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文档简介
2023年全椒县九年级第一次模拟考试试卷
数学
注意事项:
1.你拿到的试卷满分为150分,考试时间为120分钟。
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页,“答题卷”共6页。
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的。
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个
选项,其中只有一个是符合题目要求的.
I.下列各数比一8小的是()
A.—9B.---C.—7D.---
97
2.2023年2月28日,国家统计局发布关于《2022年国民经济和社会发展统计公报》,2022年我国国内生
产总值(GDP)达121万亿元.再次跃上新台阶.其中121万亿用科学记数法表示为()
A.1.21XIO12B.12.1×10l3C.1.21×10l4D.0.121×IO15
3.下列计算正确的是()
Am,∙tn,-2ιn,B.m2+m3-m5C.(一加=甘D.m6÷∏τ-nt,
4.风阳花鼓是一种安徽民间表演艺术,如图是一面花鼓,其左视图大致为()
B.D.
5.若根是整数,而<"2<J万,则加的值为(
A.2B.3C.4D.5
6.从某奶茶小店某月每日营业额(单位:元)中随机抽取部分数据进行整理分析,根据方差公式,得
,2__L.则下列说法正确的是()
n-ʧ
A.样本容量是4B.该组数据的中位数是400
C.该组数据的众数是400D.S2=8000
7.如图,点。是JWC内一点,点尸是AC边中点,DF〃BC交边AB于点、E,NADC=90°.若
5C=8,AC=6,则OE的长为()
A.0.5B.1C.1.5D.2
8.如图,电路图有4只未闭合的开关,一个电源和一个小灯泡,已知电路图上的每个部分都能正常工作,
任意闭合其中两只开关,使得小灯泡发光的概率为()
9.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=0χ2-4x+c2(αHO)与一次函数y=4x—c(α≠0)的图象可
能是()
10.已知点A,B,C是OO上的点,且三点互不重合,
A.若点B是AC的中点,则4AC=NACB
B.若ZAoB=Il0°,则ZAcB=55°或125°
C.若AB〃OC,OALOB,则ZAoC=I35。
D.若四边形。4BC是平行四边形,则四边形Q48C一定是菱形
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.计算:卜3|—(τC-I)O=.
12.若a^b-ab2=-6,ab=3,则α—Z?的值为.
13.反比例函数y=K(AHθ)与一次函数y=x+m的图象交于点C(α,l)和点。伍,4),一次函数
L
y=》+机的图象分别与Z丁轴交于点4(-5,0)和点8.当x<0时,不等式∖≤x+"7的解集为
14.在-ABC中,NBAC=90。,AB=3,AC=4,点尸是边BC上一点,点。与点E分别是边AB,AC
上的一点,AP与DE互相平分.
(1)若A尸平分/B4C.则AAFB与AACP的面积之比为
(2)若AC=PC,则OE的长为.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15化简:(1-------)÷-~.
X—1—1
16.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点。和AABC的顶点都在网格点上.
(1)将ΔA8C先向上平移2个单位长度,再向右平移5个单位长度,得到AAgG,画出ΔAgG;
(2)以点。为旋转中心,将A4ΛG按顺时针方向旋转90。,得到ΔΛ4C2,画出
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.已知甲,乙两种酒精溶液的浓度分别为90%和30%,某同学用甲,乙两种酒精溶液共akg恰好配制成
75%的酒精消毒液
(1)akg甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有kg(用含字母”的式子表示);
(2)若α=80,分别求出甲、乙两种酒精溶液的质量.
18.在美术课上,小明设计如图所示的图案,每个图案都是由白点和黑点组成,归纳图案中的规律,完成
下列问题.
OOOOOOOOOOOOOO*••
OOOOOOOOO••∙OOOOO■••
OOOO。•OOOO•*∙OOOOO*••
OO•OOO••OOOO•♦∙OOOOO••
图1图2图3图4
(1)在图5中,白点有_____一个,黑点有____一个;图〃中,白点有_一个,黑点有
__________个;
(2)在图〃中,若白点和黑点共有169个,求〃的值.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.某数学活动小组测量树边小池塘宽度CD.如图,树A。与水平地面BC垂直,垂足为点。,树
A£>两侧有两个观察点,分别是点8和点C,点氏。,C三点共线,从点5观察树顶点A的仰角为60。,
从点。观察树顶点A的仰角为37°,测得5。的长为IOm.求小池塘的宽度CD的长.(结果精确到
ooo
0.1m,参考数据:sin37≈0.6,cos37≈0.8.tiin37≈0.75.y∕2≈1.41›ʌ/ɜ≈1.73)
A
20.如图1,AB是O的切线,切点为点B,连接04交C。于点C,点。是优弧BC上一点,连接
(1)求证NA+2ND=90°;
(2)如图2,若BDLoC,NA=NZ),CD=I,求AB的长.
