备考2024年高考数学一轮复习-数列的其他应用

专题7.5数列的其他应用

题型一分段递推数列求通项公式

题型二公共项数列

题型三插项数列

题型四数列中的新定义问题

题型五数列的结构不良

题型六递推数列的实际应用

才典例集练

题型一分段递推数列求通项公式

[2a,n=2k-l,

例1.（2023•江西南昌・统考三模）已知数列｛氏｝满足％=1,%=其中左wN*,则数列｛%｝的前2〃

[为+1,〃=2k,

项和S2„为.

fa+1,w为奇数

例2.（2023春・广东佛山•高二佛山一中校考阶段练习）（多选）已知数列｛%｝满足4=0,n

\an+2,〃为偶数'

则（）

A.%=5

3H

B.当"为偶数时，g=--2

C.an+2=an+3

D.数列｛（-1广％,｝的前2〃+1项和为2”

举一反三

练习1.（2023・全国•高二专题练习）已知数列｛叫满足4=1,-=I"”""为奇数，记么=%,，求数列｛%｝

q-2〃,〃为偶数

的通项公式.

为奇数，物司,

练习2.（2023・吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列｛4｝满足q=1,a几为偶数;数列”

n+l

满足包=的“.

⑴求数列抄“｝的通项公式；

⑵求数列j-^―1的前〃项和S".

〔她+iJ

I/7-L0M—2k—1ke

练习3.（2。23秋・安徽宣城•高三统考期末）己知数歹出卜满足'口入N*'…令……

⑴写出4，b2,并求出数列低｝的通项公式;

⑵记％=log3bn,求匕｝的前10项和.

""2an+cosnn,〃为奇数

练习4.（2023・陕西安康・陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列｛%｝的首项为1,。用n

«n+COSH7l,〃为偶数

数列一”+2的前〃项和小于实数闻,则M的最小值为（）

n+i

[an+l-an-2]

2

ABD.

-2-IcI3

练习5.（2023春・重庆渝中•高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列｛4｝满足：①4=5；②

[4+2,（〃为奇数）（、,、°

〃用二；二班便工、•则。〃的通项公式4=______；设S〃为叫的前〃项和，则S2023=__________.（结果用指数累

3%+2,（〃为偶数）

表示）

题型二公共项数列

例3.（2023春•河北石家庄•高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列｛q｝,｛2｝的通项公式分别为=3〃-1和

fe„=4n-3（neN,）,设这两个数列的公共项构成集合A,则集合Ac｛〃|“V2023,"eN*｝中元素的个数为（）

A.167B.168C.169D.170

例4.（2023•江苏南通・统考模拟预测）已知数列｛%｝是公差为3的等差数列，数列抄,｝是公比为2的等比数列，且

满足q+%=4+仇+&%+%=%+&-将数列｛%｝与抄“｝的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列£｝.

⑴证明：cn=b2n;

⑵求数列｛%g｝的前"项和S,.

幽一反三

练习6.（2023•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）将数列｛2"｝与｛3〃-2｝的公共项由小到大排列得到数列｛外｝,

则数列｛〃"｝的前”项的和为.

练习7.（2023•全国•高三专题练习汜知〃eN*,将数列｛2“-1｝与数列｛川-1｝的公共项从小到大排列得到新数列｛。0｝,

111

则—+_++—=.

练习8.（2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且

55=2〃4+11,。5=%+。3+3.

（1）求数列｛a“｝的通项公式；

（2）若数列抄“｝由｛S„｝与｛«„｝的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列也｝落在区间（0,2022）内的项的个数.

练习9.（2023•全国•高三专题练习）记S,,为公比不为1的等比数列｛4｝的前〃项和，%-。4=-8出+8《，56=21.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）设用=log2%,若由｛心｝与｛，｝的公共项从小到大组成数列｛%｝,求数列匕｝的前n项和Tn.

