高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义 第二章 幂函数与二次函数

幕函数与二次函数

【最新考纲】1.通过实例，了解基函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,>=x3,丁=丄，y=/

X

的图象，了解它们的变化情况3理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、

方程、不等式之间的关系解决简单问题.

1.上函数

(1)基函数的定义

一般地，形如目^的函数称为基函数，其中x是自变量，a是常数.

(2)常见的五种幕函数的图象和性质比较

1

函数y=xy=x2y=x3y=/y=x~l

*书伞

图象JL

O\X

定义域RRR—0)

值域R—R△廿05

奇偶性査函数值函数査函数非奇非偶函数査函数

性在(-8,0]

在(一8,0)

质在R上单上单调递减；在R上单调在「0,+8)上单

单调性和(0,+8)

调递增在(0,十8)递增调递增

上单调递减

上单调递增

公共点(1.1)

2.二次函数的图象和性质

解析式危)=ax2+hx+c(a>0)j(x)=ax2+hx+c(a<0)

小

图象

a/

定义域RR

44c—b2.]|4ac-b2

值域----------,+001I8,

L4aJI4aJ

-oo.....-在xw〔一8'—此上单调递增；

在2aJ上单调递减；

单调性

~2a,+T上单调递增———,十°°"1

在在工£2aJ上单调递减

函数的图象关于直线'=一招称

对称性

【概念方法微思考】

1.二次函数的解析式有哪些常用形式？

提示(1)一般式：y=ax2+bx+c(a^0)；

(2)顶点式：y=a(x—m)2+〃(〃W0)；

(3)零点式：y=a(x-x\)(x-X2)(a0).

2.已知y(x)=ox2+bx+c(aW0),写出/(x)20恒成立的条件.

提示Q>0且/WO.

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)二次函数y=ax2+bx+c(“W0),x^[a,6]的最值一定是他^—―.(X)

4。

(2)在>=ax2+bx+cmW0)中，〃决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大

小.(丿)

丄

(3)函数歹=215是寻函数.(X)

(4)如果基函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(V)

(5)当〃<0时，幕函数y=x"是定义域上的减函数.(X)

题组二教材改编

2.已知基函数段)=人啲图象过点b¥1则A+a等于()

13

A•丄B.1C.-D.2

22

答案C

k=1,

解析由暴函数的定义，知'也

•**k=1*a=—.；・%+a=~~.

22

3.已知函数以)=7+4方在区间(一8,6)内单调递减，则a的取值范围是()

A.B.aW3

C.a<—3D.aW—3

答案D

解析函数_/(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x=-2a,由函数在区间

(-8,6)内单调递减可知，区间(-8,6)应在直线X=-2〃的左侧，

，一2Q26,解得aW—3,故选D.

题组三易错自纠

4.幕函数兀0=x"J°"23(°e%)为偶函数,且人均在区间(0,+8)上是减函数，则。等于()

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析因为层一]0〃+23=(a—5)2—2,

大苫)=公“-5)2-23e2)为偶函数，

且在区间(0,+8)上是减函数，

所以(a—5)2—2<0,从而“=4,5,6,

又仅一5>—2为偶数，所以只能是。=5,故选C.

5.己知函数y=2x2—6X+3,XG[-1,I],则y的最小值是.

答案一1

解析函数y=2%2—6x+3的图象的对称轴为x=|>l,...函数y=2x2—6x+3在[-1,1]上单

调递减，

••♦ymin=2—6+3=—1.

6.设二次函数;(x)=x2-x+“(a>0),若貝加)<0,则加H-1)0.(填“〉”或“=”)

答案>

解析")=X2—x+a图象的对称轴为直线x=J且沢1)>0,川)>0,而貝加)<0,

/./w—1<0,:.f[m—1)>0.

题型一募函数的图象和性质-------自主演练

1.若累函数的图象经过点P'3,则它的单调递增区间是()

A.(0,+8)B.[0,+8)

C.(—8,4-00)D.(—8,0)

答案D

解析设｛x)=K,则2。=丄，a=-2,即负x)=/2,它是偶函数，单调递增区间是(一8,

4

0).故选D.

2.若四个基函数歹=犬，y=xh,y=xc,>=/在同一坐标系中的图象如图所示，则。，b,c,

d的大小关系是()

A.d>c>b>a

B.a>h>c>d

C.d>c>a>b

D.a>h>d>c

答案B

解析由早函数的图象可知，在(0,1)上号函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知

a>b>c>d,故选B.