六、(本题满分12分)
21.学习二十大,争做新少年,某初中学校团委加强对“二十大”知识的宣传与学习,决定从七、八、九
三个年级随机抽取若干名学生进行关于“二十大”相关知识的考查,并将成绩(百分制)汇总,制成如下
不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
频数
ι⅛tz^∏-*1>∖
12卜........∕⅛0〜90分ςs∕16%\
l⅛^^,Ξ]-/30%P50-60^\
6「「
4V70~800分∖w%7
0、506070809’0lθ成蜀分
(1)填空:m=__________,n=__________;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若得分超过70分为及格,该校有3000名学生,求该学校学生对“二十大”相关知识掌握及格学生
人数.
七、(本题满分12分)
22.淮南油酥烧饼是安徽早餐的特色之一,如图1,它的外边缘线的一半恰好呈抛物线,如图2是半块烧
饼的示意图,以AB的中点为原点建立平面直角坐标系,AB的长度为8cm,抛物线最高点距AB的最大
高度为6cm.
图1图2图3图4
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图3,小明想在这半块烧饼上切出一块矩形Cr)E尸,使得矩形的一边E/与AB重合,点C。在
抛物线上,求该矩形周长/的最大值:
(3)如图4,小明的妹妹想在这半块烧饼上切出若干块宽为1.5Cm的矩形,若切出的所有矩形的长与AB
平行,求切出的所有矩形的面积之和.(结果保留根号)
八、(本题满分14分)
23.如图1,在正方形ABC。中,点E是AD上的一点,FG是CE的垂直平分线,分别交A3,Co于
点、F,G.
(1)求证。炉=2CG∙Cf);
求竺的值;
(2)如图2,若DE=DG,
DG
(3)如图3,设FG与BD交于点H,连接C",E”,探索ACE”的形状,并加以证明.
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个
选项,其中只有一个是符合题目要求的.
1.下列各数比Y小的是()
C11
A.-9B.----C.—7D.----
97
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数绝对值大的反而小进行比较判断即可.
【详解】解:卜8|=8,卜9∣=9,-∣=∣-∣-7∣=7,-∣=∣,
∙.J<J<7<8<9,
97
—>—>—7>—8>—9,
97
比—8小的是—9,
故选:A.
【点睛】本题考查了有理数的大小比较.解题的关键在于熟练掌握负数绝对值大的反而小.
2.2023年2月28日,国家统计局发布关于《2022年国民经济和社会发展统计公报》,2022年我国国内生
产总值(GDP)达121万亿元.再次跃上新台阶.其中121万亿用科学记数法表示为()
A.1.21×10l2B.12.1×1013C.1.21×10l4D.0.121×I0l5
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为αχlθ"的形式,其中l≤∣α∣≤10,"为整数,确定〃的值时,要看把原数
变成。时,小数点移动了多少位,”的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值≥10时,〃是正数;
当原数绝对值<1时,〃是负数.
【详解】解:121万亿=121000000000000=L21xl0μ∙
故选:C.
【点睛】本题考查科学记数法,掌握科学记数法表示数的方法是解题关键.
3.下列计算正确的是()
,,323562,
A.m∙m-2mB.m+m-mC.(T/)=MD.m÷m-m
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数塞的乘法运算法则、合并同类项运算法则、积的乘方运算法则以及同底数基的除法运算
法则分析判断即可.
6
【详解】解:A.∕√∙∕√=m,故运算错误,不符合题意;
B.小和加3不是同类项,不能合并,故运算错误,不符合题意;
C.(―加3)2=m6,运算正确,符合题意;
6
D.fn÷nr=m^故运算错误,不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了同底数基的乘法运算、合并同类项、积的乘方运算以及同底数基的除法运算等知
识,熟练掌握相关运算法则是解题关键.
