2023年考研数学三真题(含答案及解析)

2023)

一、选择题(1〜10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合

题目要求的.)

⑴已知函数f(x,y)=ln(y+lxsiny|),

Ml…襁m存在•(B)取葩ZL不存在•

(C)iL\//!均存在.(D)"|.叫均不存在.

ails”a工Jq9yIU.D

(2)函数/(“)・・/rrz的一个原函数为

iin(/nv-*).x<0»

(A)F(x)

l(z+Deosl一sinx>0.

jln(/-x)+1•x<Oi

(B)F(z)«

1«x+1)co<sx-sin].M>0.

In(/J+x)«工(0.

(C)F(x)=-

(x+Dsinx+cosx«工〉0.

In(/I+T+X)+1♦z<0i

(D)F(z)

(jr+Dsinx4-cosx>

(3)若微分方程y"+ay'+by=0的解在(-1〜)上有界，则

(A)a<0,b>0.(B)a>0,b>0.

(C)a=0,b>0.(D)a=0,b<0.

(4)已知＜b4(n=l,2,...).若级数〉：a.与£醐嫩rin娜r即以绝对

一-I-V••]-1

收

敛”的

(A)充分必要条件.(B)充分不必要条件.

(C)必要不充分条件.(D)既不充分也不必要条件.

⑸设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，贝正、"

uOB

八、-B'A'1rl0IA*-A'B'1

(A)(B)

LO1BIA'JLOIAiB,J

(C)pBlA,TA[①叶川歹-ABM

LoIAI0'JLOIBIA,J

22

(6)二次型f(Xi,X2,X3)=(X1+X2)+(Xi+x3)-4(X2-X3/的规范形为

(A)yi+y2.(B)yl-y2.

(C)yi+y2-4y3.(D)y2+y2-y).

线性表示，也可由

3][-1

we⑻yo；uee

(8)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E(|X-EX|)=

(A)4.⑻,(C)4.(D)L

⑼设Xi,X2,…,X。为来自总体N(u,02)的简单随机样本，匕,丫2,…,Y为来自总体N(u2,

2。2)的简单随机样本，且两样本相互独立.记x=ijjx9p-工冬匕回--L|2(X.

S?-工(匕一？)，，M

(A)g〜F(u.m).~~F(»-l<w-1)«

©督〜F(ii.m).(D)鲁〜

(10)设X1'为来自总体N(M)的简单随机样本，其中O(o>0)是未知参数记=取1

x2|,若E(G)=Q,则@=

(a)f(B)孽(c岫.(D)d2兀

二、填空题(11~16小懑，每小题5分，共30分.)

(11)lintz1(2—min}-cos§)=_______.

(12)已知函数Kxy)满足(d/G,y)=%竽/(l.l)-f则f(V3,3)=

(13)y上二=

邑⑵”---------

(14)设某公司在t时刻的资产为f(t),从0时刻到t时刻的平均资产等于零一人假设f(i)连续

且f(o)=o,则Nt)=Q

OZ1+X|-It]

(15)已知线性方程组['++4-°'有解，其中a,b为常数若1

Xl+2xi+OT|=0«

则

・3

(16)设随机变量X与Y相互独立，且X〜B(l,p),Y〜B(2,p),pG(0,l),则X+Y与X-Y的

相关系数为

三、解答题(17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(17)(本题满分10分)

已知可导函数y=y(x)满足aei+y2+y-ln(l+x)cosy+b=0,且y(0)=0,y(0)=0.

(I)求a,b的值；

(1【)判断*=0是否为y(x)的极值点.

(18)(本题满分12分)

巳知平面区域D=

1rvl4-z1I

(I)求D的面积：

(II)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

(19)(本题满分12分)

已知平面区域D={(x,y)|(x-l)2+y2<l),计算二重积分J|/八9-1,dxdy.

(20)(本题满分12分)

设函数f(x)在［-a,a］上具有2阶连续导数，证明：

(I)若f(0>0,则存在gW(-Aa),使得广⑷—+/(-«>］

(II)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在ne(-a,a),使得，卬I?2I/(«)-/(-«)I

(21)(本题满分12分)

设矩阵A满足：对任意Xi,xz,X3均有A,：=it-J24-J,

1X11IXi-Xi

(I)求A;

(II)求可逆矩阵P与对角矩阵A,使得P」AP二A.