练习10.（2022秋・山东济宁.高三统考期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数,

三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被3除余2的自然数从小到大

组成数列｛叫，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列也｝,把｛4｝和也｝的公共项从小到大得到数列｛%｝,

则（）

A.a3+b5=c3B.%8=GOC.a5b2>c8D.c9-b9=a26

题型三插项数列

例5.（2023・全国•高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得

数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列.现将数列1,3进行构造，第1次得到数列1,4,3；第2次得到数

列1,5,4,7,3；依次构造，第九（weN"）次得到数列1,占,马,飞厂..,4,3.记=1+玉+尤2++4+3,若%>4378

成立，则〃的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

例6.（2023・安徽滁州•校考模拟预测）已知等比数列｛叫的前〃项和为%且S“=4+「2（〃eN*）.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）在与。角之间插入"个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，求数列的前〃项和1.

举一反三

练习11.（2023秋・江苏盐城•高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列｛4｝的通项公式=5〃+15,在数列｛%｝的

任意相邻两项ak与4包（无=1,2,…）之间插入2上个4,使它们和原数列的项构成一个新的数列｛4｝,记新数列｛2｝的

前力项和为S“，则560的值为.

练习12.（2023・全国•学军中学校联考二模）设数列｛%｝满足。角=34-2“1（”22），4=1,%=2.

（1）求数列｛。,｝的通项公式；

⑵在数列｛%｝的任意做与项之间，都插入左,eN*）个相同的数（-1）黑，组成数列也｝,记数列也｝的前〃项的

和为T,,求为的值.

练习13.（2023•浙江•校联考模拟预测）已知数列｛叫的前〃项和为%且S“=2"+l.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）保持｛。“｝中各项先后顺序不变，在《与之间插入七个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列｛2｝,记｛〃｝

的前w项和为北，求几。的值（用数字作答）.

练习14.（2023春・辽宁锦州•高三校考期中）记S,为各项均为正数的等比数列｛%｝的前“项和，$3=14,且％,3%,

%成等差数列.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵在巴和。用之间插入〃个数，使得这（〃+2）个数依次组成公差为4的等差数列，求数列的前w项和［.

练习15.（2023•浙江金华・统考模拟预测）已知数列｛%｝的前"项和S"，4=3,且SK+1=2s“+〃+3.数列也｝满足仇=1,

（1）求数列｛。"｝,｛2｝的通项公式；

（2）将数列抄“｝中的项按从小到大的顺序依次插入数列｛%｝中，在任意的怎，出华之间插入2人-1项，从而构成一个

新数列｛%｝，求数列｛g｝的前100项的和.

题型四数列中的新定义问题

例7.（2023・全国.高三对口高考）对于数歹式。“｝,定义｛△4｝为数列｛%｝的一阶差分数列，其中△a“=a”+「4（〃eN*）

⑴若数列｛%｝的通项公式%一求｛△”,｝的通项公式；

⑵若数列｛为｝的首项是1,且满足△氏-。，=2",证明数列［会］为等差为数列.

例8.（2023•广东佛山•校考模拟预测）（多选）所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如0.7=0.7777,0.7如何

777f71

表示成两个整数的比值呢？0-7=历+需+油+代表了等比数列|而）的无限项求和，可通过计算该数列的前,

7777

项的和，再令力一”获得答案.此时5“=八-不大，当〃—”时，5"一八，即可得0.7=八.则下列说法正确的是

99x1099

(

A.0.45=—

90

《为无限循环小数

B.

g为有限小数

C.

D.数列的无限项求和是有限小数

举一反三

练习16.（2023•江苏扬州・扬州中学校考模拟预测）若数列｛4｝满足4向=可，则称数歹£4｝为“平方递推数列”.已

知数列｛。"｝中，4=9,点（%,%+）在函数/（x）=/+2x的图象上，其中九为正整数，

⑴证明：数列｛。"+1｝是“平方递推数列”，且数列他（%+1）｝为等比数列；

⑵设2=lg（%+l）,c,=2〃+4,定义。*6=[a"，且记4=或*。,，求数列｛4｝的前”项和.