3.己知幕函数兀0=(〃2+2〃-2)x"2T”(〃ez)的图象关于y轴对称，且在(0,+8)上是减函

数，则〃的值为()

A.-3B.1C.2D.1或2

答案B

解析由于/(x)为嘉函数，所以居+2〃-2=1,解得〃=1或"=-3,经检验只有〃=1符合

题意，故选B.

4.(2018•潍坊模拟)若(a+1)5<(3-2a)"则实数a的取值范围是.

答案(一8,-i)ub'3

解析不等式(a+1)3<(3—2a)等价于〃+1>3—2。>0或3—2a〈a+1<0或a+1<0<3—

2a,解得1或1<4弓

思维升华(1)幕函数的形式是y=x«(aeR),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可

确定其解析式.

⑵在区间(0,1)上，寐函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间

(1,+8)上，幕函数中指数越大，函数图象越远离X轴.

(3)在比较赛值的大小时，必须结合瓶值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，

准确掌握各个幕函数的图象和性质是解题的关键.

题型二求二次函数的解析式-------师生共研

例1(1)已知二次函数｛x)=x2—bx+c满足貝0)=3,对VxCR,都有貝l+x)=/(l-x)成立,

则兀0的解析式为.

答案X%)=x2—2x+3

解析由負0)=3,得c=3,

又<l+x)=/(l—x),

函数人X)的图象关于直线X=1对称，

1,:.b=2,

2

—x2—2x+3.

⑵已知二次函数外)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(一2,0)且有最小值一1,则貝x)=

答案x2+2x

解析设函数的解析式为_/(x)=“x(;v+2)(a#0),

4aX0-4a2

所以兀r)=”无2+2办,1,

得a=l,所以/)=/+2》.

思维升华求二次函数解析式的方法

跟踪训练1(1)已知二次函数/(x)=a/+6x+13，bGR,aWO),x£R,若函数/(x)的最小

值为沢-1)=0，则40=.

答案x2+2x+l

解析设函数7(x)的解析式为/(x)=a(x+l)2—ax2+2ax+a(a^0),

又貝x)=ax2+Z>x+1,所以a=l,

故7(x)=x2+2x+1.

(2)已知二次函数次x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意xGR,

都有人2—x)=/(2+x),则火刈=.

答案x2-4x+3

解析因为/(2-x)=/(2+x)对任意xGR恒成立，所以貝x)图象的对称轴为直线x=2.又因为

/(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以貝》)=0的两根为1和3.设兀0的解析式为寅x)=a(x

-l)(x-3)(a^0),又/(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,即a=l,所以/(x)的解析式为/(x)

—(x—l)(x—3),即Hx)=x2_4r+3.

题型三二次函数的图象和性质

命题点1二次函数的图象

例2(2018・重庆五中模拟)一次函数夕=奴+6(。=0)与二次函数、=収2+以+<?在同一■坐标

系中的图象大致是()

答案C

解析若”>0,则一次函数y=ax+/>为增函数，二次函数y=ox2+bx+c的图象开口向上，

故可排除A；若a<0,一次函数〉="+6为减函数，二次函数y=ar2+bx+c的图象开口向

下，故可排除D；对于选项B,看直线可知。>0,b>0,从而一(Y0,而二次函数的对称轴

在y轴的右侧，故应排除B,选C

命题点2二次函数的单调性

例3函数Hx)="2+(a—3)x+l在区间[-1,+8)上是递减的，则实数。的取值范围是

()

A.[-3,0)B.(一8,-3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

答案D

解析当a=0时，外)=-3x+l在［―1,+8)上单调递减，满足题意.

当“W0时，/(x)的对称轴为X=^-,

2a

p<0,

由Hx)在［―1,+8)上单调递减，知上-"..］

I2a、'

解得一3Wa<0.综上，。的取值范围为［-3,0］.

引申探究

若函数人工)=#+(4—3)x+l的单调减区间是［-1,+<»),则。=.

答案一3

解析由题意知貝x)必为二次函数且a<0,

命题点3二次函数的最值

例4已知函数人幻=収2+2公+1在区间上有最大值4,求实数a的值.

解fix)—a{x-\-1)2+1-a.