4.风阳花鼓是一种安徽民间表演艺术,如图是一面花鼓,其左视图大致为()
A.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图的定义即可解答.
【详解】左视图为左面看到的图形
故本题选A.
【点睛】本题考查了左视图,熟练掌握该知识点是解答本题的关键.
5.若“是整数,JTT<"2<J万,则加的值为()
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的估算计算即可.
【详解】解::4=标,在Jri<机<J万范围内,
m=4,
故选:C.
【点睛】本题考查无理数的大小估算,准确计算是解题关键.
6.从某奶茶小店某月每日营业额(单位:元)中随机抽取部分数据进行整理分析,根据方差公式,得
52=1^(200-%)2×3+(300-J)2×5+(400-x)2+(500-x↑.则下列说法正确的是()
A.样本容量是4B.该组数据的中位数是400
C.该组数据的众数是400D.$2=8000
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的公式、样本容量、中位数、众数的定义进行解答即可.
【详解】解:A.根据方差公式可知,共有3+5+1+1=10个数据,因此样本容量为10,故A错误,不
符合题意;
B.这10个数中有3个200,5个300,1个400,1个500,因此从小到大排序后,排在第5和第6的都是
300,因此这组数据的中位数是300,故B错误,不符合题意;
C.这组数据中出现次数最多的是300,因此这组数据的众数是300,故C错误,不符合题意;
-200×3+300×5+400+500…
D.这10个数的平均数为:X=---------------------------------=300,
10
.∙.$2=L[(200—jf)2X3+(300—亍)2×5+(400-x)2+(5OO-x)2]
=ɪ[(200-300)2×3+(300-300)2×5+(400-300)2+(500-300)2]
=8000,故D正确.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了数据处理和应用,解题的关键是根据方差计算公式,找出这组数据的10个数.
7.如图,点。是内一点,点尸是AC边的中点,DF〃BC交边AB于点、E,NADC=90°.若
5C=8,AC=6,则JDE的长为()
A.0.5B.ɪC.1.5D.2
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线的性质可得EF=LBC=4,再在RtAACD中,根据“直线三角形斜边上的
2
中线等于斜边的一半”可得。尸=3,然后计算。E的长即可.
【详解】解::点尸是AC边的中点,DF//BC,
所为一ABC的中位线,
又,:BC=8,
:,EF——BC=—X8=4,
22
VAC=6,ZADC=90°,
.∙.DF=-AC^3,
2
.,.DE=EF—DF=4—3=1.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识,熟练
掌握相关知识是解题关键.
8.如图,电路图有4只未闭合的开关,一个电源和一个小灯泡,已知电路图上的每个部分都能正常工作,
任意闭合其中两只开关,使得小灯泡发光的概率为()
【答案】A
【解析】
【分析】用所求情况数除以总情况数即可解答.
【详解】由题意可知,共有六种情况,而小灯泡不发光的情况只有S3、$4关闭时,
小灯泡发光的概率为3
6
故选A.
【点睛】本题考查了概率公式,熟练掌握概率公式是解答本题的关键.
9.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=oχ2-4χ+c2(αoθ)与一次函数y=4χ-c(α≠0)的图象可
能是()
【解析】
【分析】根据一次函数和二次函数的性质用排除法得到答案.
【详解】解:;一次函数解析式为y=4x-c∙(α≠0),
/.左>0图像呈上升趋势,
.∙.排除A、D,
:二次函数解析式为y=tι√―4%+,(。*0),
当X=O时,y=c2>0,
;•二次函数与y轴正半轴有交点,
故选:C.
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的性质,灵活运用所学知识是解题关键.
10.已知点AB,C是1,O上的点,且三点互不重合,下列结论错误的是()
A.若点8是AC的中点,则N84C=NACB
B.若ZAO8=110°,则ZACB=55°或125°
C.若A3〃0C,OA±OB,则ZAoC=I35°
D.若四边形OABC是平行四边形,则四边形Q4BC一定是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】根据等弧对等角可判断A正确;依据圆周角定理可判断B正确;依据垂直及平行线的性质可判断
C错误;依据圆的基本性质及菱形的判定方法可判断D正确.