练习17.（2023糊北武汉•统考三模）将12…,〃按照某种顺序排成一列得到数列｛qj,对任意l<i<j<n,如果q>%,

那么称数对（%%）构成数列｛%｝的一个逆序对.若"=4,则恰有2个逆序对的数列｛为｝的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

练习18.（2023・北京•人大附中校考三模）已知数列｛%｝满足：对任意的weN*,总存在根eN*,使得S“=4"，则

称｛g｝为“回旋数列以下结论中正确的个数是（）

①若。“=2023〃，则｛%｝为“回旋数列”；

②设｛0｝为等比数列，且公比q为有理数，则｛4｝为“回旋数列”；

③设｛。,｝为等差数列，当q=l,d<0时，若｛%｝为“回旋数列"，则d=—l;

④若｛a"｝为“回旋数列”，则对任意“eN*,总存在相eN*,使得巴=黑.

A.1B.2C.3D.4

练习19.（2023•重庆沙坪坝•重庆八中校考二模）（多选）在数列｛%｝中，吊-〃3=P（"22"EN*,〃为非零常数），

则称｛〃”｝为"等方差数列”，P称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A.｛（-2）"｝是等方差数列

B.若正项等方差数列｛%｝的首项弓=1,且外出，内是等比数列，则q=公

C.等比数列不可能为等方差数列

D.存在数列｛《,｝既是等差数列，又是等方差数列

练习20.（2023•江苏苏州•校联考三模）（多选）若数列｛凡｝满足：对任意的〃eN*（“23）,总存在i,jeN*,使

4=6+%«/〃・<〃，/<"）,则称｛%｝是“歹数列则下列数列是“厂数列''的有（）

A.an=2nB.〃

C.%=3〃

题型五数列的结构不良

例9.（2023・江西•统考模拟预测）已知等差数列㈤｝的前〃项和为S,,,%=3,S5=4（%+生）+1.

⑴求｛%｝的通项公式及S“；

（2）设,求数列出｝的前〃项和1.

在①2=厂；②勿=居」；③2=一'一这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.

ss

gi+M„n+ia»a»+i

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

例10.（2023秋•贵州铜仁•高三统考期末）已知正项数列｛叫的前"项和为S"，在①匕=0（〃eN*）,

且4=3；②3%=3+2S”（〃eN*）；③J=%eN*）,%=3,这三个条件中任选一个，解答下列问题：

am

（1）证明数列｛4｝是等比数列，并求其通项公式；

2〃1

（2）设2=3.+i），数列抄“｝的前〃项和为小若恒成立，求4的最小值・

注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

举一反三

练习21.（2023春•广西•高三校联考阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，在①%=二61（,亚2）且01=1；

②2S〃=/+〃；③Q“+Q计2-24+l=。且。l=l,%=3,这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：

（1）已知数列｛%｝满足,求｛%｝的通项公式；

⑵己知正项等比数列也｝满足々=«2,仇+么=12,求数列j~:|的前〃项和T„.

练习22.（2023春•江西•高三校联考阶段练习）已知数列｛%｝的各项均为正数，记S”为｛4｝的前〃项和.

（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；

①〃+1=2+。〃；

@52=4S1；

③+JS?+2=2jS〃+i.

T111

=+

（2）在（1）的条件下，若。1=2,^Tnr^-z-rr—++/.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

练习23.（2023春・浙江杭州•高三浙江大学附属中学校考期中）在①4=2〃-1,32=2骞+3；②2S“=*+a“也=的足

这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.

己知数列｛g｝的前“项和是S“，数列抄”｝的前〃项和是T”，.

⑴求数列｛叫,也｝的通项公式；

（2）设与=小，数列£｝的前"项和为&,求

un

练习24.（2023秋•云南昆明•高三统考期末）已知S“是数列｛%｝的前，项和，①2a,-S“=2,②

/*\«1

a==

4+4-1---^-\a>2,nGNI,且%=4,③---~,q=2

nnan+i,

请从①②③中选择一个条件进行求解.

