2023年数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2212

1.S]=]%2公邑=，一办,S3=，'念若，则S1,S2,S3的大小关系为（）

11XI

A.S1<S2<S3B.S2Vsi〈S3C.S2Vs3VsiD.S3Vs2Vsi

2.已知%mwN*,n>m9下面哪一个等式是恒成立的（）

rtI77J

A.C：*B.A：=-一-

C.+D.+

3.第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接

待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为（）

A.540B.300C.180D.150

4.将函数/（无）=cos华（2sinW-26cos?]+6（°>0）的图象向左平移占个单位，得到函数y=g（x）的

2I2273co

jr

图象，若y=g（x）在0,—上为增函数，则①的最大值为（）

A.2B.4C.6D.8

5.若关于％的不等式2f+〃—lnx<（）有解，则实数。的取值范围是（）

A.-co,-In2—-oo,ln2--

2

C.(-In2一;,0

22

6.已知双曲线»叱。,…），M,N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线加,

PN的斜率分别为4,女2亿/2^0），若MI+|《|的最小值为2,则双曲线的离心率为（）

A.V22

V2

7.若函数（知NO'公

f(x)=+Zx>a

A-[0,2)B.[02]0[_3Q]D.R,+8)

8.已知具有线性相关关系的两个变量x,y的一组数据如下表：

X24568

y2040607080

根据上表，利用最小二乘法得到)'关于x的线性回归方程为9=10.5x+a,则。的值为()

A.1B.1.5D.2.5

9.已知下表所示数据的回归直线方程为y=4x-4,则实数。的值为

X23456

y3711a21

A.16B.18

C.20D.22

2x+3

10.已知函数/(x+2)=-则曲线y=/(x)在点(1J⑴)处切线的斜率为()

x+2

A.1B.-1C.2D.-2

22

11.用数学归纳法证明『+22++(n-l)+n2+(rt-l)+22+12=，2g+l)时,由〃=攵时的假设到证明

〃=左+1时，等式左边应添加的式子是()

A.(k+X^+lk1B.(k+l^+k2

1|--|

C.(A+1)D.-(Z+1)2(Z+1)~+1

3L-

12.已知平面a与平面”相交，。是a内的一条直线，则()

A.在“内必存在与a平行的直线B.在“内必存在与a垂直的直线

C.在£内必不存在与a平行的直线D.在£内不一定存在与a垂直的直线

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只，设抽取次品数为自，则石(5彳+1)=

14.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种

数共有;(用数字作答)

15.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型弟一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的

概率为.

16.-3的平方根是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABC。为正方形，PAl^ABCD,且Q4=/W=2,E为PD

中点.

(1)证明：QB//平面AEC;

(2)证明：平面PC。，平面

(3)求二面角七一AC—。的余弦值.

18.(12分)在极坐标系中，O为极点，氤M(p。,4)8°>0)在曲线C:夕=4sin夕上，直线/过点A(4,0)且与OM

垂直，垂足为P.

jr

(1)当时，求4及/的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且尸在线段上时，求尸点轨迹的极坐标方程.

19.(12分)如图，在平面直角坐标系二二二中，以二二轴为始边作两个锐角二二它们的终边分别与单位圆相

交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别沏二可.

JJW

(1)求上二-二的值；(2)求二+二的值.

20.（12分）已知函数/@）=f+（2，-1）尤+1—2"

(I)若函数/(x)在区间(TO)和(0,；)上各有一个零点，求，的取值范围;

(D)若/(x)>0在区间［0,2］上恒成立，求/的取值范围.

2sI2

21.(12分)设数列｛%｝的前〃项和S,.已知4=1,j=a,用一一〃2一〃—一

〃33

(1)求数列｛4｝的通项公式；

11151

(2)是否对一切正整数〃，<-+—+•■•+—<-----7?说明理由.

qa2an3n+\

lrr11

10.1--

分)已知矩阵八，矩阵的逆矩阵一|=

22.(104=[。2c」382I].

(1)求矩阵A的特征值及矩阵5.

(2)若先对曲线x+y=l实施矩阵A对应的变换，再作矩阵5对应的变换，试用一个矩阵来表示这两次变换，并求

变换后的结果.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

1272

32

SXX=<S刃=e

2=1In3-13-3=1

考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.