【详解】如答图1,:点8是AC的中点,
AB=BC>
:.ΛBAC=ZACB,选项A正确;
A
■.令AU・■
*ιo∙∙∙
当NAQB=IIo。时,分两种情况,
如答图5,当点。位于优弧A3上时,
由圆周角定理,得NACB=LNAOB=JXIl0。=55°,
22
如答图6,当点C位于劣弧AB上时,在优弧AB上任选一点C',连接AC',BC',
,.∙ZAOB=WOo,
:.NC=LzAOB=LXll0。=55。,
22
.∙.ZACB=I80°-NC=I80°—55°=125°,
.∙.NACB=55°或125°,选项B正确;
当AB〃OC时,分两种情况.
如答图3,•;QA∙L0B,0A=08,
.∙.ZAOB=90°,ZOAB=45°,
,.∙AB//OC,
.∙.ZAOC+ZCMB=180°,
/.ZAOC=I80o-ZOAB=180o-45o=135o,
如答图4,∙.∙A8”0C,
.∙.ZAOC=ZOAB=45°,
.∙∙N40C的度数为135。或45°,选项C错误;
如答图2,:四边形OWC是平行四边形,
/.OA=BC,OC=AB,
又OA=OC,
:.OA=AB=BC^OC,
.∙•四边形OWe是菱形,选项D正确;
综上所述,
故选C.
【点睛】本题考查了等弧对等角、圆周角定理、垂直及平行线的性质、基本性质及菱形的判定;熟练掌握
相关性质是解题的关键.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.计算:∣-3∣-(π-l)°-------------
【答案】2
【解析】
【分析】首先根据求一个数的绝对值及零指数基的运算法则进行运算,再进行有理数减法运算,即可求得结
果.
【详解】解:卜3|—(兀一1)°=3—1=2,
故答案为:2.
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值及零指数累的运算,有理数减法运算,熟练掌握和运用各运算法则
是解决本题的关键.
12.若a°b-ab,=-6,ab=3,则a—b的值为.
【答案】-2
【解析】
【分析】利用提公因式法进行因式分解,代入计算即可求解.
【详解】解:∙.∙a2∕7-"2=一6,^=3
a^b-cιb^—ab^a~b^,cΓb—ah2--6>cιb—3
:.-6=3(a-b)
.'.u~b——2
故答案为:一2
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用,熟练掌握提公因式法是解题的关键.
13.反比例函数y=K(Zrθ)与一次函数y=x+m的图象交于点c(a,l)和点。(。,4),一次函数
y=x+〃2的图象分别与x,y轴交于点A(-5,0)和点B.当x<0时,不等式g≤x+根的解集为
【答案】-4≤χ≤-l
【解析】
【分析】先求出一次函数的解析式,再求出的坐标,根据图象找到直线在曲线上方时的X的取值范围
即可得出结论.
【详解】解::一次函数y=χ+m的图象分别与%,y轴交于点a(-5,o)和点8,
***0=—5+in,
••〃2=5,
.∙.γ=x÷5,
∙.∙反比例函数y=[(左/0)与一次函数V=无+加的图象交于点c(α,l)和点
.β.1=α+5,4=匕+5,
/.a=-4,b=-1,
ΛC(-4,l),D(-l,4),
k
由图象可知:一≤x+加的解集为:-4≤X≤-1;
X
故答案为:-4≤X<-1.
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用.解题的关键是求出C。的坐标,利用图象法求不
等式的解集.
14.在一ABC中,ZBAC=90°,AB=3,AC=4,点P是边BC上一点,点。与点E分别是边AB,AC
上一点,AP与。E互相平分.
(1)若AP平分/84C.则AAFB与ΔACP的面积之比为;
(2)若AC=PC,则OE的长为.
【答案】①.3:4②.
5
【解析】
【分析】(1)根据对角线互相平方可知四边形ADPE是平行四边形,再根据N84C=90°可知,四边形
ADPE是矩形,然后根据AP平分/84C,可知四边形AZ)PE是正方形,最后根据正方形的性质及三角
形的面积公式即可得出答案;
(2)过点A作AFlBC于点尸,根据勾股定理及三角形的面积公式可求得A/的值,再根据勾股定理
可求得CF的值,然后利用线段的和差得出PE的值,最后利用勾股定理及矩形的性质即可得出答案.
