【高中数学】2023-2024学年人教A版必修第一册 正切函数的性质与图象 作业

5.4.3正切函数的性质与图象

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.函数/(x)=tan(x+5的图象的一个对称中心是()

A.亭0)B.6,0)C.6,0)D.《⑼

2.函数f(x)=tan(2x*)的单调递增区间是()

A•修-雪冷+瑞］八RB.管一者与+招)(%ez)

C.［/OT—kn+骂］(k6Z)D.(kn+kn+与)(kGZ)

3.函数旷=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间G，竽)内的图象是()

4.函数f(x)=tanw(3>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为*贝疗信)的值是

()

A.-yTiB.早C.1D.V-3

5.函数/(乃=芦匚的奇偶性是()

Z-COSX

A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶数

6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性

质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，

已知函数f(x)=tan(o)x+工)(3>0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2020相交

于4B两点,且|AB|=2,则/©)=()

A.V-3B.口-yplC.V^-3D.-<7-3

7.函数y=lg(tanx+VTTtaMx)()

A.是奇函数B.既是奇函数又是偶函数

C.是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数

8.函数y=$也才与丫=tanx的图像在［一4兀,4利上的交点有()

A.9个B.13个C.17个D.21个

二、多选题

9.下列关于函数y=tan。+学的说法正确的是()

A.在区间(-需电上单调递增B.最小正周期是兀

C.图象关于(也0)成中心对称D.图象关于直线％成轴对称

10.已知函数/(x)=|tan(耳一》,则下列说法正确的是()

A./(X)的周期是27r

B./(x)的值域是｛y|y6R,且y丰0)

C.直线x是函数f(x)图象的一条对称轴

D./(%)的单调递减区间是(2々兀-4,2妊+JkWZ

11.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔•巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高

度为八的日辱及其投影长度s的公式：S=也黑严，即等价于现在的5=%。切，我们称y=

cot%为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是()

A.函数y=cotx的最小正周期为27r

B.函数y=cot%关于(兀,0)对称

C.函数y=co垃在区间(0,兀)上单调递减

D.函数y=tan》的图象与函数y=cotx的图象关于直线％=］对称

12.函数f(%)=|tan%|+sin%,则关于f(x)的性质表述正确的是()

A./(%)的定义域为｛x|x。k7r+，,k£Z｝

B./(%)是周期函数，最小正周期为27r

c.f(x)具有奇偶性，且为奇函数

D.f(x)具有轴对称性，且对称轴是x=1+上兀，kez

三、填空题

13.函数y=tan(sinx)的值域是.

14.若函数f(n)=tan©7r+》(neN*),求f(0)+f(l)+f(2)+…+/(2021)=.

15.函数/(x)=tan(2x+8图象与直线y=2的交点横坐标为与，如则%-加的最小值

是.

16.关于函数/(x)=tan/一3x),有以下命题：

①函数f(x)的定义域是｛x|x4k兀+eZ)；

②函数/"(x)是奇函数；

③函数f(x)的图象关于点(孤0)对称；

④函数/(乃的一个单调递增区间为(时一加兀+等,kez；

其中，正确命题的序号是.

四、解答题

17.(本小题12.0分)

已知xe［一或胃，求函数y=taMx+2tanx的值域.

18.(本小题12.0分)

求函数y=tan(3x-^)的定义域、周期、并判断它的单调性.

19.(本小题12.0分)

已知函数/(Q=2tan(/》.

(1)求f(x)最小正周期、定义域；

(2)若f(x)22,求x的取值范围.

20.(本小题12.0分)

已知。为锐角，在以下三个条件中任选一个:①嗡瑞景鬻2=?02sin20-cosd-1=

0；-sin(e-2)-cos(2+0)=i；并解答以下问题：

(1)若选(填序号)，求。的值；

(2)在(1)的条件下，求函数y=tan(2x+。)的定义域、周期和单调区间.

21.(本小题12.0分)

是否存在实数a,且aeZ,使得函数丫=tan©-ax)在区间/,即)上单调递增？若存在，求

出a的一个值；若不存在，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ln黑

(1)判断函数/(x)的奇偶性，并证明；

(2)若不等式“(x)+atanx20恒成立，试求实数a的取值范围.(其中e为自然

对数的底数)

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查正切函数的图象和性质，属基础题.

