2021年高考冲刺压轴卷 数学

（新高考）2021年最新高考冲刺压轴卷

数学

注意事项：

1、本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答题前，考生务

必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

3、回答第II卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“Vxe（0,+co）,log2%〉1"的否定是（）

A.VXG（0,+CO）,log2x<1B.%e（0,+co）,log2x0<1

C.Vxg（0,+oo）,log,x<1D.3x0e（0,,log2x0>l

【答案】B

【解析】根据全称命题的否定是特称命题可知，命题"Vxe（O,+8）,log2%〉一的否定为

e（O,-H»）,log2x0<1".

故选B.

2.已知集合"=上€河:|2工<8},N={x|x<a}.若/N有且仅有1个元素，则实数

a的取值范围是（）

A.（0,1]B.[0,1]C.（1,2]D.[1,2]

【答案】C

【解析】因为M={xe<8}={xeN*|x<3}={1,2},N={x|x<a},

结合MN有且仅有1个元素知河N={1},所以l<aW2,

故选C.

3.已知圆。的半径为1,A,3是圆。上两个动点，|。4+。4=—2。4-。3,则0B

的

夹角为()

兀2兀3兀5兀

A.—B.----C.—D.—

3346

【答案】B

【解析】|OA+词=J。/+OB，+204-OB=《2+2cos〈OA,03〉，

-2OAOB=-2cos(OA,OB),得，2+2cos〈OA,OB)=-2cos(OA,OB)，

--1

解得cos(OA,OB)=1或cos(OA,OB')

..•.2兀2兀

由题意得cos〈OA,。8〉《0,故〈OA,03)=,故Q4，08的夹角为《

故选B.

4.己知数列｛%｝,%=肃，其中/5)为最接近6的整数，若｛%｝的前加项和为20,

则m=()

A.15B.30C.60D.110

【答案】D

【解析】由题意知，函数了(〃)为最接近册的整数，

又由"1)=1，"2)=1，〃3)=2,"4)=2,"5)=2,46)=2,

"7)=3,"8)=3,"9)=3,410)=3,/11)=3,"12)=3,

由此可得了(〃)在最接近册的整数中，有2个1,4个2,6个3,8个4,

11

又由数列｛f得｝满足4=］而

1

可得q=%=LQ3=%—a5~a6=5,%=。842二§,

则。］+%=2,%+4+%+4=2,%+/+,+〃12=29

因为｛%｝的前用项和为20,即5m=10x2=20,

可得数列｛机｝构成首项为2,公差为2的对称数列的前10项和，

inQ

所以m=10x2+---x-x2=no,故选D.

2

5.关于直线加、〃与平面a、B,有以下四个命题：

①若相〃a,〃〃/且。〃/?,则加〃〃；

②若ml.a,则加_L〃；

③若根_La,n〃B旦allB，则加J_〃；

④若相〃〃，/?且2，/?,则加〃

其中真命题的序号是()

A.①②B.③④C.①④D.②③

【答案】D

【解析】对于①，若相〃〃〃,且2〃/?,则加与〃平行、相交或异面，①错误;

对于②，如下图所示：

设a(3=a,因为2_L/,在平面/?内作直线/_[_〃，由面面垂直的性质定理可知/_L。,

mla,n1(3,Iu。，：.n工I,因此，zn_L〃，②正确；

对于③，若冽J_。，all0,则加_L/7,

因为〃〃/,过直线〃作平面/使得/?Y=a,由线面平行的性质定理可得M/Q,

4

m±/?,au/3,则根JLa,因此用_L〃，③正确；

对于④，若mlla,〃，分且2，万,则加与〃平行、相交或异面，④错误，

故选D.

z、—2x,x0

6.已知函数/(%)=〈、I八，若<x2<x3<x4,且

|log2x|,x>0

f(xl)=f(x2)=f(x3)=f(x4),给出下列结论：©%1+x2=-1,②％%4=1,③

0<Xj+%2+x3+%4<—,@0<xtx2x3x4<1,其中所有正确命题的编号是()

