若将AB绕点4逆时针旋

转60。，使点B落在点夕的位置，连接89，过点。作。交BB'的延长线于点E，则5E的长为

24

A.垂）—1B.2-^3—2C.--73D.—ʌ/ɜ

【答案】A

【分析】利用已知条件求得NCBF=N以加=30。,设"=x,将。F,FC,3尸都表示出含有X的代数式，利用

tanZTOC的函数值求得X,继而求得BZ的值

设BE,CD交于点F,

由题意：AB=AB,,ZBABf=60°

.∙∙.∙A88'是等边上角形

∙∙∙ZABBr=60°

•「四边形ABC。为正方形

・..ZABC=NC=90。

・•・ZCBF=90o-60o=30o,

DELBff

:.ZE=90°

又∙./DFE=/CFB

二NEDF=NCBF=30。

I5LEF=X

EFEF

WDF==2EF=2x

则sinΛEDF~~

2

FC=DC-DF=I-Ix

FC

BF=-----------=2FC=4-4x

SinZCBF

BE=BF+EF=4-3x

B,E=BE-Bff=4-3x-2=2-3x

•小口FC√3

tan/CBF=----=——

BC3

2-2X乖I

23

解得：X=1—

3

∕ξ

.∙.BzE=2-3×(l-ʒ-)=√3-l

故选A

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角三角函

数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键.

例2∣.(2022•黑龙江绥化•统考中考真题)定义一种运算；sin(α+∕7)=SinaCOs/?+COSaSin夕，

sin(a-/7)=sinacosβ-cosasin/7,例如：当a=45。，夕=30。时，sin(45o+30o)=

立速他xL="+6,则SinI5。的值为.

22224

［答案］"］巨

4

【分析】根据sin(α-/?)=SinaeOS尸-COSaSin/代入进行计算即可.

【详解】解：sinl5o=sin(45o-30o)

=Sin45o∞s30°-cos45osin30o

夜

=一X√-3/21

22——×—

22

而√Σ

=-

τ一4

√Σ

√6一

4

故答案为：渔二也

【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键.

≡⑵22•山东潍坊,中考真题）⑴在计算6W::茅去）。时，小亮的计算过程如下:

4—(-I)H)+∣-61+33

：√3tan30o-√64×(-2)^2+(-2)°

4-(-1)-6+27

^√^×√3-4×22+0

4+1-6+27

__3-16

小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误.请你找出其他错误，参照①〜③的格式写在横线上,

并依次标注序号：

Φ-22=4:②（-D">=-1;③|-6|=-6；

请写出正确的计算过程.

3x

（2）先化简，再求值：f-ɪ--ɪ]-f~n,其中X是方程V-2x—3=0的根.

<x-3X）χ-÷6x+9

【答案】⑴④tan30。=立；⑤（分2=!，⑥（一2）。=1；28；（2）,ɪ

34x+32

【分析】（I）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数累、零指数塞的法则计算即

可;

⑵先把括号内通分，接着约分得到原式=，，然后利用因式分解法解方程Nz-3=0得到x∕=3,x2=-l,

则利用分式有意义的条件把4-1代入计算即可.

【详解】(1)其他错误，有：④tan30。=也：⑤(心产=；,@(-2)0=1,

正确的计算过程：

—22-(-1尸+1-61+寸

√3tan30°-√64×(-2)^2+(-2)°

-4—1+6+27

∕τʌ/ɜz1111

√3×-------4×-+1

34

—4—1+6÷27

―_1-1+1

=28；

、(2

/C2IA2X-3X

lkx-3AJX+6%+9

_2Λ-X+3X(X-3)

x(x-3)(x+3)2

x+3x(x-3)

X(X-3)(X+3)2

1

x+3'

VΛ*2-2X-3=0,

.*.(x-3)(x+l)=0,

Λ-3=0或x+l=0,

.*.x∕=3,X2=-l,

Vx=3分式没有意义，

U的值为-1,

当X=-I时，原式=="J.

-1÷32

【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程一因式分解法，分式的化简求值.也考查了特殊角的三

角函数值、立方根、负整数指数累、零指数幕.