2、B

【解析】

利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.

【详解】

"I

由组合数的定义可知G：=/,A选项错误；

由排列数的定义可知4"=正痴，B选项正确;

由组合数的性质可知c：+C：“=C；：；,则C、D选项均错误.故选B.

【点睛】

本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.

3、D

【解析】

分析：将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，分别计算分为两类情况的分组的种数，再分配到三个不同的

展馆，即可得到结果.

详解：将5人分成满足题意的3组有11,3与2,2,1两种，

分成1,1,3时，有•用种分法;

分成2,2,1时,有•A；种分法,

共有c；.闻+宰；

由分类计数原理得,=150种不同的分法，故选D.

点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及

排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中

要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合“，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗

漏，这样才能提高准确率.在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式.

4、C

【解析】

r.①xr0COX

/(X)=C0S-y2sin------2。3cos—+G=sincox-^3(1+coscox)+^3=2sin(5-?),

22

向左平移士个单位，得到函数y=g(x通图象，所以g(x)=2sin(旗x+$—§=2sing,因为XG06,

所以。xe[0，N]u[—!，《],，3<?，二。46,即①的最大值为6,选C.

1222122

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练

ITTT

掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母X而言.由-e+ZEWtyx+oWa+Z也仅eZ)求增区间;由

兀3兀

—F2左兀<cox+°<--F2kn(kGZ)求减区间.

22

5、A

【解析】

先将不等式转化为a<Inx-2/,然后构造函数/(x)=lnx-2Y,只要“小于f(x)的最大值即可

【详解】

[1J2

解：由ZY+a—lnxcO，得avln九一2f,令/(X)=111工一2/(元>0),则/(工)=——4x=..-(x>0)

xx

当0<x<g时，/(x)>0；当x>g时，/(x)<0

所以/(x)在(0,1)上单调递增，在d,+8)上单调递减

22

所以当x=g时，Ax)取最大值/(g)=lng—2x；=—ln2—g,

所以a<-ln2--

2

故选：A

【点睛】

此题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题

6、A

【解析】

先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用I勺1+1勺1的最小值为2,即可求得双

曲线的离心率.

【详解】

由题意，可设点M(p,q),N(-p,-q),P(sJ).

.P2q2l日r产

a-b~ab

22il

两式相减得

s-pa

再由斜率公式得：他=生工=4.

S_PCT

R,l+k2|...—

根据IKI+1%"的最小值为2,可知竺=2,

a

所以a=b.所以0=及4

e―――V2,

a

故选：A

【点睛】

本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关

键.

7、A

【解析】

先作:.的图象与直线，+2的图象在同一直角坐标系中的位置图象，再结合函数与方程的综合应用即可得

解.

【详解】

设侬=”❾

则：在为增函数，在.。为减函数，

则.「=的图象与直线=.、.的图象在同一直角坐标系中的位置如图所示,

由图可知，当；,有三个零点，则c的取值范围为：。

【点睛】

本题考查了作图能力及函数与方程的综合应用，属于中档题.

8、B

【解析】

回归直线经过样本中心点(x,y).

【详解】

样本中心点为（5,54）,因为回归直线经过样本中心点，所以54=10.5x5+。，。=1.5.

故选B.

【点睛】

本题考查回归直线的性质.

9、B

【解析】

1=4,代入回归直线方程得了=12,所以12=（（3+7+11+根+21）,则。=18,故选择B.

10>A

【解析】

将x+2看做整体，求得/（x）的解析式，进而求其导数，由导数的几何意义，计算可得所求切线的斜率.

【详解】

解：函数/（x+2）=今

,、2（x+2）-l

即为/（x+2）=七"一，

则/⑺=2」,

X

导数为广（力=?，

可得曲线y=“X）在点（1,/（1））处切线的斜率为1.

故选：A.

【点睛】

本题考查/（X）的解析式求法，考查导数的几何意义，考查运算能力，属于基础题.