A.①②B.②③C.②④D.②③④

【答案】D

_%2—2x,x<0

【解析】函数/(%)=<的图象如下图所示,

|iog4

2x>0

函数y=—f―2x的图象关于直线x=—1对称，则X]+4=-2,故①错误;

lo

由/(毛)=/(%)得|g2七|=|!og2x4|,A-log2%=log2%4,

则log2(不乂)=0，；.%%=1，故②正确；

设/(七)=/(%2)=/(%3)=/(%)=%,

由丁=-公一2工<1,所以0<女<1,

由k>g2X=_l,得X=；,则:<%3<1,

Xj+x2+x3+x4故③正确;

由y=—必―2x的对称轴方程为尤=—1,由图可知王e(—2,-1),

2

又七9%匕-菁马=%（一2—%）=-%1-2x1,

%为=—X；—2%G（0,1）,故④正确,

故选D.

7.已知ZkABC中，D、E分别是线段5C、AC的中点，AD与8E交于点。，且

ZBOC=90°,若BC=2,则4/18。周长的最大值为()

A.2+2加B.2+J10C.2+26D.2+4指

【答案】A

【解析】在八45c中，D、E分别是线段3C、AC的中点，A。与班交于点。，

则。为ZkABC的重心，

因为ZfiOC=90°,故则AD=3OZ>=3.

2

AD=AB+BD=AB+^BC=AB+^AC-AB^=^AB+AC),

UUU1UUUUUIU

/.2AD=AB+AC^

•2/-\2-2-2

所以4AD=（A5+AC）=AB+AC+2ABAC,

即

AD2402_DZ^2

4AD2=AB2+AC2+2AB-AC-cosABAC=AB2+AC2+2AB-AC-----------

2ABAC

=2AB-+2AC2-BC2=2AB2+2AC2-4，

所以，

40=2AB2+2AC2=AB2+AC2+(AB2+AC2)>AB2+AC2+2ABAC=(AB+AC)2

:.AB+AC<2y/10,当且仅当AB=AC=时，等号成立.

因此，AABC周长的最大值为2&U+2，故选A.

8.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，

在该正方体侧面CD2a上有一个小孔E，E点到CD的距离为3,若该正方体水槽绕CD

倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CD2G与桌面所成角的正切值为（）

【答案】D

【解析】由题意知，水的体积为4x4x2=32,如图所示,

设正方体水槽绕CD倾斜后，水面分别与棱A4；,3片,CG，DR交于M,N,P,Q,

由题意知PC=3,水的体积为SBCM，C。=32,

BN+PC

BC-CD=32即变±1x4x4=32,:.BN=L

22

在平面3CG用内，过点Q作C.H//NP交BB1于H,

则四边形NPGH是平行四边形，且NH=PG=l,

又侧面CD2G与桌面所成的角即侧面CDDiG与水面MNPQ所成的角，

即侧面CDD6与平面HCR所成的角，其平面角为N"GC=/4“。,

BC4

在直角三角形4"。1中，1@"片"。1=信*=7=2,故选D.

n./iZ

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()

A.i+i2+i3+i4=0

B.复数z=3—i的虚部为-i

C.若z=(l+2i)2,则复平面内三对应的点位于第二象限

D.已知复数z满足|z-1=上+1],则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】AD

【解析】A选项，i+i2+i3+j4=i—1—i+l=0，故A选项正确；

B选项，Z的虚部为—1，故B选项错误;

C选项，z=l+4i+4i2=-3+4i-z=-3-4i＞对应坐标为(—3,-4)在第三象限,

故C选项错误;

D选项，|z—l|=|z+l|=|z—(―1)|表示z到A(1,O)和6(—1,0)两点的距离相等，

故z的轨迹是线段A3的垂直平分线，故D选项正确，

故选AD.

10.下列四个函数，同时满足：①直线y=+b伍eR)能作为函数的图象的切线；②函

..4

数)=|/("|+国可的最小值为4的是()

A.y(x)=—B./(x)=sinxc./(x)=exD.f(x)=x2

【答案】CD

【解析】对于A：对于任意xwo,—无解，

X-%2

所以直线y=不能作为切线;

1।।4

对于B：r(x)=cosx=],有解，但|/(x)|+即『4,当且仅当|/(X)|=2时取等号,

又卜in.Wl,所以不符合题意;

对于C：〃x)="=；,有解，[〃x)|+4,4〜

1—/~\T=eH22

|〃x)|/

当且仅当e、=2时，等号成立，故C正确;

对于D：f'(x)=2x=-,x=-,又X?+二》2」犬•&=4,

24x2Vx2

当且仅当X=±拒时，等号成立，故D正确，

故选CD.