(22)(本题满分12分)

设随机变量X的概率密度为八*)=万餐p-BVw<+8.令y

(I)求x的分布函数；

(H)求Y的概率密度：

(III)Y的期望是否存在？

•4

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)

一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项

卡指定位置.

⑴已知函数f(x,y)=In(y+|xsinyi,则()

(A)式和在口存在

(B)叫f存在

汪Ln,

©二N“均存在

(D)：1\均不存在

矶一礼“

【答案】(A)

【解析】f(0,D=0,由偏导数的定义

..m-*um■,fci.siniiitn

因为④F=3觇生"，所以乳”不存在，

斗山，埠2-/吐="0=g曰=1,所以斗存在.

⑵函数,a)-3T7,xs0的原函数为()

|(X4>l)COtX,JK>0

(A)F(x)-|M/KT—O

I(x♦DCBJT-血x・JTA(J

⑻f(t)=|ln(Vi77-x>>Lx50

(x♦-siaKXa0

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)

(C)F(x)-2疝7+—0

(jr4>l)sinx^c(»x.jr>0

(D)FU).|

|(x4*l)fiin"cm工

【答案】(D)

【解析】当xSO时,

j/(xMx=j[=ta(jr+Jl+P)+G

当x>0时，

j/(x)dr-j(x*l)cmxdc-j(x*lWMi>X3(x+l)Mnx-jMaxdi

=(x+l)sinx+cosx+C2

原函数在(-O,+o)内连续，则在x=0处

limInU+Vl+r^+G=C,I4(x+1)Hnx+co«*+G=1+6

所以C=l+C2,令C2=C,则C=l+C,故

J(jr+l)sinjr-coB"C・Jr>0

结合选项，令c=o,则f(x)的一个原函数为Fa)_]i"/T7+x)+

⑶已知微分方程式y"+ay'+by=O的解在(-0,o)上有界，则()

(A)a<0,b>0(B)a>0,b>0

(C)a=0,b>0(D)a=0,b<0

【答案】(C)

2

【解析】微分方程y'+ay'+by=O的特征方程为X+aX+b=O,

当A=a2-4b>0时，特征方程有两个不同的实根a,3,则a,A至少有一个

不等于零，

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)

若C,C2都不为零，则微分方程的解y=Ce+C2e*在(-o,+x)无界；

当A=a2-4b=0时，特征方程有两个相同的实根，<

F2

若QW0,则微分方程的解严Cg2<xe2在Fa,+x)无界；

当A=a2-4b<0时，特征方程的根为，2土业」「

则通解为约而约

此时，要使微分方程的解在(T),+x)有界，则a=0,再由△=a2-4b<0,知

⑷已知a4Vb,(n=l,2,...),若级数与。均收敛，则“级数口绝对

收敛”是“级数力,绝对收敛”的()

(A)充分必要条件(B)充分不必要条件

(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件

【答案】(A)

・

【解析】山条件知E也-“」)为收敛的正项级数，进而绝对收敛；

-■

设£也绝对收敛，则由|b|=lb.-a2+a,凶h,-与比较判别法，得

MM*

a,+|a,绝对收敛；

、几绝对收敛，则由|a,l=|a,-b2+b2|<|b2-与比较判别法，得法a.

a,|+|b,|

绝对收敛.

<5)设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，歌为矩阵M的件限

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)

矩阵，则'()

0fl1

(B)仅乂T・"|

I。网,

(O(同Qn]伊㈤f

101叱,I0网上J

【答案】(B)

【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(B)计算知

[oBJIOwrJ'[OI砸8，J

-(T4贾MT就卜wa.

