2024年湖南省永州市中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年湖南省永州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）1．（3分）若x的相反数是3，则x的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±32．（3分）湖南省2023年地区生产总值突破五万亿元，同比增长4.6%，其中数据50000用科学记数法可表示为（）A．5×103 B．5×104 C．0.5×105 D．50×1033．（3分）下列图标是第十九届杭州亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．（ab3）2＝ab6 C．a5÷a2＝a3 D．（x﹣2）2＝x2﹣2x+45．（3分）某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时），数据如图表，两组数据的众数分别为M甲、M乙，方差分别为、，则（）甲组67888910乙组47888912A．M甲＞M乙， B．M甲＝M乙， C．M甲＝M乙， D．M甲＝M乙，6．（3分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠2＝78°（）A．.30° B．.33° C．.35° D．.22°7．（3分）直线y＝﹣2x+1不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．9．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为I＝ B．蓄电池的电压是18V C．当R＝6Ω时，I＝4A D．当I≤10A时，R≥3.6Ω10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③当y＞0时；④a+b+c＜0．正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（3分）因式分解：x2﹣4＝．12．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于x轴对称点P1的坐标是．14．（3分）分式方程的解为．15．（3分）某校开展征文活动，学生只能从“爱国教育”、“科技创新”、“传统文化”三个主题中选择一个主题上交征文，那么两名学生恰好选中同一主题征文的概率是．16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是．17．（3分）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A＝38°．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，以点A为圆心，AC于点E，F，分别以点E，大于的长为半径作弧，作射线AG，交BC于点D．三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）19．（6分）计算：．20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝．21．（8分）某校利用课后延时服务时间，开设“阳光球类系列课程”，有足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五大球类课程，随机调查了m名学生（每名学生必选且只选其中一门课程）．根据以下统计图提供的信息（1）m＝，n＝；（2）补全条形统计图；（3）“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为．（4）若全校共有3000名学生，请估计该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．22．（8分）如图，小明用测角仪（测角仪高度忽略不计）测量楼栋的高度．先在A处测得楼顶C的仰角∠CAD＝30°，测得楼顶C的仰角∠CBD＝45°，求楼栋的高度．（参考数据：，，结果保留整数）23．（9分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，求菱形AECF的边长．24．（9分）3月12日，某校开展植树活动，准备购买桂花树和香樟树，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元．（1）求香樟树和桂花树的单价；（2）现需一次性购买香樟树和桂花树共40棵，要求总费用不超过3300元，学校最多可以购买多少棵桂花树？25．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接BD，OH．（1）求证：△AHC∽△DHB；（2）若BH2＝CH•DH，求证：OH⊥AB；（3）在（2）条件下，若∠BAC+∠BHD＝90°，且r＝4OH，求的值．26．（10分）以x为自变量的两个函数y与g，令h＝y﹣g，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数y＝x2与g＝2x﹣1它们的“相关函数”为h＝y﹣g＝x2﹣2x+1．h＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，y≥g恒成立．（1）已知函数y＝x2+mx+n与函数g＝4x+1相交于点（﹣1，﹣3）、（3，13），求函数y与g的“相关函数”h；（2）已知以x为自变量的函数y＝3x+t与g＝x﹣2，当x＞1时，对于x的每一个值，求t的取值范围；（3）已知以x为自变量的函数y＝ax2+bx+c与g＝﹣2bx﹣c（a、b、c为常数且a＞0，b≠0），点、B（﹣2，y1）、C（1，y2）是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足2c＜y2＜y1，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围．