11、B

【解析】

22

因为当〃=攵时，等式的左边是F+2?+仅—1）2+公+（左_1）2++2+1,所以当〃=攵+1时，等式的左边是

2222

1+2+仅一行+-+化+厅+女2+仅_[）2++2+1,多增加了仅+1）2+左2,应选答案B.

点睛：解答本题的关键是搞清楚当〃=%时，等式的左边的结构形式，当〃=左+1时，等式的左边的结构形式是

22

1+2.+（%—1『+公+（火+1）2+/+（左_[?++22+12f最终确定添加的项是什么，使得问题获解.

12、B

【解析】

分析：由题意可得，。是a内的一条直线，则a可能与平面a和平面夕的交线相交，也有可能不相交，然后进行判断

详解：在A中，当。与平面a和平面方的交线相交时，在内不存在与。平行的直线，故错误

在8中，平面a和平面/相交，”是£内一条直线，由线面垂直的性质定理得在月内必存在与“垂直的直线，故正

确

在C中，当。与平面。和平面一的交线平行时，在户内存在与。平行的直线，故错误

在。中，由线面垂直的性质定理得在夕内必存在与a垂直的直线，故错误

故选B

点睛：本题主要考查的是空间中直线与平面之间的位置关系、直线与直线的位置关系，需要进行分类讨论，将可能出

现的情况列举出来，取特例来判断语句的正确性

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

【解析】

抽取次品数J满足超几何分布：〃管=左）=3舆

,故

八、C；C：322“八C\Cl12"小C；C\1甘切白

M4=°）=~^=行，2（4=1）=^^=天，P（J=2）=-^=行，其期望

77I?1O

E（^）=Ox—+lx-+2x-=-,故£（5J+l）=5xE《）+l=3.

J。。J。JJ

14、24

【解析】

甲、乙排在一起，用捆绑法，先排甲、乙、戊，有2种排法，丙、丁不排在一起，用插空法，有A；种排法，所以

共有2A；2；=24种.

考点：排列组合公式.

407

15、---

500

【解析】

首先根据好评率求获得好评的电影部数，再求总的电影部数，最后求比值.

【详解】

获得好评的电影部数:

140x0.4+50x0.2+300x0.15+200x0.25+800x0.2+510x0.1=372

372407

共有200()部电影，所以没有获得好评的电影概率为：1-=

2000500

故答案为：嘤407

500

【点睛】

本题考查用统计的知识解决实际问题，意在考查分析数据，应用数据的能力，属于基础题型.

16、±V3z

【解析】

根据(±八)2=-3得解.

【详解】

由(±四『=-3得解.

【点睛】

本题考查虚数的概念，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)见解析；(3)叵

3

【解析】

(1)连接BD与AC交于点0,连接E0,证明E0〃PB,由线线平行证明线面平行即可；(2)通过证明CD_L平面PAD来

证明平面PC。，平面P4O；(3)以A为坐标原点，4),”所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，通过空间向量的方法求二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：连结BD交AC于点0,连结E0.

为BD中点，E为PD中点，

.*.E0//PB.

•；EOu平面AEC,PB(Z平面AEC,

二PB〃平面AEC.

p

(2)证明：PA_L平面ABCD.CDu平面ABCD,

:.PA1CD.

又•.•在正方形ABCD中CD_LAO且Q4cAT>=A,

，CDJ_平面PAD.

又CDu平面PCD,

:.平面PCD_L平面PAD.

(3)如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y,z轴建立空间直角坐标系.

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),

D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).

：PA，平面ABCD,...AP是平面ABCD的法向量，AP=（0,0,2）.

UUUl

设平面AEC的法向量为〃=(x,y,z),AE=(0,0/)，AC=(2,2,0),

n-AE=Q0+y+z=0z=-y

则，即

n-AC=02x+2y+0=0x=_y

.••令y=T,则〃=(n).

也

1,、/卜斗W2x03，

二面角E—AC—。的余弦值为

3

【点睛】

本题考查线面平行，面面垂直的判定定理，考查用空间向量求二面角，也考查了学生的空间想象能力和计算能力，属

于中档题.

18、(1)20=2底，的极坐标方程为夕sin(e+?)=2；(2)p=4cos6>(^<6»<y)

【解析】

7T

(1)先由题意，将代入夕=4s由。即可求出。°；根据题意求出直线/的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可;

(2)先由题意得到尸点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.

