广东省2021年春季高考数学模拟试卷14（含解析）

2021年广东春季高考数学模拟试卷(14)

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题(本大题共15小题，每小题6分，满分90分)

1.已知集合/={小2+3%一440},集合3={xwZ|-24x<4},则203=()

A.{-2,1,0,1}B.{-1,0,1,2,3}C.{0,1}D.{1}

【答案】A

【解析】

【分析】

先分别化简两集合，再求交集，即可得出结果.

【详解】

因为集合A-|x|x2+3x-4<0|=^x|-4<x<,

集合6={xeZ|-2Kx<4}={-2,-1,0,1,2,3},

所以Zc8={-2,—1,0,1}.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.

2.已知向量£=(2,3)，办=(3,2)，则|：一笳=O

A.V2B.2

C.5^2D.50

【答案】A

【解析】

【分析】

求出的坐标，再利用向量模的公式计算即可.

【详解】

由已知,«-6=(2,3)-(3,2)=(-1,1)，

所以|£_加='(7)2+12=五.

故选:A.

【点睛】

本题考查向量模的坐标运算，是基础题.

3.函数/'(x)=0上!■的定义域为()

2-x

A.[―1,2)D(2,+co)B.(—l,+oo)

C.[―1,2)D.[-l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可得出关于X的不等式组，由此可解得函数/(X)的定义域.

【详解】

Jx+1x+l>0

对于函数/(x)=有八，解得了2-1且xw2.

2-x2—xwO

因此，函数/(切=立±1的定义域为［-1,2)°(2,+8).

2—x

故选：A.

【点睛】

本题考查函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

23-1,工1

已知函数/(x)=<3+log]x,x>l，则/'(/(4))=()

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式求出/(4)的值，即可得/(4))=/(1),计算即可得答案.

【详解】

23r-l,x,1

解：根据题意，函数〃x)=<3+log|x,x〉「

则〃4)=3+1呜4=3-2=1

则/'(/(4))=/(1)=22-1=3.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题.

5.已知不等式ax?—Ax—120的解集是卜卜34x4-2},则不等式X。+6x+a>0的解集是()

A.(一丄或x>l}B.{x|x<-l或x>丄)

C.[卜<一2或%>3}D.{》上<一3或%>2}

【答案】B

【解析】

【分析】

先由已知不等式的解集求出4,b，再代入所求不等式求解，即可得出结果.

【详解】

2

因为不等式ax-bx-l>0的解集是｛x|-3<x<-2),

所以一3和-2是方程ax?--1=0的两根，

b..f,5

则"，解得I6.

——=-3x(-2)a=——

aV'I6

因止匕x?+6x+a>0即为x?+yx-y>0,即

66I6丿

解得X>丄或X<-I.

6

故选：B.

【点睛】

本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，考查解一元二次不等式，属于基础题型.

6.已知角a的终边经过点户(4,—3),则2sina+cosa的值等于()

2432

A.——B.-C.——D.-

5555

【答案】A

【解析】

【分析】

根据角a的终边过点尸(-4,3),利用任意角三角函数的定义，求出和cosa的值，然后求出

2sina+cosa的值.

【详解】

因为角a的终边过点尸(4,—3),=OP=5,

所以利用三角函数的定义，

、34

求得=--.cosa=—,

342

?.2sina+cosa=——x2+—=——,故选A.

555

【点睛】

本题主要考查三角函数的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.

7.计算(')5-(_2.5)°-(^-)3+(|)-2的结果为()

5125

A.-B.—C.—

2218

【答案】B

【解析】

【分析】

利用指数的运算法则以及零次基求解即可.

【详解】

1

----

2，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.

8.如果b是4和c的等比中项，则函数y=aF+bx+c的图像与x轴交点个数是()

A.0B.1C.2D.0或2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据b是。和c的等比中项，得至iJ/=ac，且ac〉O,然后表示出此二次函数的根的判别式，判断

出根的判别式的符号即可得到二次函数与x轴交点的个数.