(1)当a=0时，函数段)在区间［-1,2］上的值为常数1,不符合题意，舍去；

⑵当a>0时，函数/(x)在区间［-1,2］上是增函数，最大值为负2)=8a+l=4,解得。=?；

(3)当"0时，函数;(x)在区间［-1,2］上是减函数，最大值为4-1)=1一。=4,解得。=一3.

综上可知，。的值为3或-3.

8

引申探究

将本例改为：求函数«r)=x2+2ax+l在区间|-1,2］上的最大值.

解y(x)=(x+a)2+1—~a2,

・\/(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=-a.

(1)当一。苫即。>一；时，貝X)max=/(2)=4Q+5,

(2)当一即aW—3时，1/(x)max=X—1)=2—2a,

4a+5,

综上，«X)max='

2-2a,

命题点4二次函数中的恒成立问题

例5(1)已知二次函数«r)满足貝x+l)-/(x)=2x,且{0)=1,若不等式./(x)>2x+m在区间［一

1,1］上恒成立，则实数机的取值范围为.

答案(-8,-1)

解析设貝x)=ax2+bx+c(ar0),由负0)=1,得c=l,又貝》+1)—危)=2%,得2ax+a+b

=2x,所以a=l,b=—\,所以貝x)=N—》+1«0>2工+"7在区间［-1,1］上恒成立，即x2一

M5

3x+1—加>0在［―1,1］上怛成立，令g(x)=x2—3x+1—用=1”2—1一m，XE.［―1,1］,g(x)

在［-1,1］上单调递减，所以g(x)min—g(1)=1—3+1—W>0,所以m<—\.

⑵函数兀0=0+3^—2(公>1),若在区间［-L1］上｛x)<8恒成立，则〃的最大值为.

答案2

n-

解析令ax=t,因为a>\,xe［—1,1］,所以丄原函数化为g(Z)=/2+3/—2,_a

a

1"

显然g⑺在L?”」上单调递增，所以外方8恒成立，即8(。^=以。方8恒成立，所以有序

+3。-2W8,解得一5WaW2,又。>1,所以。的最大值为2.

思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：

(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草

图)，再"定量"(看图求解).

(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值

域.

跟踪训练2(1)函数y=x2+bx+c(xd［(),+8))是单调函数的充要条件是()

A.后0B.6W0

C.b>0D.b<0

答案A

解析••・函数y=x2+6x+c(xC［0,+8))是单调函数，图象的对称轴x=一，在区间［0,

+8)的左边或•——=0,即一eW0,得bNO.

22

(2)已知函数J(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为［1,+°°),则。的值为.

答案一1或3

解析由于函数/(x)的值域为［1,+°°),

所以/(x)min=1.又於)=(%—a)2—〃2+2a+4,

当x£R时，，危)min=/(〃)=一〃2+2〃+4=1,

即a2—2a—3=0,解得a=3或a=—\.

(3)设函数〃)=以2-2%+2,对于满足1令<4的一切x值都有外)>0,则实数。的取值范围

为.

+

答案(2)0°)

解析由题意得。^一三对l<x<4恒成立，

又2—3=—3+丄，1厶1,

xx224x

_i,1

♦•心MX2lJmax—~,••<?>-.

22

数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用

研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对

图象的影响，进行分类讨论.

例设函数y(x)=x2—2x+2,xG[/,/+1],/ER,求函数y(x)的最小值.

解Xx)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x^[t,r+1],/GR,函数图象的对称轴为x=l.

当r+lWl,即/WO时，函数图象如图(1)所示，函数｛x)在区间[/,/+1]上为减函数，

所以最小值为/(r+l)=z2+l；

当即0<f〈l时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x=l处取得最小值，最小值为

当时，函数图象如图(3)所示，函数y(x)在区间上，f+i]上为增函数，所以最小值为沢。

=«—2/+2.

卩+1,W0,

综上可知，/(X)min=T,0W,

产-2f+2,f-l.

1.基函数y=Xx)经过点(3,爾)，则人》)是()

A.偶函数，且在(0,+8)上是增函数

B.偶函数，且在(0,+8)上是减函数

C.奇函数，且在(0,+8)上是减函数

D.非奇非偶函数，且在(0,+8)上是增函数

答案D

解析设嘉函数的解析式为尸巴将(3,锡代入解析式得3"=总解得ag,.口=/,

故选D.

2.幕函数夕=//一*"(/«62)的图象如图所示，则〃，的值为()

A.0B.1

C.2D.3

答案c

解析..》=£/一而'(加GZ)的图象与坐标轴没有交点，

/./M2—4w?<0,即0</w<4.