【详解】

(1)因为点M(/?o0)g>0)在曲线C:p=4sin(9上，

所以夕o=4sin%=4sin]=23；

即”(2月’三)，所以3w=tan鼻=6,

因为直线/过点A(4,0)且与OM垂直，

所以直线/的直角坐标方程为y=—*(x—4),即x+百y—4=0；

因此，其极坐标方程为cos6+百osin。=4,即/的极坐标方程为psin(6+工)=2；

6

(2)设尸(乂丁)，贝!|心户=2,&“=」一,

xx-4

2

由题意，OP_LAP,所以4。户扁户=一1，故/一=一1，整理得尤2+y2-4x=0,

x-4x

因为尸在线段0M上，M在C上运动，所以0«xK2,0«yW2,

所以，P点轨迹的极坐标方程为02—4「COS6=O,即2=4cos6(匹W64工).

42

【点睛】

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.

19、⑴。（2）二♦二=:.

【解析】（1）先运用三角函数定义与同角三角函数之间的关系求得两个锐角二二的正切，再代入求:二二-二的值;

（2）先求:二二-二的值，再借助对应关系求解.

⑴由条件得皿二=与"二=攀，因为角二二是锐角,所以加二

=十,smZ=tan二=：,tanZ=贝II

/一口&二一UK：J

:g-」一；——

（2）因为+角二二是锐角，所以。（二+二—+□=与

2。、呢哥*,；）.

【解析】

（1）根据二次函数图象以及零点存在定理列不等式，解得/的取值范围，（2）根据对称轴与定义区间位置关系分类讨论

满足题意的条件，解不等式得，的取值范围.

【详解】

（I）因为函数“X）在区间（一1,0）和（0,）上各有一个零点，

/（-l）=l-2/+l+l-2r>0

所以有./（0）=l—2「<0解得

/[-|=-+/--+1-2/>0

⑶42

所以/的取值范围为：

（H）要使/（x）>0在区间[0,2]上恒成立，需满足

lsZ£<o[o<^^<2[IzZ

->2

<2或<2或<2

/（0）=l-2r>0[△=（2/-1）2-4（1一2。<0[〃2）=4+4-4+1-2Z>0

3131

解得：无解或一]<，<—或无解所以—

2222

所以/的取值范围为:1I』

【点睛】

研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论；研究二次方程在定义区间有解，一

般从开口方向，对称轴位置，判别式正负，以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑.

,11151

21、(1)(2)对一切正整数〃'有*+[+…+一Q

【解析】

(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求;

11151

(2)对一切正整数n,有一+—+•­-+-<------

«,%an3〃+1

111111、

考虑当晨3时，工=/<门=5(z不r=T)，再由裂项相消求和，即可得证。

【详解】

2S122

(1)-n-n-~

[2〃(〃+l)(〃+2)

2S”=几az——n~—n=na]

n〃十]33ZJTI

3

当〃22时，2sl=(〃—1)4-

3

两式做差得2a”=2sli-2s,i=«an+I-(«-1)«„-«(n+l)

-=:.-=l+n-1=n

77+1nn

2

an=n(n>2),当〃=1时，上式显然成立，，。

1111/11、

⑵证明：当心3时，称

可得

111-11/1111

-----1-------F...H------=1H------1—(---------1------------F+--------------4-)由

4Wan422435n-2nn-1n+132n〃+1

1

>0

2n〃+1〃+12nn+12"(几+1)

可〜得；1(,一1+--1--)、>--1--

2nn+1〃+1

“51/11、51

即有---（—I-----）<--------

32〃n+\3n+1

则当〃23时，不等式成立。

11151

检验〃=1,2时，不等式也成立，综上对一切正整数n,有一+—+-+—<£------

4a2an3n+i

【点睛】

本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键.

1-11

22、（1）矩阵A的特征值为1,2；B=021；（2）C=1°八K°，x=l

【解析】

（1）通过特征多项式即可得到特征值，利用8BT=/，可计算出矩阵8;

（2）首先可计算出。=84的结果，然后设出（升,%）,变换后的点设成（x,y）,