11.已知函数〃x)=Acos(x+9)+"A〉0,附＜口，若函数y=|/(x)|的部分图象如

图所示，则下列说法正确的是(

y

A.函数/(X)的图象关于直线％=代对称

B.函数/(%)的图象关于点|―|兀对称

C.将函数y=2sinx+l的图象向左平移兀个单位可得函数/(力的图象

6

D.函数/(%)在区间-段,0上的值域为［6+1,3］

【答案】BC

【解析】结合函数y=|/(x)|的图象易知，函数/(九)的最大值3,最小值为一1,

则A=2，/(x)=2cos(x+0)+l,

代入点(0,2),贝I］2cos0+1=2,cos9=；,

因为悯＜］，所以夕=］，f(x)=2cos+1,

x+j=kn(keZ),即x=—g+E(左eZ),函数/(x)关于x=—g+E(左eZ)对称,

A错误；

x+1=］+E(左？Z),即x=1+E(keZ),函数/(%)关于点［^+也」］(keZ)对

称，

B正确；

函数y=2sinx+l的图象向左平移9兀个单位，

I7171

5K1。•+1—2cosIx+_1+1,

得出/(%)=2si]inX++1=2smxd---F—C正确;

TI32

71717171cosjx+Apl

当一5‘°时'x+—e/(X)G[2,3],D错误,

36,3I3JL2.

故选BC.

r2y2

12.过双曲线C：j=1(〃>0,b>0)的右焦点F引C的一条渐近线的垂线，垂

a~一手

足为A,交另一条渐近线于点B.若FB=AAF，2<2<3,则C的离心率可以是()

A石B2石卡

232

【答案】BC

b

【解析】右焦点尸(c,0),设一渐近线Q4的方程为丁=一九,

a

b

则另一渐近线OB的方程为y=——x,

a

由E4与。4垂直可得FA的方程为y=--(x-c),

b

b

y--x

联立方程aac

a2+b2

可得A的横坐标为幺;

b

y=——x

a2cca2

联立方程〈an、%=

222

y=-a—c)a-b2a--c

2

可得8的横坐标为，

2a2-c2

因为=厂,

22(222222

c\c-aCe

所以T^_c=2=?><=£_，可得x=

c22222

2a-cc2a-cc2a-c2-e

2

因为所以2W—Jw3,

2-e2

3e2-4

乖)

即《

4e2-6323

<0

BC满足题意，AD不合题意,

故选BC.

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.写出一个符合"对S，4eR,当石彳々时，(七一％2)"(%)一(％)]<0"的函数

/(%)=-----------------

【答案】-X(答案不唯一)

【解析】设%,%2eR,占<%2，贝1/(%)>/(x2)，

由单调性的定义可知，函数/(%)是定义域为R的减函数，

所以函数/(%)=—%满足题意.

故答案为—X.

14.(1+岳)1°°的展开式中有理项的个数为.

【答案】34

£

r

【解析】7:<=q00(2x)3,所以「=0,3,6,…,99时为有理项，共34个，

故答案为34.

15.高三年级毕业成人礼活动中，要求A，B，C三个班级各出三人，组成3x3小方阵,

则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为.

【答案】—

140

【解析】根据题意，A，B，C三个班级各出三人，组成3x3小方阵，有A?种安排方法，

若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，

则第一行队伍的排法有A；=6种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；

第一行的每个位置的人员安排方法有3x3x3=27种，第二行的每个位置的人员安排有

2义2义2=8种，第三行的每个位置的人员安排有lxlxl=l种，

「6x2x27x81

则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率尸=——P——=—,

故答案为-

140

16.已知实数a>0且awl,/(力=优—x"为定义在(0,+。)上的函数，则/(九)至多有

个零点；若/(力仅有1个零点，则实数。的取值范围为.

【答案】2，(Ql)L{e}

【解析】令/(x)=0(x>0,a>0且awl),可得优=/,

等式优=靖两边取自然对数得了111。=。111%,即』」=如0,

%a

InY1_v

构造函数g(x)=---,其中x>0,则g'(x)=-.