厚命题西破

知识点：特殊角的三角函数值

1.图表记忆

a

三角函数图形记忆

30o45°60°

j_√2√3

sina

2^2-^2-

cosa√3√2ɪ60^^1Γ∖∕2

2^2^21

I_______M

√31

tana如1√3

^3^

2.规律记忆

30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1,√2,√3；

30°,45°,60°角的余弦值分别是60°,45°,30°角的正弦值。

,四由硼国

【变式1］（2022•湖南邵阳•统考模拟预测）如图，在矩形ABC。中，AB=4,AB>BC,以点A为圆心、AB

长为半径的弧BE与。C相交于点E,点E为力C的中点，则由BC、CE和弧BE围成的阴影部分图形的面

积是（）

DEc

AB

A.ðʌ/ɜ——B.8Λ∕3——C.6下>-3πD.84一3乃

【答案】A

【分析】根据矩形的性质得出"=CZ>AE=4,NADC=90。，结合中点及特殊角的三角函数值与勾股定理得

22o

出NoAE=30。，AD=y∣AE-DE≈2√3>ZBAE=60,结合图形得出S9ia5=S矩形ABCD-SADE-S扇形ASE，d弋入

求解即可.

【详解】解：•・,四边形43Co为矩形,

o

.∖AB=CD=AE=4fZADC=90

TE为CD中点,

ΛCE=DE=2,

在RtAADE中，

.小yDE1

sinZDAE=---=—,

AE2

o22

：.ZDAE=30,AD=yjAE-DE=2y∕3^

；・NBAE=60。,

S阴影=S矩形A88ADE~S扇形

,CfIfAL60^×42

=AB∙AD——ADDE---------

2360

=4χ26-Lχ26χ2-迎

23

=66-竺，

3

故选：A.

【点睛】题目主要考查矩形的性质，特殊角的三角形函数值，勾股定理，求不规则图形的面积等，理解题

意，综合运用这些知识点是解题关键.

【变式2】（2022.河南洛阳•统考二模）如图1,在「ABC中，NABC=60°,点。是BC边上的中点，点P

从ABC的顶点A出发，沿A→Bf。的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D线段OP的长度

），随时间X变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则ASC的面积为（）

图1

16√3

A.4B.4√3C.8

3

【答案】D

【分析】由函数图象可知4庄4,当QP"LAB时，AP=2石,此时有DP长的最小值，山勾股定理可以求出

DP的长度，进而结合/8=60。求得8P,即可求出AABO的面积，然后利用点。是BC边上的中点，得到

S`BC=2SAABD•

【详解】解：过。作。尸，43于尸

由函数图像可得，ΛD=4,当OPLAB时，AP=26,此时有。户长的最小值,

∙'∙DP=√AD2-AP2=742-(2√3)2=2

,.∙ZABC=60°

•••四磊吟=竿

・•・AB=AP+BP=-

3

ln4n1c8百8√3

∙*∙S=-DPAB=-×2×-1-=^-

abd2233

Y点。是BC边上的中点,

16√3

•∙SABC=2S=

λko3

故选：D

【点睛】本题考查了垂线段最短、勾股定理、特殊角度的三角函数值，解题的关键是通过函数图象得到当

Z)P_L4B时,AP=2y/3.

【变式3］（2020•四川自贡•校考一模）在-ABC中，若SinA-4+（；-CoSB）=0,/A,—5都是锐角,

则_ABC是_____三角形.

【答案】等边

【分析】根据非负数的性质分别求出NA和/B,继而可判断JRC的形状.

【详解】解：VSinA-^+（g-c。SB）=0,

∙*∙sinA——=O,^ɪ-eosθj=0>

/ɜɪ

•∙sinA=—,CoSB=一,

22

NA=60°,N8=60°,

.∙.一ABC是等边三角形.

故答案为：等边.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三

角函数值.