令x+号殍(kez)即可求解.

【解答】解：由无=M得久=与一5,(fcGZ),

当k=1时，％=宗

所以函数/'(X)=tan(x+》的图象的一个对称中心是(a0),

故选A.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了正切函数的图象与性质和复合函数的单调性.

利用正切函数的单调性，结合复合函数的单调性得-3+k7r<2x-E<、+/OT,keZ,最后计算

得结论.

【解答】

解：由一^+卜江<2x—^<^+kn,kEZ,

解得一:+亨<%<骂+苧,％ez,

故函数y=tan(2x一学的单调增区间为(-名+与泻+:)(keZ).

故选民

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数的图象，正弦函数的图象，正切函数的图象.

对X分xeC，7T）,乂=兀以及刀€（万,。万），得到每段函数的解析式，以及函数值的正负，即可得到

函数的图象.

【解答】

解：因为当x£时，tcmx<0,sinx>0,

则y=tanx+sinx—\tanx—sinx\=2tanx,且此时y<0,

当％=Jr时，y=0,

当％E（区2乃）时,tanx>0,sinx<0,

则y=tanx+sinx—\tanx—sinx\=2sinx,且此时yV0,

综上，函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|

7T

2tanx,xG（］，"）

={0,x=TC,

37r

2sinx,xe（兀，-^~）

由此画出函数图象如选项D图示，

故选：D.

4【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数值的求解，考查正切函数的图象与性质，根据条件求出函数的周期和3是

解决本题的关键，根据条件求出函数的周期和3,即可得到结论.

【解答】

解：・・・/。）=tana）x（a）>0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为宗

・•.函数的周期7=即*=则3=2,则/（%）=tan2x,

则/吟）=tan（2x看）=tan,=V-3.

故选D

5.【答案】A

【解析】

【分析】

先求函数的定义域{x|x*kn+^,kGZ},关于原点对称，再根据定义式判断f(x)与f(-x)的关系

即可得出结论.

本题主要考查了函数的定义域，函数奇偶性的判定，属于基础题.

【解答】

解：f(x)的定义域为{x|x。+6Z},又/'(-X)=黑言5=一三瑞=

所以/(X)为奇函数.

故选A.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了正切函数的周期性与三角函数值计算问题，解题的关键是准确理解给定的信息，得出

该函数的周期.属于基础题.

根据平行于横轴的直线与平行曲线截得的线段长度相等，得到|4B|=2是周期，利用周期公式求

得3的值，再求用)的值.

【解答】

解：由题意知，T=\AB\=2,

所以三=2,解得3=今

所以f(x)=tan(M+")，

所以/(》=tang+合=tan]=q.

故选：A.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性的判断，正切函数的性质，属于中档题.

根据题意，其定义域为｛x|%HkTT+y,fcGZ),关于原点对称，又/(-X)+f(X)=O,即可判断

函数的奇偶性.

【解答】

解：vV1+tan2x>|tanx|>—tanx>

二其定义域为｛x|x力/ot+7,keZ］,关于原点对称，

令y=/(%)=lg(tanx+V1+tan2%),

又/x)+/(x)=lg(—tanx+V1+tan2x)+lg(tanx+V1+tan2x)=Igl=0,

•••/(%)为奇函数,

故选A.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数的图象，正切函数的图象，考查作图能力，是基础题.

直接作出函数y=sinx和y=tcmx在［0,2兀］上的图象，观察可得交点个数，即可.

【解答】

解：在同一坐标系内画y=5)％与旷=tan%在

［0,2兀］上的图象，

由图，结合周期性知函数y=sinx^ly=tanx的图象在［-4几,4兀］上共有9个交点,

故选A.

9.【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查了正切函数的图象与性质的相关知识，属于基础题.

逐个分析即可.

【解答】

解：令ku—%<kn+%解得/czr—^<x</CTT4-kEZ,

LSLoo

显然(-胡,§满足上述关系式，故A正确；

易知该函数的最小正周期为兀，故B正确；

令X+J=粤，解得X=萼一JkeZ,任取k值不能得到％=?故C错误；

正切函数曲线没有对称轴，因此函数丫=tan(x+9的图象也没有对称轴，故。错误.

