2023届高考二轮总复习试题（适用于新高考新教材）数学（一）送分考点专项练2-复数平面向量

2.复数、平面向量

一、单项选择题

1.(2022•广东梅州二模)复数z满足(1-Ki)z=|2i|,i为虚数单位，则复数z的虚部为()

C-TD-T

2.(2022・全国乙・理2)已知z=l-2i,且z+4+b=0,其中a,b为实数，则()

A.〃=l,Z?=-2

B.a=-l,b=2

C.〃=l/=2

D.q=-l,6=-2

3.(2022・河北石家庄一模)若复数z=(l+2i)(a-i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数。的取值范

围是()

A.(1,2)

B(20

C.&2)

D.(-8,-2)ue,+刃)

4.(2022•新高考〃,4)已知向量a=(3,4),b=(l,0),c=a+/b,若va,c>=<b,c>,则实数/=()

A.-6B.-5

C.5D.6

5.(2022•山东枣庄一模)设zi,Z2是方程/+工+1=0在复数范围内的两个不同解，则()

A.|ZI-Z2|=V2B.|ZI|=V2

C.Z1+Z2=1D.ZIZ2=1

6.(2022•新高考/-3)在AABC中，点。在边A8上,8。=2。4记戸=m,而=n,则而=()

A.3m-2nB.-2m+3n

C.3m+2nD.2m+3n

7.(2022•福建漳州二模)复数z满足|z-(5+5i)|=2,则z在复平面内对应的点所在的象限为()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

8.(2022•北京40)在AABC中,AC=3,8C=4,/C=90°.尸为AABC所在平面内的动点，且PC=1测m•

丽的取值范围是0

A.|-5,3]B.|-3,5]

C.[-6,4]D.[-4,6]

二、多项选择题

9.（2022•广东广州三模）已知向量a=（3,-l）,b=（l,・2）,则下列结论中正确的是0

A.ab=5B.|a-b|=V5

TT

C.<a,b>=7D.a〃b

10.（2022•山东滨州二模）欧拉公式eu=cosx+isinx（e为自然对数的底数,i为虚数单位）是由瑞士著名数

学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉

为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列结论中正确的是0

A.复数e写为纯虚数

B.复数十在复平面内对应的点位于第二象限

C.复数e号的共轨复数为空-扌

D.复数e"'（0GR）在复平面内对应的点的轨迹是圆

11.已知正八边形ABCDEFGH,其中04=2,则（）

A.V20B+0E+OG^O

B.0A-OD=-2V2

C.丽+繭=4

D.|丽+丽=4+2或

12.（2022•广东三模）“圆幕定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论,其中一个是相

交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆。的半径为21是圆。

内的定点，且OP=V5，弦AC,B£>均过点P,则下列说法中正确的是0

A.（OD+OB）DB=0

B.西•庁为定值

C.OA-庁的取值范围是[-2,0]

D.当AC丄8。时，万•丽为定值

三、填空题

13.写出一个同时满足下列条件的复数z=.

①|z|=5

②复数z在复平面内对应的点在第四象限

14.（2022・全国甲•理13）设向量a.b的夹角的余弦值为奈且|a|=l,|b|=3,则（2a+b>b=.

15.（2022•山东济宁三模）在边长为4的等边三角形ABC中,已知而=|福点户在线段CZX上，且

AP=inAC+^AB,^\\AP\^.

16.（2022.天津滨海模拟）在北京冬奥会开幕式上,贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象

征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了

全世界(如图1),顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形A8COER如图2).已知正六边形的边长为

1,点M满足宿=区费+而)，则I宿匚;若尸是线段EC上的动点(包括端点)，则方•价的最小值是.

图1

图2

2.复数'平面向量

1.D解析因为(l-gi)z=|2i|,所以(l-VIi)z=2,所以z=$=【禦=1+鼻，所以复数z的虚

1-V31(1-V3I)(14-V3I)22

部为苧

2.A解析:z=1-2i,/.z=1+2i,・'・Z+Q5+8=1-2i+〃(1+2i)+/?=a+b+1+(2a-2)i=0,

.•.F+?=6解得R=1；故选A.

(2a-2=0,3=-2.

3.B解析由题得z=(l+2i)(a-i)=a+2+(2a-l)i在复平面内对应的点(a+2,2〃・l)在第四象限，

所以懈得-2<a<|

(.za-1<0,2

4.C解析由题意得c=(3+r,4),cos〈a,c>=cos<b,c>,故史芒等=乎二解得，=5.故选C.

|C|X5|c|xl

5.D解析由方程/+x+l=0,得/=1-4=-3<0,由求根公式得这等=色咨，

丁仁、儿1V3.1\[3.