【变式4］（2022・贵州铜仁・统考二模）如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点0（0,

0）,点B（2√5,2）.。是边BC上一点（不与点B重合），过点。作。E〃OB交。C于点E.将该纸片沿。E

折叠，得点C的对应点U当点C落在08上时，点C的坐标为

【分析】根据8点坐标可求出A8、OB,得到AB=^O8,所以44。8=30。，ZBOC=60。，再利用折叠与

2

平行的性质，证明△OEC是等边三角形，OE=CZ）=1A8,然后可利用三角函数求出点C的坐标.

2

【详解】；点5坐标为（2君,2）,

.∙.AB=2,OA=2>∣3,

：.OB=ʌp2+(2√3)2=4

AB=-OB

2

ZAOB=30o,NBOC=60°

∙.∙C'是C关于OE的对称点

NCED=NCED,EC=EC

,.∙DE//OB

：.NCED=NEoC'=60°

.∙.ZOEC,=180o-2×60o=60o

...△。£C是等边三角形

二OE=EC=EC'=LAB=JXI=I

22

二C横坐标=1Xsin60°=—,纵坐标=ɪXsin30°=ɪ

22

（7坐标为ɪ,ɪ

\/

【点睛】本题考查了三角形，熟练运用特殊三角形的性质是解题的关键.

1β_

【变式5】.（2021•新疆乌鲁木齐•校考三模）计算：（-5）-45+2COS30--H-√^I+（M02'-2021）°.

【答案】6

【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数基的意义化简计算即可.

【详解】解：原式=（-；）-2+2x*-（G-I）+1

=4+√3-√3+l+l

=6

【点睛】本题主要考查J'实数的运算，有理数的乘方法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数

事的意义，正确使用上述法则进行运算是解题的关键.

核心考点二由三角函数值求锐角

瓯（2021•山东泰安・统考中考真题）如图，在ABC中，A8=6,以点A为圆心，3为半径的圆与边BC

相切于点。，与AC,AB分别交于点E和点G,点尸是优弧GE上一点，NCL>E=18。，则NGFE的度数是（）

A.50oB.480C.45oD.36°

【答案】B

【分析】连接AD，由切线性质可得NAD8=/ACC=90。,根据48=2AD及锐角的三角函数可求得NBAZ）=60。,

易求得NAOE=72。，由Ao=AE可求得ND4E=36。，则NGAa96。，根据圆周角定理即可求得NGFE的度数.

【详解】解：连接A。，则AO=AG=3,

∙∙∙3C与圆A相切于点D

JZADB=ZADC=90o,

An1

⅛Rt∆ADBψ,AB=6则CoSNA40=-----=—,

fAB2

ZBAD=60o,

VZCDE=18o,

JNADE=90。-18o=72o,

'：AD=AEf

：./ADE=/AED=72°,

・•・ZDAE=I80°-2×72o=36o,

・・・ZGAC=36o+60o=96o,

，NGFE=T∕GAC=48°,

故选：B.

【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，

熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得NBA£>=60。是解答的关键.

瓯.（2022・重庆・统考中考真题）如图，在矩形ABCo中，AB=I,BC=2,以8为圆心，BC的长为

半径画弧，交A。于点E∙则图中阴影部分的面积为.（结果保留兀）

BC

【答案】y

【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出4BE,进而求出NEBC,再根据扇形的面积公式求解即

可.

【详解】解：：矩形ABC。，

.∙.ZA=ZABC=90。，

以8为圆心，BC的长为半轻画弧，交AD于点E,BC=I,

：,BE=BC=I，

在RtABE中，AB=∖,

…LAB1

.∙.cos/ABE=-----=一,

BE2

二ZABE=60。,

/.ZEBC=90°-60°=30°,

30π×22π

3603

故答案为:y.

【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上知

识点并熟练运用是解题的关键.

瓯（2021•山东莉泽•统考中考真题）在矩形ABC。中，BC=RJDTE,尸分别是边AD、BC上的

动点，且AE=CF,连接EF,将矩形A8CO沿EF折叠，点C落在点G处，点。落在点月处.

Sl

（1）如图1,当EW与线段BC交于点尸时，求证：PE=PF;

（2）如图2,当点尸在线段CS的延长线上时，G"交AB于点M,求证：点M在线段E尸的垂直平分线上;

（3）当A8=5时，在点E由点A移动到AO中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）等.