故选AB.

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了正切函数，函数图象的作法和正切函数的图象与性质，属于中档题.

利用正切函数的周期对4进行判断，利用正切函数的值域，结合分段函数的值域，对B进行判断,

利用分段函数图象作法，结合正切函数的图象得函数/(x)的对称轴方程，对C进行判断，利用函数

门久)的性质得函数/(x)的单调递减区间，通过计算对。进行判断，从而得结论.

【解答】

解：对于4、因为函数/Q)=|tan《X-5|的周期为7=年=2”,因此A正确；

Zo2

对于8、因为函数y=tan(齐一3)的值域为R,

所以函数/(x)=|tan(；工一/的值域是［0,+8),因此B不正确；

对于C、由《X—J6Z),得x=2/OT+eZ),

L63

因此函数/(x)=|tan©xY)|的对称轴方程为x=2/OT+累kez),

而关于k的方程2"+尹竽(keZ)无解，

所以直线x=手不是函数/'(x)对称轴，因此C不正确；

对于0、由一！+人兀＜2%—/C7T（fc6Z）,

LLO

得一+2/CTT＜*＜，+1kit{kGZ），

因此函数/（x）的单调递减区间是（20-第2k兀+4（kez）,所以。正确.

故选AD.

11.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查了函数的周期，单调性，对称性，意在考查学生的对于函数知识的综合应用，属于一般

题型.

根据题意把函数'=81X化为丫=（：0底=滔=」一，作出函数图象，根据图像逐项分析，即可求

Jsinxtanx

解.

【解答】

解：余切函数丫=©。拄=J一，其图象如下图所示，

“ranv

对于4函数y=co枕的最小正周期为江，不是2%，即A错误；

对于B,y=cot=关于（九,0）对称，即B正确；

对于C,y=cotx在（0,兀）上单调递减，即C正确；

对于D,因为tan（%+1）=-cotxHcotx,

所以y=tcmx与y=cotx的图象并不关于％=］对称，即。错误.

故选BC.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题.

利用正切函数和正弦函数的定义域判断4利用周期函数判断B；利用函数的奇偶性的定义判断C；

利用正切函数和正弦函数的对称性判断。.

【解答】

解：4由tanx有意义，得f(x)的定义域为故A正确；

B.因为+2TT)=\tan(x+2TT)|+sin(x+2TT)

=|tanx|4-sinx=/(%),

所以/(%)是周期函数，易得最小正周期为2江，故8正确；

C因为/<(-%)=|tanx|—sinx,

所以/(%)不具有奇偶性，故。错误；

。.由正弦函数和正切函数的对称性可知/(%)具有轴对称性，

且对称轴是第=]+々兀，fcGZ,故。正确.

故选ABD.

13.【答案】[-tan1,tan1]

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的单调性与值域的问题，属于基础题.

根据xeR时一1<sinx<1,结合正切函数的单调性求出y=tan(s出x)的值域.

【解答】

解：X€/?时，-IWsinxWl,且函数y=在t€上是单调增函数，

・•・—tanl<tan(sinx)<tanl,

・•・y=tan(sinx)的值域为[Tani,tcml].

故答案为[-tanl,tan1].

14.【答案】0

【解析】

【分析】

根据正切函数的周期性即可得到结论.

本题主要考查函数值的计算，根据正切函数的周期性是解决本题的关键.

【解答】

解：正切函数/O)的周期7=5=2，

则/(。)=ta吟=1,/(I)=tan6+：)=-1,

则/(0)+/(1)=1-1=0,

则f(0)+f⑴+/(2)+…+/(2021)=1011[/(0)+/(I)]=0,

故答案为：0

15.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查了y=Atan(a>x+@)的图象性质，属于容易题.

由周期7=看得氏一加之今由此得解.

【解答】

解：函数/(%)=tan(2x+)

周期7=今

函数f(x)图象与直线y=2的交点横坐标为与，x2,

则比一外1岂今

则忱1-*21的最小值是,

故答案为今

16.【答案】③

【解析】

【分析】

本题考查了正切函数的定义域，奇偶性，对称性，单调性的运用.考查推理能力和计算能力，属

于中档题.

根据正切函数的图象及性质依次判断即可.