⑹二次型f(Xi丛2附户的+X户＜X+X3MX2咒》的规范形为()

(A)y2+y2(B)y2-y2

(C)y2+y2-4y?(D)y2+y2-y3

【答案】(B)

222+

[解析]由已知f(Xi,x2,x3)=2x-3x-3x+2x,x22xx+8x2x,

则其对应的矩阵A1J4

14-3,

4-2-1-1

"一小-143T，(八7Ml)=()4330

m-1TX+：

故选(B)

,1、②(2、(1、

⑺己知向腺2a.-1fi5网-0,若Y既可由a,a2线性

J1图II

表示，也可由与B,B,线性表示，则丫=()

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)

,3、

(A)k3.*€«[B)45.*e/f

4JO,

f-f，r

(C)k1.keK⑼k5.keH

2

【答案】(D)

【解析】设曰的+xiQ2=y;p+y2P2

则xai+x2a2-y;p-y2①=0

rl2-2-f003、

又居卜21-5010-I

口1T70

故(XK2，Y1y2)Y=C(-3,1,-1,1Y,CGR

所以尸-邛+邛2=c(-1,-5,-8)'=-c(1,5,8)^(1,5,8)；keR

⑻设随机变量x服从参数为1的泊松分布，则E(X-EX|)=())

(N):(B)：(C)1(D)1

【答案】(C)

[Of]法1：由颤矢旧,所以一、卜...，

故，国万-口卜1片*=0|+£&-1滔*=*1

--1b<01>'，选(C)

法2:随机变量x服从参数为1泊松分布，即HX山，ijm

期望E(X)=1.

5

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)

*y(t-l)1-e-4eH-y-r"1三•"♦之；」一e"-V-^r*,

09k\与JUKJfc!ftja-H!与*!

=e1+(e-1)e1-(e-1-1)e1=2e1选(C).

(9)设X-X2…,X,为来自总体N(u,d)的简单随机样本，丫,丫2…,Ym为来自

总体N(上,2。2)的简单随机样本，且两样本相互独立，记亍/

n七

心泠，：==£(乂-迎、「看工"口则()

(A)(B)-■—AtII-I./W-1)

25;X：

(C)F(H,M)(D)1.fin-l,iw—I)

【答案】(D)

【懒】或……甩的样板差,必=加国

x,Y……Y,的样本方差£

则("心"”.1)力一呼/一2两个样本相互独立

tT*2/T*

一(1'U、，

所以7~。、//--=出1-1)选D.

(10)漱自总怫(P,。2)白偷轴械羊本，其中0(。刀)女知

参数，记。=akx-Xi,若E(o>=o,则a=()

(A)g(B)(

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)

(CWTT(D)42n

【答案】(A)

【解析】由题可知Xi-X2~N(0,2o2).令Y=Xi%,则Y的概率密度为

fuV-X|)-I，【/二.由E(G)=O,亭故选(加

二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分.

(11)Inn।1?

・9•rr

【答案】|

:12

【解析】limi(2*Jiun-cmS=x2今J-N।WJ)A)・y1

—xx

(12)已知函数f(x,y)满足"X,y)=戈9J(M>・J,则

f(43,3)=_______

【答案】g

【解析】由题意可得1.则

J7♦V*

-araati-♦<,(>)«-arcun-*cty),

yy9

乂因为/：«"=可得(。户^由"“)二彳可得一彳

2023年全国硕士研究生招生考试数学O

叩/<X.V)*-OfVUn1.\

v2

故/

n端=——

【答案】

【解析】今s-£二=">=£/一门“=£上一=£，-

即有s"(x)-s(x)=0,解得s(x)=Ce4-H3ge*.

又由sx(O)=l,s(O)=O有Ci+C2=1,G-C2=0,猴

故t(x)--r',•

(14)设某公司在r时刻的资产为f(r),从0时刻到t时刻的平均资产等

工犯一假设f(t)连续且f(0)=0,则f(t)=_______

于，

【答案】2e,-2r-2

【解析】由题意可得方程：।"J"」''，即i，,.两边同时

t对求导得

fu)=f；()-2t,即fXAf(Q)=21.由一阶线性微分方程通解公式有：

fo=b(jzae}+c)

=e(12ne2di+c)

=e[-(2r+2)e*+c]

=Ce'-2t-2.

又由于f(O)=0,则C-2=O,即C=2.故f(I)=2ei-2r-2.

2023年全国硕士研究生招生考试数学(H)

(15)已知线性方程组-，-0有解，其中a,b为常数，若

不♦与♦吗三。

叫♦如-2

-4,

则kb0

【答案】8

【解析】由已知r(A)=r(A,b)W3<4,故|A,b|二0

IaI0l|Il4I

即|人川・01•l.(Tf4I20♦2(-1广Ial・-l2-24・0,

L：：口。bd\i24t*o

IlaI

故I2"8.

aba

(16)设随机变量X与Y相互独立，且x~B(l.p),Y〜B(2.p),Pe

(0,1),则x+y与x-y的相关系数为

【答案】T

【解析】因为X~B(l.p),所以DX=p(-p).