【分析】（1）分别根据平行线的性质及折叠的性质即可证得/OEr=∕EFB,NDEF=NHEF,由此等量

代换可得/HEF=NEFB,进而可得PE=PF;

(2)连接PM,ME,MF,先证RsPHM却t..PBM(HL),可得NEPM=NFPM,再证EPM丝aFPM

(SAS),由此即可得证；

(3)连接AC,交EF于点0,连接OG,先证明AEAOGAFCO(AAS),由此可得。C=^4C=5,进而

根据折叠可得OG=OC=5,由此得到点G的运动轨迹为圆弧，再分别找到点G的起始点和终点便能求得

答案.

【详解】(I)证明：Y在矩形ABC。中，

.∖AD∕∕BC,AB=CO;

.,.NDEF=ZEFB,

Y折叠，

/.NDEF=NHEF,

：.NHEF=NEFB,

：.PE=PF-.

(2)证明：连接PM,ME,MF,

；在矩形ABCz）中，

：.AD=BC,/力=∕ABC=NPR4=90°,

又YAE=CF,

：.AD-AE^BC-CF,

即：DE=BF,

：折叠，

ΛDE=HE,ND=NEHM=NPHM=90°,

：.BF=HE,∕PBA=NPHM=90°,

又•・・由(1)得：PE=PF,

：,PE-HE=PF-BFf

即：PH=PB,

在Rt..PHM与RfAPBM中,

∖PH=PB

[PM=PMf

：.RtΛPHM9Rt4PBM(HL),

：.ZEPM=ZFPM1

在eEPM与AFPM中，

PE=PF

<NEPM=NFPM,

PM=PM

：・、EPM心FPM(SAS),

LME=MF,

・•・点M在线段EF的垂直平分线上；

(3)解：如图，连接AC,交EF于点、O,连接OG,

4*Q

,

'.AB=CD=59BC=√3CD,

∙*∙BC-5y∣3，

・・・在/?分48。中，AC=JAB2+BC?=10,

YADHBC,

,/EAO=NFCO,

在AEAo与IFCo中,

AE=CF

<ZEAO=ZFCOF

AAOE=ZCOF

-OAFCO(AAS),

.,.OA=OC=AC=5,

又Y折叠,

：•OG=OC=5,

当点E与点A重合时，如图所示，此时点F,点G均与点C重合,

•••点G的运动路线为以点O为圆心，5为半径的圆弧，且圆心角为/80C,

BC

在ABC中，IanZBAC=——=G，

AB

ΛZBAC=60o,

YOA=OB=OC=OG,

.∙.点A、B、CG在以点。为圆心，5为半径的圆上,

ZBOC=2ZBAC=120°,

・ΛA∣∕^120o∙τr∙5104

・,8。的长为=一

3

；•点G运动的路线长为亍.

【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定及性质、圆的相关概念及性质，弧长公

式的应用，第（3）问能够发现。G=5是解决本题的关键.

.图窝题筑

【变式1】（2022•山东滨州•统考一模）如图，在半径为6的。。中，点A是劣弧BC的中点，点。是优弧BC

c∙州D-相

【答案】A

【分析】设8C与OA交于E点，根据点A是劣弧8C的中点，得到AC=A8,继而得到NCOA=NAOB,根

据SinO=g,得出锐角/0=30。，再同一段弧其所对圆心角是其所对应圆周角的两倍，得到NCoA=2/〃,

NCoA=60。=NAoB,再得到NOe8=/。8。=30。，因为NoEC=I80。-/。CB-/COA=90。，可知△0EC是直

角三角形，利用特殊角即可求出CE,再同理求出BE,即可求出8C.

【详解】设BC与OA交于E点，

：点A是劣弧BC的中点,

∙>∙AC=AB>

二圆心角NCoA=NA08,

sinD=-,

2

，锐角ND=30。,

Y同一段弧其所对圆心角是其所对应圆周角的两倍，即NCo4=2ND,

JZCOA=60o=ZAOB,

XVOC=OBi

：.NOCB=NOBe=3。。,

.∖ZOEC=180o-ZOCB-ZCOA=90o,即^OEC是直角三角形，

o

V0C=6fZOCB=ZOBC=30f

.∙.CE=*OC=3g，

同理可求出8E=3√L

.∖BC=CE+EB=6>∣3，

故选：A.