【详解】

解：由6是。和c的等比中项，得到〃=ac，且ac>0，

令ax2+bx+c=O(a片0)

则△=/-4ac-ac-4ac=-3ac<0>

所以函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是0.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的性质，灵活运用根的判别式的符号判断二次函数与x轴的交点个数，属

于基础题.

9.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预

算20000元，设木工x(xNO)人，瓦工y(yiO)人，则关于工资xj满足的不等关系是()

A.5x+4j<200B.5x+Ay>200

C.5x+4y=200D.5x+4yW200

【答案】D

【解析】

【分析】

木工所付工资与瓦工所付工资的和小于现有工资预算.

【详解】

由题意，可得500x+400^420000,化简得5x+4y4200.

故答案为：D.

【点睛】

应用题答题的关键是审题，此题为简单题.

10.已知三条直线a,b,c满足：。与6平行，a与c异面,则6与c()

A.一定异面B.一定相交C.不可能平行D.不可能相交

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线的定义即可得出ABD错误，再利用反证法结合平行公理

即可得到6与C不可能平行.

【详解】

如图所示：

b与。可能异面，也可能相交，不可能平行.用反证法证明一定不平行，假设b//c,又a/〃，则a//c,

这与已知。与c异面矛盾，所以假设不成立，故b与c不可能平行.

故选：C.

【点睛】

熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线定义是解题的关键，考查学生的数形结合思想，属

于基础题.

22

11.两圆£:/+；?=16,C2:x+y+2x+2y-7=0,则两圆公切线条数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两圆的位置关系即可得解.

【详解】

两圆。1：炉+歹2=16,圆心G（0,0）,半径为4,

C]:X?++2x+2y-7-0,

其标准方程为（x+1）2+（y+1）2=9,圆心G（T，T），半径为3，

圆心距|C£|=近，|4一3|<应<|4+3],

即两圆相交，所以公切线恰有两条.

故选：B

【点睛】

此题考查两圆位置关系的判断，通过圆心距离与两圆半径的关系判定两圆位置关系，进而得出公切

线的条数.

12.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.

A.23与26B.31与26C.24与30D.26与30

【答案】B

【解析】

【分析】

根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案.

【详解】

根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为31,

又由中位数的定义，可得数据的中位数为26,

故选B.

a【点睛】

本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念

是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

-2

X,X<1,

已知函数/（X）=<则/(2020)=()

A.-1B.-2020C.1D.2020

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用分段函数及周期性求得/（2020）=/（0）-2020,再代入计算即得结果.

【详解】

函数/（x）=/；“<1，

则/（2020）=7（2019）-1=/（2018）-2=...=/（0）-2020=0-2020=-2020.

故选：B.

【点睛】

本题考查了分段函数求函数值，属于基础题.

14.在AZBC中，角Z，B,C所対的边分别为"，b,c,已知c2=3b，且

acsin6=sinC，则$“席=（）

A.—B.旦C.1D.J3

22

【答案】B

【解析】

【分析】

利用余弦定理可得C=二，再利用正弦定理的边角互化可得。6=2百，根据三角形的面积公式即

6

可求解.

【详解】

：.C=-,.-.sinc=-

62

QacsinB=26sinC，/.acb=2A/JC，

即ab=2也,

••S“BC=丄absinC=丄•2GsinC=V3x丄=.

2222

故选：B.

【点睛】

本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于

基础题.

15.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题

的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如

图所示的图形，点尸在半圆。上，且。尸丄N8,点C在直径上运动.设ZC=。，8C=b,则

由FC2。尸可以直接证明的不等式为()

A.(a>0,>0)B.a2+h2>2ab(a>0,b>0)

C.^-<4ab(a>0,b>0)D.若<戸/(a>0,6>0)

a+b

【答案】D

【解析】

【分析】

由4、6分别表示。尸、CF,再由尸C2。尸即可得解.

【详解】

不妨设点C在半径。8上运动.

由图形可知：。尸=丄48=色土2,。。=伫2.

222

在火厶0cp中，由勾股定理可得CE=

(a>0,b>Q).

故选：D.

【点睛】

本题考查了数学文化及基本不等式的证明，考查了运算求解能力，属于基础题.