【详解】(1)∙.∙”与OE互相平分,
/.四边形ADPE是平行四边形,
又N84C=90°,
,四边形AoPE是矩形,
.∙.NADP=NAE0=90°
又4j平分/84C,
•••四边形AQPE是正方形.
.,.PD=PE,
•;AB=3,AC=4,
・尸。):
∙∙∙sAAPB:SΔΛ°=(;AB(gAC∙=AB:AC=3:4
(2)如图,过点4作A/13。于点尸,
•;ZBAC=90o,AB=3,AC=4,
;•BC=-JAB2+AC2=√32+42=5
-SΛABC=^AB-AC=^AFBC,
«ABAC3x412
AF=----------=------=—,
BC55
.∙∙CF=√AC2-AF2=卜2,
∙.∙AC=PC=A,
又四边形AoPE是矩形,
.Λ,4√W
•∙DE=APD=-------∙
5
4√10
故答案为:3:4,--------•
5
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理,熟练掌握性质定理是解题的关
键.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
Iχ-2
15化简:(1一一—)÷⅞^.
X—ɪX—1
【答案】χ+l∙
【解析】
【分析】先算括号内、再把除法变成乘法,再按分式乘法运算法则计算即可.
【详解】解:原式二^≤≤χ(x+Dɑτ)
%-1X—2
X-2(∙X+1)(X—1)
ɪ-lx-2
=x+1.
【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算法则,灵活运用分式的四则混合运算法则是解答本题的关
键.
16.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点。和AASC的顶点都在网格点上.
(1)将ΔA8C先向上平移2个单位长度,再向右平移5个单位长度,得到A4,4G,画出MgG;
(2)以点。为旋转中心,将G按顺时针方向旋转90。,得到画出∆4B2G.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】(1)将点48、C分别向上平移2个单位长度,再向右平移5个单位长度,得到对应点,再首尾
顺次相接即可;
(2)将点4、BrG分别绕点。顺时针方向旋转90°,得到对应点,再首尾顺次相接即可.
【小问1详解】
解:如图所示,A4lgG即为所求;
【小问2详解】
解:如图所示,AA2&C?即为所求.
【点睛】本题考查了作图-平移变换、旋转变换,解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质,并
据此得到变换后的对应点.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.已知甲,乙两种酒精溶液的浓度分别为90%和30%,某同学用甲,乙两种酒精溶液共akg恰好配制成
75%的酒精消毒液
(I)akg甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有kg(用含字母。的式子表示);
(2)若α=80,分别求出甲、乙两种酒精溶液的质量.
【答案】(1)0.75«(或75%α)
(2)甲、乙种酒精溶液的质量分为60kg、20kg
【解析】
【分析】(1)设甲酒精溶液有Xkg,则有乙酒精溶液(a-x)kg,根据“用甲,乙两种酒精溶液共akg恰好
配制成75%的酒精消毒液”列方程,解方程求得X=O.75。,进一步计算即可求解;
(2)设甲种酒精溶液为Xkg,乙种酒精溶液为ykg,根据题意列二元一次方程组,求解即可.
【小问1详解】
解:设甲酒精溶液有xkg,则有乙酒精溶液(α-x)kg,
,0.9x+0.3(α-x)
由题意得---------——1=0.75,
a
整理得0.6x+0.3α=0.75。,
解得X=O.75α,α-x=0.25α,
甲酒精溶液有0∙75αkg,则有乙酒精溶液0.25okg,
甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有O.75αχO.9+O.25αχO.3=O.75α(kg),
故答案为:0.75a;
【小问2详解】
解:设甲种酒精溶液为Xkg,乙种酒精溶液为ykg,根据题意,得:
'x+y=80
∖90%x+30%γ=80×75%,
解得《[%=60
y=20
答:甲、乙种酒精溶液的质量分别为60kg、20kg.
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含
的相等关系,并据此列出方程.关于溶液问题的定量一般有两个:溶液,溶质.那么通常也是根据这两个
定量来找到等量关系进而求解的.
18.在美术课上,小明设计如图所示的图案,每个图案都是由白点和黑点组成,归纳图案中的规律,完成
下列问题.