【点睛】本题考查了锐角三角函数、圆心角与圆周角的关系、解直角三角形等知识.依据sin。=：得到ND=30。

再得到NCoA=2ND,/COA=60。=/AoB是解答本题的关键.

【变式2］（2022•山东・统考二模）如图，己知在矩形48C。中，AB=1,BC=√L点尸是AD边上的一个

动点，连结3P,点C关于直线BP的对称点为C∣,当点尸运动时，点G也随之运动.若点P从点A运动到

点、D,则线段CG扫过的区域的面积是（）

42

【答案】B

【分析】先判断出点Q在以8C为直径的圆弧上运动，再判断出点。在以8为圆心，BC为直径的圆弧上运

动，找到当点尸与点A重合时，点P与点。重合时，点C/运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面

积公式求解即可.

【详解】解：设BF与CC/相交于0,则N8QC=90。，

，当点P在线段4。运动时，点。在以8C为直径的圆弧上运动,

延长CB到E,使BE=BC,连接EC,

VC.。关于PB对称，

NECiC=NBQC=90。,

二点C/在以B为圆心，8C为直径的圆弧上运动，

当点P与点A重合时，点。与点E重合，

当点P与点D重合时，点。与点尸重合，

：.ZPBC=30o,

∕F8P=NPBC=30。，CQ=-BC=-,BQ=^CQ=-,

222

二ZFBE=180o-30o-30°=120o,SBCF=BCCBQ=与弓=手，

线段CC,扫过的区域的面积是12°万X（右）IS”+坦

360BCF4

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等

知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键.

【变式3］（2021・贵州遵义・统考一模）在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结

合图形进行了操作（如图所示）.在塔AB前的平地上选择一点C,测出塔顶的仰角为30。，从C点向塔底

8走80m到达。点，测出塔顶的仰角为45。，那么塔AB的高为m（计算结果精确到0.1m,参

考数据:√2≈1.41»√3=1.73）.

【答案】109.2

ARAfi

【分析】在RmABD中，BD=--------，在RsABC中，BC=---------,再根据CD=BC-BD=SO即可

tanZADBtanZACB

求解.

【详解】根据题意可知A8,8C,

在RfAAB。中,BD=———

tanZADB

在放△ABC中,BC二

tanZACB

VZADB=45o,ZACB=30o,

48AB

/.BD=BC==√3AB,

tanXADBtanNACB^tanZ30o

VCD=80,

ICD=BC-BD=y∕3AB-AB=80，

=40√3+40≈40×1.73+40=109.2(m),

故塔高109.2米,

故答案为：109.2.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角的含义并熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键.

【变式4】.（2022•吉林长春•统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连结AO,过点A

作ABIx轴于点8,AB=BOB=I,把ABO绕点。逆时针旋转120。后，得到.小瓦。，则点A的坐标

为______

【答案】(一2,0)

【分析】根据勾股定理可得OA,根据特殊三角比求出/408=6()。，可知AABO绕点。逆时针旋转120。后

OA的对应边04位于X轴上，继而可得答案.

【详解】解：：4?上X轴于点8,AB=BOB=X,

ARL

.*.tanZAOB=—=√3,OA=SB2+AB?=J%（可=2

OB

ZAQB=60°,

，把，ABO绕点。逆时针旋转120°后•，得到如下图,

OA=OA—2,

.∙.点A的坐标为(-2,0),

故答案为：(-2,0)

【点睛】本题主要考查旋转变换下坐标与图形的变化,解直角三角形得出OA的长是解题的根本，根据AABO

绕点。逆时针旋转120。后OA的对应边04位于X轴上是解题的关键.

【变式5](2022•重庆・重庆八中校考模拟预测)如图，一艘渔船位于小岛8的北偏东30。方向，距离小岛20

千米的点A处，它沿着点A的南偏东15。的方向航行.