二、填空题

3

16.已知aw(0,»),sintz=—,则tan(a—工)=

54

【答案】---或-7

7

【解析】

c…上则tana=±3,所以tana一工tana-1_

由已知得,y-或

54141+tana

.岂1

tana-1

4=—7.

1+tanaI-3

4

17.已知数列｛%｝的前项和S0=〃2-〃，则数列｛%｝的第4项是—

【答案】6

【解析】

【分析】

根据知与S“的关系，即可得答案；

【详解】

22

va4=S4-S3=(4-4)-(3-3)=6,

故答案为：6.

【点睛】

本题考查凡与S,的关系，属于基础题.

18.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现优质品的概率为丄，出现合格品的概

8

3

率为一，其余为次品.在该产品中任抽一件，则抽到的为次品的概率为

4

【答案】-

8

【解析】

【分析】

根据对立事件的概率公式求解即可.

【详解】

由题意，在该产品中任抽一件，“抽到次品”“抽到优质品和合格品”是对立事件，

131

・•・在该产品中任抽一件，“抽到次品”的概率为P=I-(§+^)=u.

故答案为：—.

8

【点睛】

本题考查了对立事件的概率公式，属于基础题.

19.已知实数满足方程(x—2)2+/=1,则2的取值范围是-

X

【答案】，坐，坐

33

【解析】

【分析】

设』=攵，数形结合以及点到直线的距离即可求解.

X

【详解】

（X—2）2-hy2=1,圆心为（2,0）,r=1,

设岁=左，y=kx9

x

当直线与圆相切时d=1,

_V|叵

/.k€

所以2的取值范围是

X一丁下,

故答案为:H当

【点睛】

本题考查了直线的斜率公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

三、解答题

20.在平面四边形488中，已知力8=8C=CO=1,AD=6

7T

（1）若Z.A--,求sinABDC；

6

⑵求VJcosA-cosC-

【答案】(1)(2)1.

2

【解析】

【分析】

(1)在△48。中，利用余弦定理求出3。，进而在△BCD中求出sinZ8OC；

⑵在△48。和ABCD中分别使用余弦定理表示8。，联立方程组可得出百cos/-cosC的值.

【详解】

(1)在△48。中，Z0=6，AB=\,ZA^-,

6

5£>2=1+3-2V3XCOS-=4-273x—=l.得BD=1，

62

所以8D=BC=CD=1,ZBDC=-,smUBDC=—；

32

⑵在△4SD中，由余弦定理得BO?=]+3—2jJcos/=4-26cos/，

在ABCD中，由余弦定理得BO?=]+I_2COSC=2-2COSC，4-273COS=2-2COSC.

得百cosN-cosC=1>所以Jicos/-cosC为定值1-

【点睛】

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合思想和计算能力，属于基础题.

21.如图，在四棱锥P-Z8C。中，底面48CQ为菱形，平面丄平面N8CD,PA=PD,

ABAD=60°.

(1)求证：ADLPB；

(2)若4D=2,三棱锥Z—的体积为1,求线段尸8的长度.

【答案】(1)见解析(2)V6

【解析】

【分析】

（1）取/〃中点M,连接PM,BM,证出PM丄4D，BM丄AD，再利用线面垂直的判定定理证出

丄平面进而证出力。丄P8.

（2）利用面面垂直的性质定理可得丄平面48CQ,再利用等体法：

嗫一9=県9的,|PM=I求出|尸加|=6,在R^PMB中,利用勾股定理即可求解・

【详解】

解：（1）取/。中点M,连接PM,BM,

■：PA=PD,：.PMA.AD.

•••四边形48C。是菱形，且NA4Z）=60。，

二△力8。是正三角形，J.丄NO,

又•.•PMDBA/="，；•力D丄平面尸M3.

又♦.・P8u平面PA"，.•.4D丄P8.

（2）•.•平面PZO丄平面力BCD,且交线为ND,

：加丄，•••尸”丄平面48C。.

在正三角形48。中，AD=29

：.SMBD=；x2x2xsin60O=G.

由题意可知，匕-