又・・•函数的图象关于y轴对称且m£Z,

Aw2—4/7?为偶数,.\m=2.

3.若幕函数外)=(加2—4机+4>/"6"，+8在(0,+8)上为增函数，则〃?的值为()

A.1或3B.1

C.3D.2

答案B

解析由题意得川2—4加+4=1,加2—6相+8>0,

解得m=\.

4.已知函数/(公=。/+X+5的图象在r轴上方，则。的取值范围是()

［，丄］『-8,—丄］

A.l20jB.l20j

6+TD.昌q

答案C

解析由题意知卜"即产得J.

U<0,ll-20a<0,20

5.已知a,b,cGR,函数/(x)=ax2+/>x+c.若｛0)=貝4)刁(1),贝！|()

A.a>0,4a+b—0B.a〈0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+h=0

答案A

解析由式0)=<4),得y?MnaN+fer+c图象的对称轴为x=-=2,：.4a+b=0,又

2a

,/(0)>/(1),,/(4)>/(1),二小)先减后增，于是”>0,故选A.

6.已知函数.七:)=一/+2办+1-a,xC［0,1］有最大值2,则。等于()

A.2B.0

C.0或一1D.2或一1

答案D

解析函数人》)=~~x2+2ax+1—•4=—"(x—〃)2+/—•“+］,其图象的对称轴方程为x=〃.当

a<0时，义x)max=H0)=l—。，所以1—a=2,所以a=—1；当OWaWl时，沢》)™«/。)：/

—a+1,所以02—a+l=2,所以“2—a—1=0,所以舍去)；当&>1时，y(x)max=

/(l)=a,所以a=2.综上可知，a=—1或a=2.

丄

7.已知y(x)=x2,g(x)=/，h(x)=x^2,当O〈x〈l时，J(x),g(x),九⑴的大小关系是

答案/?(x)>g(x)>/(x)

解析分别作出/(X),g(x),〃(x)的图象如图所示，

可知厶(x)>g(x)次X).

8.已知二次函数y=/(x)的顶点坐标为1―5'49］,且方程次x)=O的两个实根之差的绝对值

等于7,则此二次函数的解析式是.

答案/x)=-4x2-12x+40

解析设兀0=°1+孑2+49(°#0),

方程“1+3+49=0的两个实根分别为处，X2,

则,一刼=2=7,

所以〃=—4,所以/(x)=—4%2—12%+40.

9.己知函数貝x)=f一(a—l)x+5在区间1上为增函数，那么大2)的取值范围是

答案［7,+8)

解析函数｛x)=x2-(a-l)x+5在区间1)上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，

所以其对称轴x=0或与直线x=l重合或位于直线x=』的左侧，即应有0W1，解得

22222

aW2,所以｛2)=4—(〃-l)X2+527,即(2)》7.

10.设函数—)=一2/+4》在区间阿，网上的值域是［-6,2］,则加+“的取值范围是

答案［0,4］

解析令/(%)=-6,得x=-1或x=3；令人x)=2,得x=l.又人工)在［-1,1］上单调递增，在

［1,3］上单调递减，・•・当加=-1,〃=1时，加+〃取得最小值0；

当加=1,〃=3时，加+〃取得最大值4.

11.(2018•河南南阳一中月考)已知函数危)=/+校一1,若对于任意［加，加+1］,都有

Ax)<0成立，则实数m的取值范围是.

答案I2J

解析因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足

f(m}=m2+m2—l<0,

/(机+1)=(机+l)2+w(w+1)—1<0,

解得一*々加<0.

2

12.已知函数/(%)=/+(26(-l)x—3.

(1)当a=2,xG[-2,3]时,求函数危)的值域;

(2)若函数.火x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.

解(1)当。=2时，大》)=r+3工一3,xG[-2,3],

函数图象的对称轴为苫=一|^[一2,3],

•••/(X)min=1力=*—>3=-g,

424

7(X)max=A3)=15,

一——21Is

.../(X)的值域为14'.

(2)函数图象的对称轴为直线》=一当1.

①当一(lwi,即。》一：时，大冲3=/(3)=60+3,

/.6a+3=1,即。=—丄，满足题意；

②当一次二1>1,即"一」时，

22

./(X)max=/(-1)=_2a—1,

/.—2a—1=1,即〃=—19满足题意.

综上可知，4=一丄或一1.