注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵数列7―而I——的前〃项和为T“，是否存在正整数加，使妥丁m恒成立？若存在，求出加的最大值；若

（n+l）log2tznJ2023

不存在，请说明理由.

练习25.（2023春•北京海淀•高三中央民族大学附属中学校考期中）已知数列｛4｝中，4=1,,其中“eN*.

从①数列｛。“｝的前w项和S"=2"-1,②4用=24，③&=8且a"=a“a”+2,这三个条件中一个，补充在上面的问

题中并作答.

注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

⑵设a=log?%,求证：数列。｝是等差数列;

（3）设数列c„=—,求数列｛g｝的通项公式及前20项和.

bb

n+ln+2

题型六递推数列的实际应用

例H.（2023・全国•高三专题练习）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月

相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置

“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归

111

1

年相适应设数列｛4｝满足-4+「一仿+—r，其中力均为正整数，且伪=2,d=i,&=2,&=i,

“2b-\——

2b3

4=1,b6=16,那么第w级修正是“平均一年闰。“个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（）

A.第3级修正B.第4级修正C.第5级修正D.第6级修正

例12.（2023・全国•高三专题练习）（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1,1,

2,3,5,8,13,21L该数列的特点是前两项为1,从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一

列数组成的数列｛%｝称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派

生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记S“为该数列的前w项和，则下列结论正确的是（）

A.知=89B.。2023为偶数

C.++°5+・一+〃2023—。2024D.+“4++…+〃2024—^2023

第二及三

练习26.（2022秋•福建漳州•高三统考期末）（多选）被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大

小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天

梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶,

设爬上第〃个台阶的方法数为凡，下列结论正确的是（）

72022

A.%=13B.3a“+]=a,—+C.D.=%022%023-1

i=li=l

练习27.（2021秋・重庆•高三校联考阶段练习）阿司匹林（分子式C9H80「分子质量180）对血小板聚集的抑制作

用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300睢，嚼

碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200mg.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为

主要代谢产物水杨酸（分子式C7H6。3,分子质量138）,降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的荒，水杨

酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考

虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）

（1）求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位mg）；

（2）证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg.

练习28.（2023春•山西太原•高三山西大附中校考阶段练习）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列

{1},{/}表示第〃周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高.为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，

然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：

策略A环境整治，“虫害指数”数列满足：7+7=1.021-0.2.

策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：Z+i=1.08Z-0.46.

当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.

（1）设第一周的虫害指数8],用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？

（2）设第一周的虫害指数乙=3,如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？

练习29.（2023•浙江•校联考三模）某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为10%,且每

年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，S”为{g}的前〃项和，则$6=

.（结果保留成整数）（参考数据：1.F"611,1.心1.771,1.g.949）

练习30.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，有标号为1,2,3的三根柱子，在1号柱子上套有〃个金属圆片，

从下到上圆片依次减小.按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属

圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面.

若〃=3,则至少需要移动次；

将〃个金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，至少需要移动次.

专题7.5数列的其他应用

题型一分段递推数列求通项公式

题型二公共项数列

题型三插项数列

题型四数列中的新定义问题

题型五数列的结构不良

题型六递推数列的实际应用

望典例集练

题型一分段递推数列求通项公式

[2a,n=2k-l,

例1.（2023•江西南昌・统考三模）已知数列｛氏｝满足％=1,%=其中左wN*,则数列｛%｝的前2〃

[为+1,〃=2k,

项和S2„为.

【答案】3x2B+1-3n-6

【分析】根据递推公式将偶数项转化为奇数项，再运用递推公式求出奇数项的通项公式，再求和.

（2a,n=2k-l

【详解】由递推公式%+1=,，得4=1,g=2,%=3,%=6,%=7,%=14,

\an+l,n=2k

a

即a2k=2a2k-i»2k+i=%+1=2alk-i+1，%+i+1=2（%1+1），（左£N）,

数列｛为+1+l｝是首项为1+1=2,公比9=2等比数列，「.%1+1=2。（林网,

S2n=%+Cl[+生+“4++。2〃-1+。2n=3%+3%++3%〃_]

=3[（q+1）+3+1）+3+i）++（%〃_i

i-9n

=3x2x-----3n=3»2n+1-3n-6；

1-2

故答案为：3・2用—3〃—6.