（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？

（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行10而千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛

8上的救援队求救，问救援队从8处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少.（结

果精确到1千米，参考数据√Σ*1.41,6z1.73,2.45）

【答案】（I）ICK∕∑km;

（2）从B处沿南偏东45出发，最短行程20√Σkm∙

【分析】（1）过8点作AC的垂线比＞交AC于点。，则A。为所求，根据已知条件得到乙BAD=45。即可

解答；

（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到NC=30。，ZDBC=60°,从而求出BC的长度，再求出NDBE的度

数，即可得到ZESC的度数.

【详解】（1）解：过B点作Ae的垂线5。交AC于点。，

；垂线段最短，AC上的。点距离B点最近，A/）即为所求，

由题意可知：ZBAF=30°,ZC4F=15o,

二NBAD=45。,A。=BD=ABxsin45。=20x¥=10&（km）,

.∙∙渔船航行10√2km时,距离小岛B最近.

⑵解：在R皿中，tanNC=翳舒=冬

..NC=30。，ZDBC=60°,

=20√2(km),

BC=玛

,.∙ZABD=45o,ZABE=90°-30°=60°,

.-.ZDBE=15°,

.∙.NEBC=ZDBC-ZDBE=45".

答：从8处沿南偏东45出发，最短行程20夜km.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相

关知识有机结合，体现/数学应用于实际生活的思想.

核心考点三锐角三角函数的增减性

O意题悠究

H（2020•湖南娄底•中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆,动力臂Li=Lcosa,阻力臂L2=∕∙cos∕7,

如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）

A.越来越小B.不变C.越来越大D.无法确定

【答案】A

【分析】根据杠杆原理及coSa的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案.

【详解】解：•••动力X动力臂=阻力X阻力臂,

，当阻力及阻力臂不变时，动力X动力臂为定值，且定值＞0,

动力随着动力臂的增大而减小，

；杠杆向下运动时口的度数越来越小，此时CoSa的值越来越大，

乂动力臂4=L∙cosα,

.∙.此时动力臂也越来越大，

,此时的动力越来越小，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本

题的关键.

雨（2022•陕西西安•交大附中分校校考三模）如图，在矩形ABCZ）中，。是对角线AC的中点，E为AD

上一点，若AC=46OE=2,则A8的最大值为.

【答案】4

ABABOF

【分析】设ZAa=a'则NoHa‘根据Suk运‘抽”而，根据正弦的增减性可得，当。F

最大值，AB取得最大值，进而即可求解.

【详解】设NACB=α,则NO4E=a,

ABAB

则…SnIa=G=石

OF

过点OZ7LAZ),则Sina=-----

AO

OE=2,当£：点与尸点重合时，QF取得最大值，此时α最大，则Sina最大，即AB取得最大值,

2AB

此时韭=法，Aβ=4

∙'∙A8的最大值为4

故答案为：4

【点睛】本题考查了矩形的性质，正弦的增减性，掌握三角函数的关系，矩形的性质是解题的关键.

瓯（2021.浙江宁波.统考一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点8与梯架之间的距离BC=4m.

RC

（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m,滑梯最高处A在阳光下的影长为1m,

求滑梯的高AC；

（2）若规定滑梯的倾斜角（/A8C）不超过30。属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符

合安全要求？

【答案】（1）2米；（2）符合

【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可；

（2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可.

【详解】解：（1）竿=悬，

AC=2m,

答：滑梯高AC为2米；

（2）VAC=2m,BC=4m,

.*.tanZABC=-=-=-<-=tan300,

BC423

：正切值随着角的增大函数值增大，

：.ZABC<30°,

这架滑梯的倾斜角符合安全要求.

【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比

例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键.

厚命题旧确

1.三角函数值的变化规律

①当角度A在0。—90°间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

②当角度A在0。—90°间变化时，余弦值和余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

2级日颂鼠

【变式1］（2020•甘肃张掖•统考模拟预测）若（）o<α<90。，则下列说法不正确的是（）

A.SinC随α的增大而增大B.CoSa随a的减小而减小C.ta∏α随α的增大而增大

D.OVSinaCl

【答案】B

【分析】如图，作半径为1的CaCZ）I.功，CQEF均为直径，BHVOC,AGA.OC,A,B都在。上，利

用锐角三角函数的定义分析可得答案.