2024年湖南省永州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）1．（3分）若x的相反数是3，则x的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±3【解答】解：﹣3的相反数是3，∴x＝﹣6．故选：A．2．（3分）湖南省2023年地区生产总值突破五万亿元，同比增长4.6%，其中数据50000用科学记数法可表示为（）A．5×103 B．5×104 C．0.5×105 D．50×103【解答】解：50000＝5×104．故选：B．3．（3分）下列图标是第十九届杭州亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项B、C、D的图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合．选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．故选：A．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．（ab3）2＝ab6 C．a5÷a2＝a3 D．（x﹣2）2＝x2﹣2x+4【解答】解：A．∵a2+a2＝4a2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；B．∵（ab3）8＝a2b6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；C．∵a6÷a2＝a3，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；D．∵（x﹣8）2＝x2﹣2x+4，∴此选项的计算错误；故选：C．5．（3分）某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时），数据如图表，两组数据的众数分别为M甲、M乙，方差分别为、，则（）甲组67888910乙组47888912A．M甲＞M乙， B．M甲＝M乙， C．M甲＝M乙， D．M甲＝M乙，【解答】解：由题意得，甲组的众数M甲＝8，乙组的众数M乙＝8，∴M甲＝M乙，甲组的平均数为（6+5+8+8+2+9+10）＝8，∴s甲2＝[（5﹣8）2+（5﹣8）2+6×（8﹣8）5+（9﹣8）8+（10﹣8）2]＝；乙组的平均数为（8+7+8+6+8+9+12）＝7，∴s乙2＝[（4﹣8）2+（7﹣8）5+3×（8﹣5）2+（9﹣5）2+（12﹣8）7]＝，∴s甲2＜s乙2．故选：D．6．（3分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠2＝78°（）A．.30° B．.33° C．.35° D．.22°【解答】解：如图：∵m∥n，∴∠3＝∠2＝78°，∵∠5＝∠1+∠B，∴∠1＝∠7﹣∠B＝78°﹣45°＝33°，故选：B．7．（3分）直线y＝﹣2x+1不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵直线y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0，∴该函数图象经过第一、二、四象限，故选：C．8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x≥2，故此不等式组的解集为：x≥6．在数轴上表示为：．故选：A．9．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为I＝ B．蓄电池的电压是18V C．当R＝6Ω时，I＝4A D．当I≤10A时，R≥3.6Ω【解答】解：设I＝，∵图象过（4，9），∴k＝36，∴I＝，∴蓄电池的电压是36V，∴A、B错误；当R＝2Ω时，I＝，∴C错误，不符合题意；当I＝10时，R＝3.3，由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，∴D正确，符合题意；故选：D．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③当y＞0时；④a+b+c＜0．正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①由抛物线与x轴有两个交点知：b2﹣4ac＞6，故①正确；②由抛物线的对称轴位于y轴的右侧知：ab异号，即ab＜0．由抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．故abc＞4．故②正确；③由图示知：当y＞0时，x＜﹣2或x＞6；④由图示知：当x＝1时，y＜0．故④正确；综上所述，正确的说法有5个．故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（3分）因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2﹣4＝（x+8）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣4）．12．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥．【解答】解：由题意得：2x﹣1≥3，解得：x≥，故答案为：x≥．13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于x轴对称点P1的坐标是（5，3）．【解答】解：点P（5，﹣3）关于x轴的对称点点P8坐标为：（5，3），故答案为：（4，3）．14．（3分）分式方程的解为x＝﹣1．【解答】解：，x﹣5＝2（7x﹣1），解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣7时，2x﹣1≠5，∴x＝﹣1是原方程的根，故答案为：x＝﹣1．15．（3分）某校开展征文活动，学生只能从“爱国教育”、“科技创新”、“传统文化”三个主题中选择一个主题上交征文，那么两名学生恰好选中同一主题征文的概率是．【解答】解：将“爱国教育”、“科技创新”，B，C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两名学生恰好选中同一主题征文的结果有3种，∴两名学生恰好选中同一主题征文的概率为＝．故答案为：．16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是20π．【解答】解：由已知得，母线长l＝5，∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×8×π＝20π．故答案为20π．17．