不妨取Z|=--+—l,Z2=-2^-L

|2i-Z21=IV3i|=V3A错误;

川=旧+争卜」(9+(穿=1,故B错误；

Z]+Z2=・l,故C错误；

市2=q+争)q_争)=G)2_(争)=i,故D正确.

6.B解析如图.

'：BD=2DA,：.AB=3AD,

：.'CB=CA+AB=CA+3AD=C4+3(CD-CA)^-2CA+3CD.

又方?=m，而=n,所以而=-2m+3n.故选B.

7.A解析设复数z=x+yi(x,yGR),因为|z-(5+5i)|=2,所以(x-5>+(y-5)2=4,即复数z在复平面内对应

的点在以(5,5)为圆心，以2为半径的圆上，所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.

8.D解析如图所示，以点C为坐标原点,C4,CB分别为x轴,y轴建立平面直南坐标系，则

C(0,0)4(3,0),B(0,4).

VPC=1,

，可设P(cos0,sin0),0°W0W360°,

PA-丽=(3-cose,-sin6)>(-cos&4-sin0)=-3cos6-4sin6+sinW+cos2e=l-5sin(6+9),其中tan^=^,-

l〈sin(0+9)Wl,.\-4W刀•而<6.故选D.

9.ABC解析a-b=3xl+(-l)x(-2)=5,故A正确；

a-b=(2,l),|a-b|=V22+l2=V5,故B正确；

|a|=Js2+(-1)2=V10,|b|=112+(-2)2=遥，则cos<a,b>=豐=2=4，<a,b>=，故C正确；

3乂(・2)#(・1)乂1,故口错误.

10.ABD解析复数e5=cos/+isin]=i为纯虚数，故A正确；

复数/=cos2+isin2,因为cos2<0,sin2>0,所以复数3?在复平面内对应的点(cos2,sin2)位于第二象

限，故B正确；

复数e9=cosg+ising=1+-yi的共根复数为g-:i,故C错误；

复数e®=cosO+isinJ(e£R)在复平面内对应的点为(cos。,sin。)，

因为cos20+sin20=l,所以复数ei°(0£R)在复平面内对应的点的轨迹是圆，故D正确.

11.ABC解析由题意，分别以“。，引7所在的直线为x轴和)，轴,建立如图所示的平面直角坐标系，

Q/2A0

易知，作AM1.

8

40,则OM=AM.

因为04=2,所以OM=AM=VI,所以A(-鱼,-企).

同理可得其余各点坐标,6(0,-2),眞鱼,V2),G(-V2,V2),D(2,0),/7(-2,0).

V20B+0F+OG=(0+V2-V2,-2V2+V2+&)=0,故A正确；

OA-OD=(-A/2)X2+(-V2)XO=-2A/2,^B正确；

万7=(-2+VX鱼)，丽=(-2-&,-e),万？+前=(-4,0),所以|京+而|=J(-4)2+02=4,故C正确；

AH=(-2+V2,V2),GH=(-2+V2,-V2),^H+砲=(-4+2證,()),|而+丽=J(-4+2圾之+Q2=4-272,

故D不正确.

12.ABD解析连接OAQBQCQDQP,设弦DB的中点为S,连接OS,则OS丄BD.故而+

丽)•丽=2赤•丽=0,故A正确；

设直线P。与圆。交于点E,F,则可-PC=-\PA\\PC\=-EPPF=-(OE-PO)(OE+PO)=PO2-EO2=-2,

故B正确；

取AC的中点M,连接OM,则旅■OC=(OM+MA)-(OM+MC)=0M2-MC2=0M2-(4-

丽2)=2而2_4，而0W两2wop2=2,故市,元的取值范围是[一4,0],故C错误；

当AC1BD时，荏-CD=(AP+PB)(CP+PD)=AP-CP+PB-PD=-\AP\\CP\-\PB\\PD\=-

2EPPF=4故D正确.

13.34(答案不唯一)解析不妨令z=3-4i,则|z|=J32+(-4猿=5,复数z在复平面内对应的点(3,-4)位

于第四象限滿足①②，故z=3-4i符合题意.

1

14.11解析由题得声上=1*385<4,1)>=1*3乂§=1,

®,](2a+b)-b=2a-b4-|b|2=2+9=l1.

15.夕解析因为而=|而,所以荏=|而.

3

而

+-

=/4

因为点P在线段C。上，

Q