【详解】解：如图，作半径为1的O,CDVEF,8,EF均为直径，BHVOC,AGLOC,

AB都在I。上，

.∙.OA=OB=1,

DfJ

IIIsinZBOH=——=BH,sinZAOG=——=AG,

OBOA

显然，ZBOH<ZAOG,而W7<AG,

所以当0。<1<90。时，Sina随α的增大而增大，故A正确；

同理可得:

当0。<«<90。时，cosα随α的减小而增大，故B错误；

当0。<=<90。时，tana随α的增大而增大，故C正确；

当a=ZAOG,当点A逐渐向尸移动，边AG逐渐接近。4,

Δ∩

:.sina=sinZAOG=逐渐接近1.

OA

当0。<夕<90。时，0<sina<l,故D正确；

故选B.

【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是

解题的关键.

【变式2].（2022•上海♦校考模拟预测）如果锐角4的度数是25。，那么下列结论中正确的是（)

Ovɜ

A.0<sinA<—B.a0<cosAλ<—

22

C.<tanA<1D.1<cotA<ʌ/ɜ

3

【答案】A

【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大''解答即可.

【详解】解：V0o<25o<30o

.*.0<sin25」

2

/.0<sinA<ɪ.

2

故选A.

【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0。~90。间变化时，①正弦值随着角度的增大（或

减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的

增大（或减小）而增大（或减小）.

【变式3]（2020∙内蒙古•统考二模）在直角三角形ABC中，角C为直角,锐角A的余弦函数定义为,

写出sin70t∖cos40o›COS50。的大小关系.

AC

【答案】COSA=——sin70o>cos40o>cos50°

AB

【分析】根据余弦的定义即可确定答案；根据sin7（）o=cos2（）。且正弦随角度的增大而增大，余弦随角度的增

大而减小即可确定大小关系.

【详解】解：Y直角三角形ABC中，角C为直角

,∙∙3C为斜边，AC为直角边且为NA的一边

余弦的定义为COSiA=---；

∙.∙sin70*cos20。且正弦在锐角范围内随角度的增大而增大，余弦在锐角范围内随角度的增大而减小

.*.sin70o==cos200>cos400,cos40o>cos50°

，sin70o>cos40o>cos50°.

故答案为COSA=——，Sin700>cos400>cos500.

AB

【点睛】本题考查了余弦函数的定义和正弦、余弦函数的增减性，掌握正弦在锐角范围内为增函数

、余弦在锐角范围内为减函数是解答本题的关键.

【变式4］（2022•江苏宿迁・统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0,3）,点。平分BC,BC=2√3,

点、E、。分别在84、C4上运动，且AE=CD,连接CE、BZ）交于点P,点尸（26,1）,连接PF,贝IJNPPC

度数的最大值为.

【分析】根据已知条件证明AAEC丝aCr>B,ZBPC=120°,求得点尸的轨迹，延长FC交V轴于点Q,以

。为圆心，QC为半径作圆，交y轴于点〃，连接而"，过点、QNLFP,交EP的延长线于点N,连接

OB,OB,OP,根据正弦的增减性判断当PF与。相切时候，ZPFC度数最大.

【详解】•点A（0,3）,点。平分BC,βC=2√3,

OB=OC=∖∣3，

AOlBC,

AB=AC,

在Rt40C中，AO=3,OC=y∣3,

tanAACO—――=,

OC√3

.∙.ZACO=60°=ZSAC,

.∙.ABC是等边三角形，

AC—BC,

在AAEC与ACDB中，

AE=CD

,ZEAC=ZDCBF

[AC=BC

AEgCDB,

.λZACE=ZDBC,

ZACE+ZECB=60°.