因为Y~B(2,p),所以DY=2pd-p).

Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X+Y,X)-Cov(X+Y,Y)

=Cov(X,X)+Cov(Y,X)-Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)=DX-DY=p(l-p)-2p(l-p)=-p(l-p)

因为x与r相互独立，所以

D(X+Y)=DX+DY=3p(l-p),D(X-Y)=DX+DY=3p(l-p)

()

故04Covx-»r,x-yi

9

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)

三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

(17)(本题满分10分)

已知可导函数y=y(x)满足ae4+y2+y-In(l+x)cosy+b=0,且y(0)=

O,y'(O)=O

(I)求a,b的值.

(II)判断x=0是否为y(x)的极值点.

【解析】(1)在题设方程两边同时对x求导得，

or'+,>>-/=0①

14・

将x=0,y=0代入题设方程得，a+b=0;

将x=0,y=0,y(0)=0代入①式得，a-1=0

综上：a=l,b=l.

(2)在等式①两边再对x求导得，

00

*+2(/)>+2"+八~皿27；，；；尸<7+(“1+*)由“)'-0②

将x=0,y=0,y(0)=0代入②式得，y"(0)=-aT=-2.

由于y(0)=0,y”(O尸-2,故x=0是y(a)的极大值点.

(18)(本题满分12分)

已知平面区域

IJTVRX2I

(I)求D的面积.

(II)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)

【解析】(1)面积

S■

(2)旋转体体积为

京?产4•(卜占卜4—211TM力5

(19)(本题满分12分)

已知平面区域D={(x,y)|(x-1)?+^^1},计算二重积分

{A/x2+y2-l|dxdy.

【解析】本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区

域分为三块，分别采用极坐标进行计算:

。附+/-啊=2[[附+八啊

=201-“田加+201-“ryMoCjJ/♦尸-So

a八以

分别采用极坐标进行计算：

jjI-J/♦，dor(l-r^r2cos，用"«-一＞"—♦；6

ffJ，♦y2-Id”=£d®f"”r("=ggco«，0-2c(»，e.1.=♦看

■ii

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)

所以：

jjpjr1+201-Jx，+y1"+2“l-〃+yZc+20"+y，-

/A4A

=_一

Q

(20)(本题满分12分)

设函数f(x)在［-qa］上具有2阶连续倒数，证明：

(I)奇(x)=0,则#£(工a)使得/(。=m/((1)+〃7力

(II)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在ne(-a,a),使得

I/⑺I2±l/(a)7(一喇,

【制】(1)证明：/(x)H/(0)+/,(0)x+冬/«770)1+空/.吩f0与迂间,

期/(4)・八以+^^，'.0<%<a①

/H八0)(-。)+^^。1<小<0②

①♦②得।八7)+/'(%)］③

又f(a)在［及小上连续，则必有最大值M与最小值m,即

,,

m<f(n)<M;m<f(n2)WM;从而所w，("')*"("3M

2

由介值定理得：存在8e［zn］指(工a),有W；〃％•)=门？,代入③

得：

n

⑵证明：设f(a)在X%W(-aa)取极值，且f(x)在x=x可导，贝!J仅o尸0.

202昨全国硕士研究生招生考试数学(三)

/(*—+八4)("4)+=〃3与^(*-4。价i徜此间，

则/(-<0・〃4)♦与&p-A)'.r<h<0

/(a)=〃3-%)二。＜“

从而"⑷・"7|=的・4)*/•仇)・扣+%。”)

又|f(x)连续,设M=max曲x)l｝「(x2)，则

|/(«)-/(-«)(.“(/♦%")

又治6(工a),则仃(a)-f(-a)!^M(a2+片)^2Ma2,则

“Ji"八,.i|,即存在n=y;或f/-照),有

|/'(献z1^rU⑷・/(~0・

Zu

(21)(本题满分12分)

设矩阵A满足对任意均有A,-2一.1

XlK263II.>IJL

(I)求A.

(II)求可逆转矩阵P与对角矩阵A使得p-AP=A