Xx~

当0<x<e时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增；

当x〉e时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减.

i]n光

所以，gGLx=g（e）=-，且当X>1时，g（x）=——>0,如下图所示:

ex

■“I。*

爪“尸丁

由图象可知，直线y=—与函数g（x）=——的图象至多有两个交点，

ax

所以，函数/（九）至多有2个零点.

若函数/（九）只有一个零点，则四=，或@@<0,解得0<。<1或。=0.

aea

故答案为2，（0,l）U{e}.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.（10分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ZADC=90°,AABC为锐角三角

形，且AB=3,AC=近,ZABC=60°.

(1)求sinNBAC的值;

（2）求△BCD的面积.

【答案】（1）卫；（2）石.

7

【解析】（1）在锐角43。中，AB=3,AC=J7,NA3c=60。，

,,...AB-sinAABC3A/21

由正弦定理得sinZACB=-------------=-----

又因为5c为锐角三角形，.•.COSNACBM'Z

14

sinZBAC=sin兀一1g+NACB=sin(1+ZACBj,

sinN3AC=sinNAC3•cos乌+cosNACB•sin二=x工+立x3=

331421427

(2)QAB//CD,:.ZACD-ZBAC,

sinZACD=sinABAC=—

7

在RtAADC中，AD=ACxsinNACD=正义^~=6，

7

:.CD=^AC2-AD2=2-

'△BCD~^AACD，

y.S=-ADxCD=^3,

AACDSABCD=A^.

18.（12分）给出以下两个条件：①数列｛%,｝的首项4=1,4=3，且。"+1+。”=4〃,

②数列｛4｝的首项4=1,且工业=巴？-.从上面①②两个条件中任选一个解答下面的

s〃n

问题.

（1）求数列｛q,｝的通项公式;

⑵设数列出｝满足d=〃x2竽，求数列｛4｝的前〃项和4.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）=2/7-1；（2）<=（〃—1卜2角+2.

【解析】若选条件①:

（1）由条件4+1+4=4〃，得为+2+%+1=4（几+1）,两式相减得与+2-与=4,

1,数列,{a2k}(AeZ）均为公差为4的等差数列.

q=1,a、»I=1+4(%—1)=4k—3,

・••当〃为奇数时，an=2n-l；

'/ci-,—3,a2k=3+4(%—1)=4-k—1,

当”为偶数时，。“=2”-1,

综上，an=2/z-1.

«„+i

(2)由(1)得以=nx22=〃x2",

则其前〃项和为7；=1x2+2x22++〃x2”①,

/.27；,=1X22+2X23++〃x2"i②,

①-②得—£=1x2+1x22+1x23++1x2"—〃x2"+i=-^----"x2'"i

1-2

=(l-M)x2n+I-2,

.•.北=(〃—1卜2向+2.

若选条件②：

⑴・・黑.邑Z邑一;之上工=上

22，2

..广心，52-2153-3)-(n-1)

sn2%2

上面孔-1个式子相乘得u=(〃22),.二〃22时，S-—T-S—n2a,—n2，

〃]211

$17

而〃=1时，S“=S]=%=1,也满足上面等式，

2

；.〃N2时，an=Sn—S0T=n-(H-1)-=2n-L

而”=1时，aa=q=l,也满足上面等式,

an=2n-l.

%+1

(2)由(1)得4=〃x22=〃x2",

贝U其前几项和为£,=1x2+2x22++〃x2"①,

23n+1

A2Tn=lx2+2x2++nx2@,

8一百

①-②得_1=1X2+1X22+1X23++1x2"—〃X2"+I=

1-2

=（l-«）x2n+'-2,

l）x2"+i+2.

19.（12分）如图，在直四棱柱ABC。-A耳GR中，底面A5CD是边长为2的菱形，且

M=3,E，/分别为CG，8。的中点.

（1）证明：石厂，平面5片。。；

（2）若NZM5=60。，求二面角4—BE—A的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）上姮.

26

【解析】（1）如图所示：

连接AC交3。于。点，连接/为§2的中点，

所以OF〃DQ,OF=-DD.,

21

又E为CC的中点，CCXIIDDX,所以CEHDD、,CE=；DD「

所以O歹〃CE,OF=CE,

所以四边形。FEC为平行四边形，OC//FE.