:.ZDBC+ZECB=ZACE+ZECB=60°,

.∙.NBPC=120。，

延长FC交y轴于点Q,以。为圆心，QC为半径作圆，交y轴于点M,连接B以，过点Q作QNLEP,交

设直线FC的解析式为丁="+。,

L=正

解的一号

⅛=-l

β(0,-l).

:.tanZOβC==√3,

.∙.NOQC=60°,

.∙.NBQC=I20。，

∙"∙BC=240o,

ZBPC=UQo,

P⅛G。上,

设NCFP=a,贝IJSina=萼，

QF

QF为定值，Sina=黑随着QN的增大而增大，即α最大时，QN最大,

当QN=QM取得最大值，

此时PF与（O相切，

.•.£=90。-NOQF=30。，

即NPFC度数的最大值为30。.

故答案为:30°.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，正弦的增减性，求得点P的轨迹是解

题的关键.

【变式5］（2022春•全国•九年级专题练习）如图，已知/ABC和射线Bo上一点P（点P与点8不重合），

且点P到54、BC的距离为PE、PF.

（1）若NEBP=40。，NFBP=20°,PB=m,试比较PE、P尸的大小；

⑵若NEBP=4FBP=B,a,夕都是锐角，且&>£.试判断PE、P尸的大小，并给出证明.

【答案】（I）PE>PF

Q）PE>PF,理由见解析

【分析】（1）根据三角函数的定义，分别表示出尸E,「尸，进而根据角度比较函数值的大小即可求解;

（2）同（D的方法，即可求解.

【详解】（1）解：在Rt43PE中，sin∠zEBP=-=sin40o,

PE=BPSin400,

在Rt_BPF中，SinNTBP=葛=sin200,

PF=BP-sin20o,

又sin40°>sin200,

.∙.PE>PF;

(2)解：由(1)得PE=8P∙sinα,PF=BPSin0,

a>β,

.,.sina>sin∕?,

.∖PE>PF.

【点睛】本题考查了正弦的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键.

核心考点四解直角三角形及其应用

a意题超宽

H(2022.湖北黄石.统考中考真题)我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割

之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每

次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形......边数越多割得越细，正多边形

的周长就越接近圆的周长.再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比'’来计算圆周率.设圆的半径为R,图

1中圆内接正六边形的周长4=6R,则万=2=3.再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为

2A

()

A.12sinl5oB.12cosl5oC.12sin30oD.12cos30o

【答案】A

【分析】求出正十二边形的中心角，利用十二边形周长公式求解即可.

【详解】解：；十二边形AaAz是正十二边形，

∙∙"4=等30。,

∙.∙OH_LAA于”，又OA=O4,

...NAoH=15°,

.∙.圆内接正十二边形的周长八=12X2RSinI5。=24RSinI5。,

π^≈-^-=12sin15°

2R

故选：A.

4HAl

【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，解直角三角形，求出正十二边形的周长是解题

的关键.

瓯（2022.湖北黄石•统考中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高

度为30m,当无人机飞行至4处时，观测旗杆顶部的俯角为30。，继续飞行20m到达8处，测得旗杆顶部

的俯角为60。，则旗杆的高度约为m.（参考数据：6=1.732,结果按四舍五八保留一位小数）

【答案】12.7

［分析］设旗杆底部为点C,顶部为点D,过点D作DE±AB,交直线AB于点E.设DE=xm,在RtABDE

DEX厂tan30。=DE=___Ξ___=3∙

中，tan60。==!=*=百，进而求得AE,在由△A。E中，.比-G-3,求得x,根

BEBE20+Δ-X

3

据CD=CE-QE可得出答案.

【详解】解：设旗杆底部为点C,顶部为点D,延长Co交直线AB于点E,依题意则OEJ_AB,

则CE=30m,A8=20m,NEAr>=30°,NEBQ=60°,

设DE=xm,

在Rt△BDEl∣1,tan60°=----=-----=ʌ/ɜ

BEBE

解得BE=正X

3

则AE=AB+BE=(20+^x)m,

.Q八。DEX6

在RoAQE中，AEy∣33>

20H-----X

3

解得X=IoGBl7.3m,

/.CD=CE-DE=12.7m.

故答案为：12.7.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.

瓯（