【解答】

解:因为/(%)=tm/—3x)=-tan(3x—^),3x—莹丰kn+gkEZ,

所以f(x)的定义域为{x|x片与+*keZ},故①错误；

因为f(x)的定义域不关于原点对称，显然不是奇函数，故②错误；

因为％=需时，/(X)无意义，所以函数“X)的图象关于点(|兀,0)对称，故③正确；

因为/(X)=tan(^-3x)=-tan(_3x

bo

令一3+k7l<VW+k7T,

ZOL

则可知f(x)的单调递减区间为白苫片+引kez,故④错误，

综上，正确命题的序号是③.

故答案为③.

17.【答案】解：=tanx,

因为xe[-盟,

所以te[―/~3,1].

所以函数化为y=/+2t,1],

对称轴为t=一1e[-\T3,1],

2

所以当t=-l时，ymln=l-2x1=-1,

当土=104,ymax=3,

所以y=tan2%+2tcmx的值域为[―1,3].

【解析】本题考查了正切函数的图象与性质，二次函数的性质，三角函数的值域，属于基础题.

=可得y=12+23再根据二次函数的图象与性质可得答案.

18.【答案】解：函数的自变量x应满足3%一号力卜兀+》kez,

即+*tez.

3IO

所以函数的定义域是{%|无二空+工,keZ}.

0lo

由于f(x)=tan(3x-^),

因此，函数的周期为7=*

由一今+k兀<3x—g<今+/ot,k&Z,解得一卷+”<x<居+”,fcGZ.

43乙1O31O3

因此，函数的单调递增区间是(—白+粤，驾+”)，kez.

【解析】本题考查正切型函数的图像与性质，属于基础题.

由3%—§0kn+?,kEZ求出定义域，由丁=卫求出周期，由-2+忆7r<3%—^<^+kn,kEZ

OL9(1)L5Lf

即可判断单调性.

19.【答案】解：⑴对于函数/。)=21即6-勺，它的最小正周期为冷=2兀，

4J2

由］—称Hk兀+］,求得久02/OT+筝可得它的定义域为{x|xH2/CTT+*k€Z}.

(2)/(x)>2,即tan(|一》21,故;+ZOT同冶<卜7r+*

求得2/OT+TWx<2"+罟故x的取值范围为［2/CTT+§,2/OT+警)，k&Z.

6363

【解析】(1)利用正切型函数的周期性、定义域，得出结论.

(2)不等式即tan《-921,再利用正切型函数的图象性质，求得》的取值范围.

本题主要考查正切型函数的周期性、定义域，正切型函数的图象性质，属于中档题.

①cos(27r-0)sin(37r+0)1

20.【答案】解:(1)若选:sin(^+0)tan(7r-0)2;

,.cos6(-sin0)sind八1

则m南硒=,=c0sO=E，

•••8为锐角，二。=宗

若选②2SE2。—cos。—1=0;

则2(1—cos20)—cos0—1=0,

得2cos2。+cos9-1=0,得(2cos。-l)(cos0+1)=0,

得cos。=g或cos。=-1,

•••o为锐角，:cose=

若选③鬻磊,sin(。一)必6+。)=*

则_：；：；(—cos8)(—si7iB)=cos20=

即cos。=±|>

•・,8为锐角，・•.cos。=。*

综上6=

(2)在(1)的条件下，。=今

则y=tan(2x+8)=tan(2x+1),

由+fc;r+^,

得》于写+各keZ.

即函数的定义域为{x|x。竽+"水€Z}.

周期丁=宏

由/CTT-]V2%+gV々7T+],kWZ,

得ZB〒kn一五54,kn.n

即函数的单调递增区间为(竽-瑞岑+号)，k&z.

无单调递减区间.

【解析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简即可.

（2）求出函数的解析式，结合正切函数的性质进行求解即可.

本题主要考查三角函数的恒等变换，结合三角函数的诱导公式进行化简，以及利用正切函数的性

质是解决本题的关键，是中档题.

21.【答案】解：y=tanax)=tan(—ax+》,

Vy=tanx在区间（/OT—（卜兀+今（keZ）上为增函数,

a<0.

又由x£(，")，得：(-詈，一等),

71_/7TQ7T7T5QTT、

.­.5-a%eQ--^-—),