直四棱柱ABCD—AgGDi中，平面ABC。，OCu平面ABC。,

所以1OC.

又因为底面ABCD是菱形，所以OC，3£）,

又DDJBD=D,DD[u平面BBRD,BDu平面BBQQ,

所以。CL平面3瓦2。，所以即，平面5瓦。。.

（2）建立如图空间直角坐标系O-孙z,

由ZZMB=60°,知6£>=钻=5。=2,

又AA=3,则5(1,0,0),E]O,"£|,4仅—6,3),0(—1,0,3),

设"=（尤,y,z）为平面/BE的一个法向量,

x+y/3y-3z=0

n.AB-0

由＜.，得—x+Gy+^z=0

n•BE=0

令y=5可得”=（9,也,4）

设6=（%,%,4）为平面QBE的一个法向量,

—2%+3Z]=0

m-BD,=0

由＜,，即1

m-BE-0+|1o'

令再=3,可得加=（3,0,2）,

/\mn9X3+GXO+4X27A/13

cos（n,m）=---r-r=I-------------=------，

HMI[+（@2+42.行+02+2226

如图可知二面角A^-BE-D,为锐角,所以二面角\-BE-D,的余弦值是2姮.

26

20.（12分）某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品

就可以赠送元旦礼品.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1,A,人3中的一个，每个乙系

列盲盒可以开出玩偶耳，当中的一个.

（I）记事件纥：一次性购买〃个甲系列盲盒后集齐A1,A,&玩偶；事件F”：一次性

购买〃个乙系列盲盒后集齐g,为玩偶；求概率尸（线）及尸（招）；

（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买

时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系

14

列的概率为购买乙系列的概率为二；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列

13

的概率为一，购买乙系列的概率为一；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概

44

率为购买乙系列的概率为g；如此往复，记某人第几次购买甲系列的概率为Q”.

①2；

②若每天购买盲盒的人数约为100,且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估

计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.

【答案】⑴尸（线）=药，尸（骂）=]；⑵①&=一0+；；②应准备甲系

列盲盒40个，乙系列盲盒60个.

【解析】（1）由题意基本事件共有：36种情况，

其中集齐A,4，A3玩偶的个数可以分三类情况，

A，4,A3玩偶中，每个均有出现两次，共种;

A，4,4玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共C：C；C：A；种；

A，4,A3玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共C；C：A；种，

故尸小6）=C；CC"C：CF：A：+3CA；=20

根据题意，先考虑一次性购买〃个乙系列盲盒没有集齐％与玩偶的概率，即尸=吴

所以p（x）=l-

Zlo

（2）①由题意可知：Qi=g,当〃之2时，Q“=；（l—21T）+；Q,T，

所以］。n-11是以-g为首项，为公比的等比数列，

+1'

②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，

所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作。趋向无穷大，

2

所以购买甲系列的概率近似于m,假设用J表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则

&“。。以

所以石（3=100x|=40,即购买甲系列的人数的期望为40,

所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.

21.（12分）已知椭圆W+/=l（a〉6〉0）的离心率为孝，右焦点为歹，上顶点为A，

左顶点为8，且|E4|・|q1=10+50.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知。（T,0）,。（4,0）,点尸在椭圆上，直线PC,P£）分别与椭圆交于另一点

N,若CP=XCM，DP="DN,求证：2+〃为定值.

22

【答案】(1)土+匕=1；(2)证明见解析.

105

【解析】(1)设歹(c,0),

222

由题意得|E4|=a,\FB\^a+c,上=叵,a=b+c,

a2

:\FA\-\FB\=a(a+c)=10+5^2,解得/=1。，k=5,

22

•••椭圆的方程为土+乙=1.

105

(2)设尸河(石,％),N(x7yj,

由CP=2CN，DP=RDN，

得(%+4,%)=丸(玉+4,%),(x0-4,%)="(w—4,%)，

x0=4(A-1)x0-/jx2=4(1-//)

、%=肛'I

一JLIXQ=8-4(2+〃)，①

又点P，M，N均在椭圆上,

22

至+为=1

(%-2%)(％+4玉)=]_九2,

由＜埃热U且i…

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