（3分）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A＝38°26°．【解答】解：∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣38°＝52°，∴∠C＝∠AOB＝26°，故答案为：26°．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，以点A为圆心，AC于点E，F，分别以点E，大于的长为半径作弧，作射线AG，交BC于点D．【解答】解：作DM⊥AB于M，由题意知AD平分∠BAC，∵DC⊥AC，∴CD＝DM，∵∠C＝90°，AB＝10，∴AC＝＝7，∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，∴8×6＝7CD+10CD，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝6﹣＝．故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）19．（6分）计算：．【解答】解：＝3+4×﹣2＝3+2﹣2＝2．20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝．【解答】解：原式＝x2+2x+4﹣2x﹣2＝x5﹣1，当x＝时，原式＝6﹣1＝1．21．（8分）某校利用课后延时服务时间，开设“阳光球类系列课程”，有足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五大球类课程，随机调查了m名学生（每名学生必选且只选其中一门课程）．根据以下统计图提供的信息（1）m＝100，n＝5；（2）补全条形统计图；（3）“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为126°．（4）若全校共有3000名学生，请估计该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．【解答】解：（1）由题意m＝30÷30%＝100，排球占，∴n＝5，故答案为：100，5；（2）足球＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35（人），条形图如图所示，（3）“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为360°×35%＝126°，故答案为：126°；（4）3000×＝600（名），答：估计该校约有600名学生喜爱打乒乓球．22．（8分）如图，小明用测角仪（测角仪高度忽略不计）测量楼栋的高度．先在A处测得楼顶C的仰角∠CAD＝30°，测得楼顶C的仰角∠CBD＝45°，求楼栋的高度．（参考数据：，，结果保留整数）【解答】解：由题意得：CD⊥AD，设CD＝x米，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝＝＝x（米），在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，∴BD＝＝x（米），∵AD﹣BD＝AB，∴x﹣x＝20，解得：x＝10+10，∴CD＝10+10≈27（米），∴楼栋的高度约为27米．23．（9分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，求菱形AECF的边长．【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，∴EF是AC的垂直平分线，∴FA＝FC，EA＝EC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAO＝∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴FA＝EC，∴AE＝EC＝CF＝FA，∴四边形AECF为菱形；（2）解：设AE＝CE＝x，则BE＝5﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°．在Rt△ABE中，由勾股定理得2+BE4＝AE2，即67+（8﹣x）2＝x3，解得，x＝，即AE＝．∴菱形的边长为．24．（9分）3月12日，某校开展植树活动，准备购买桂花树和香樟树，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元．（1）求香樟树和桂花树的单价；（2）现需一次性购买香樟树和桂花树共40棵，要求总费用不超过3300元，学校最多可以购买多少棵桂花树？【解答】解：（1）设桂花树每棵x元，香樟树每棵y元．由题意可得：，解得：，答：桂花树每棵90元，香樟树每棵60元；（2）设桂花树a棵，则香樟树（40﹣a）棵．由题意可得：90a+60（40﹣a）≤3300，解得：a≤30，∴a的最大值为30，答：学校最多可以购买30棵桂花树．25．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接BD，OH．（1）求证：△AHC∽△DHB；（2）若BH2＝CH•DH，求证：OH⊥AB；（3）在（2）条件下，若∠BAC+∠BHD＝90°，且r＝4OH，求的值．【解答】（1）证明：∵，∴BC＝BC．∴CAH＝∠BDH，∵∠AHC＝∠DHB．∴△AHC∽△DHB；（2）证明：∵△AHC∽△DHB，∴，即AH•BH＝DH•CH，∵BH2＝CH•DH，∴AH•BH＝BH2，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；（3）解：如图，连接AD，∵∠BHD＝∠AHC，∠BAC+∠BHD＝90°，∴∠BAC+∠CHA＝90°，∴∠ACD＝90°，∴AD是直径，∴∠ABD＝90°，∵r＝6OH，设OH＝m，则OA＝4m，∵O，H分别是AD，∴OH是△ABD的中位线，∴BD＝2OH＝6m，在Rt△AOH中，AH＝＝m，在Rt△BHD中，DH＝＝m，∵BH2＝CH•DH，∴（m）7＝CH•m，∴CH＝，∴＝．26．（10分）以x为自变量的两个函数y与g，令h＝y﹣g，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数y＝x2与g＝2x﹣1它们的“相关函数”为h＝y﹣g＝x2﹣2x+1．h＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，