OOOOOOOOOOOOOO••••
OOOOOOOOO∙∙∙OOOOO••••
OOOOO∙∙OOOO∙∙∙OOOOO••••
OO∙OOO∙∙OOOO∙∙∙OOOOO••••
图1图2图3图4
(1)在图5中,白点有_______个,黑点有_______个;图〃中,白点有___________个,黑点有
__________个;
(2)在图”中,若白点和黑点共有169个,求〃的值.
2
【答案】U)24,25,4(H+1),N
(2)11
【解析】
【分析】(1)根据图1-4中的白点和黑点数量的规律即可得;
(2)根据(1)的结果建立方程,解方程即可得.
【小问1详解】
解:图1中白点数量8=4x(l+l)个,黑点数量为1个,
图2中白点数量为12=4χ(2+l)个,黑点数量为4=22个,
图3中白点数量为16=4x(3+l)个,黑点数量为9=32个,
图4中白点数量20=4χ(4+l)个,黑点数量为16=42个,
则图5中白点数量为4x(5+l)=24个,黑点数量为25=52个,
归纳类推得:图“中,白点有4(〃+1)个,黑点有〃2个,
2
故答案为:24,25,4(n+1),n.
【小问2详解】
解:由题意得:n2+4(n+l)=169,即(〃+2『=132,
解得勺=ll,n2=-15(不符合题意,舍去),
故〃的值为11.
【点睛】本题考查了图形类规律探索、一元二次方程的应用,正确归纳类推出一般规律是解题关键.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.某数学活动小组测量树边小池塘的宽度Cr>.如图,树AO与水平地面BC垂直,垂足为点。,树
两侧有两个观察点,分别是点8和点C,点B,£>,C三点共线,从点B观察树顶点A的仰角为60。,
从点C观察树顶点A的仰角为37。,测得BD的长为IOm∙求小池塘的宽度CD的长.(结果精确到
0.1m,参考数据:sin37o≈0.6,cos37o≈0.8.tan37°«0.75,≈1.41«√3≈1.73)
【答案】23.1m
【解析】
Δ∩
【分析】在RtZXABD中,结合题意依据tan∕A5O=——即AD=tanNABD班)可求得AO,在
BD
∆nAn
RtAACD中依据tanZACD=——即CD=-------------求解即可.
CDtanZACD
【详解】RtAAB。中,
ZADB=90o,ZABD=60o,8。=Iom,
4n
tanZABD=—
BD
.∙.A£>=tanZABD-BD=tan60o×10=^×10=10√3(m),
在RtCZ)中,
ZADC=90o,NACD=37o,AD=10√3m,
A/)
tanZACD=—
CD
AA10√310√340^
:.CD=-
tanZACDtan370~0.75-3
≈40^l∙73≈23.1(m),
答:小池的宽度CO的长约为23.1m.
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用(仰俯角);解题的关键是熟练掌握直角三角形的锐角三角
函数与边的关系.
20.如图1,AB是:一。的切线,切点为点5,连接Q4交。。于点C,点。是优弧BC上一点,连接
BD,CD.
(1)求证NA+2NO=90°;
(2)如图2,若B£)_LOC,ZA=ZD,CD=I,求AB的长.
【答案】(1)见解析(2)名
【解析】
【分析】(1)连接08,根据圆周角定理可知NO=2NO,进而可证NA+2N。=90°;
(2)连接OB,BC,由(1)可求出NA=30°,可知,BOC是等边三角形,再证明BECgDEC(SAS),
可求出05=1,根据勾股定理即可求AB的长.
【小问1详解】
如上图,连接。B,
:AB是。。的切线,
NAeO=90。,
.∙.ZO+ZA=90°,
;BC=BC,
.∙∙NO=2ND,
;•ZA+2NO=ZA+NO=90°;
【小问2详解】
解:如图2,连接OBBC,令BD与OC交点、为E,
∙.∙ZA=ZD,
:.ZA+2NO=3ZA=90°
.∙.ZA=30°
.∙.NO=90°-ZA=90°-30°=60°
∙.∙OB=OC
.BOC是等边三角形.
.,.OB-BC,
又BDLOC,
BE=DE
•:EC=EC,/BEC=NDEC
.BEC沿DEC(SAS)
;.BC=DC=I,即OB=L
在RtAAOB中,OB=I,ZA=30°,
∙,.OA-2OB=2x1=2,
,AB=SA2-OB?=也2_/=G.
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的判定及性质、勾股定理、等边三角形的判定及
性质等知识点,熟练掌握上述知识点是解答本题的关键.
六、(本题满分12分)
21.学习二十大,争做新少年,某初中学校团委加强对“二十大”知识的宣传与学习,决定从七、八、九
三个年级随机抽取若干名学生进行关于“二十大”相关知识的考查,并将成绩(百分制)汇总,制成如下
不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
数
6
4
2
0二80〜90分给∕∣6%
830%乃0〜60分
6_
4N\60〜70分
270~80分∖w%)
24%\/
Ov5060708090100成绩/分
(1)填空:m=,n=;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若得分超过70分为及格,该校有3000名学生,求该学校学生对“二十大”相关知识掌握及格的学生
人数.
【答案】(1)2010
(2)见解析(3)1920名
【解析】
【分析】(1)根据由频数分布直方图可得50-60分的学生有8人,扇形统计图可得50-60分的学生占总人数
的16%,由此可求出抽取学生的总人数,即可求出答案;
(2)根据第(1)问即可补全频数分布直方图:
(3)根据第(1)问得抽取50人中及格人数所占百分比,即可求出答案.
【小问1详解】
解:由频数分布直方图可得50-60分的学生有8人,由扇形统计图可得50-60分的学生占总人数的16%,
Q
抽取学生的总人数为——=50(名),
16%
由频数分布直方图可得60-70分的学生有10人
.∙.m%=Wχl00%=20%,则加=20,
50
则80-90分的人数为50x30%=15(名),90-100分的人数为50-(8+10+12+15)=5(名),
.∙.〃%=9x100%=10%,则〃=10.
50
【小问2详解】
解:由(1)得:80-90分的人数为15名,90-100分的人数为5名,
补全频数分布直方图如下:
【小问3详解】
Ov5060708090100成绩/分
解:由题意得:3(XX)×(30%+10%+24%)=1920(名)
答:该学校学生对“二十大”相关知识掌握及格的学生人数约为1920名.
【点睛】本题考查频数分布直方图和扇形统计图,灵活运用题中已知条件是解题关键.
七、(本题满分12分)
22.淮南油酥烧饼是安徽早餐的特色之一,如图1,它的外边缘线的一半恰好呈抛物线,如图2是半块烧
饼的示意图,以AS的中点为原点建立平面直角坐标系,AB的长度为8cm,抛物线最高点距AB的最大
高度为6cm.
(2)如图3,小明想在这半块烧饼上切出一块矩形SEF,使得矩形的一边防与AB重合,点C0在
抛物线上,求该矩形周长/的最大值:
(3)如图4,小明的妹妹想在这半块烧饼上切出若干块宽为1.5Cm的矩形,若切出的所有矩形的长与AB
平行,求切出的所有矩形的面积之和.(结果保留根号)
3,
【答案】(1)y=--x2+6
O
(3)673+65/2+6(cm2)
【解析】
【分析】(1)解:由题意知,抛物线的顶点坐标为(0,6),点AB的坐标分别为(-4,0),(4,0).设该抛
物线的解析式为y=fl^+6,把点B(4,0)代入,求。,进而可得抛物线解析式;
(2)由题意知,CD//AB,设点Z)的坐标为(九一:旭2+6卜〃?>0),则C+6j,即矩形
Cr)EF的周长/=22m--m2+6根据二次函数的性质求最值即可;
8
39
(3)根据宽度为1.5cm,则分别计算当y=a,y=3,y=5时,对应的X值,进而可求各层矩形的
长,最后根据面积公式计算并求和即可.
【小问1详解】
解:由题意知,抛物线的顶点坐标为(0,6),点AB的坐标分别为(T,0),(4,0).
设该抛物线的解析式为>=加+6,把点3(4,0)代入,得16α+6=0,
3
解得Cl=—,
8
3
・•・该抛物线的解析式为y=—GX9+6.
O
【小问2详解】
解:由题意知,C设点Q的坐标为卜,,一j机2+6)〃>0),则ClT”,一|加+6],
(αSV5?
.∙.矩形CDEF的周长/=22m—1∕√+6=--2+4m+12=--m--+—,
I8J4m4l3)3
V--<0,
4
Q
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