1y^T

“”+="二限,

｛a〃+2,"为偶数

则()

A.%=5

B.当〃为偶数时，4=种-2

C.4+2=4+3

D.数列[(T)'"1｝的前2"+1项和为2“

【答案】BCD

【分析】根据已知递推出。5可判断A；令〃=2A-1(笈eN*),由已知可得知="2i+l，/k+i=%«+2可得

aa3

2k+i~2k-i=;令〃=2%(%cN*),由已知可得知+1=%+2,a2k+2=a2k+l+l,所以自+2-%=3可判断BC；计

算出前2〃+1项中的奇数项和、

偶数项和可判断D.

【详解】对于A,因为。i=。，%=。1+1=1，。3=%+2=3,〃4=。3+1=4,。5=%+2=6,故A错误；

对于B,令〃=2左—1(%wN*),由已知可得知=〃2i+1，。2%+1=。2%+2,

所以a2k+\~a2k-\=3,又4=0,

所以%j=。+3(左一1)=3左一3,a2k=1+3(左一1)=3左一2,

令n=2k,所以左=3，当〃为偶数时，«„=^-2,故B正确；

对于C,由B可知，电加1一电1=3,令”=2左(左©]\*),由已知可得外k+\=a2k+2，a2k+2=a2k+\+，

所以。2A2=3,综上凡+2=凡+3,故C正确；

对于D,前2〃+1项中的奇数项和5奇=”2组(〃+1)=上段(〃+1),

前2九+1项中的偶数项和S儡=&产〃=二Z〃=11〃，

所以数列｛(T广%｝的前2n+1项和为S=S奇-S偶=上手(〃+1)-暝n=2n,故D正确.

故选：BCD.

举一反三

练习1.(2023・全国•高二专题练习)已知数列｛■满足4=1,1=<5""+"T"为奇数，记2=%，求数列｛4｝

q-2〃,〃为偶数

的通项公式.

-2n+2,“为奇数

2斤

【答案】。，=

士,"为偶数

【分析】推导出数列｛4｝（AeN*）为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列｛%）（此N*）的表达式，根据

数列｛4｝的递推公式可得出数列｛的i｝化eN*）的表达式，然后对"为偶数和奇数两种情况讨论，可得出数列｛%｝的

通项公式.

【详解】解:因为数列解“｝满足%=1,%=丁+1"为奇数，则电f,

册-2几，〃为偶数~一

因为2=a筋,所以，bk+l=a2k+2=|a2k+l+2左+1-1=；（%-4左）+2左=g%=%（左©N*）,

所以，数列色｝依eN*）是首项为白公比为[的等比数列，

所以，阳=%=!1£!4

因为。2%1+(2%-1)-1=5。2左-1+22-2,

所以，a2k-i=2a2k-4%+4=一4左+4.

„aa1

所以，当力为偶数时，设〃=2M《WN*）,则左=9所以，n=2k=—

2/

当“为奇数时，设”=2左一1伏eN*）,贝|左=罟，

11〃+1,1CC

止匕时，=正―44k+44=F—4X—y-+4=工—2〃+2.

2222

-4r-2几+2,〃为奇数

2丁

综上所述，a=<：

n4，”为偶数

_]%+〃,几为奇数,

练习2.（2023•吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列｛4｝满足％=1,岛为偶数

满足包=a2n.

⑴求数列出｝的通项公式;

⑵求数列乙二的前〃项和s，「

也〃+J

【答案】⑴d=%=〃+1

【分析】（1）根据数列｛%｝的递推公式依次写出4,出，％，4，%,，即可发现规律；

（2）由（1）可写出数列—的表达式，根据裂项求和的方法可求出前〃项和S”.

〔她+J

【"I羊解】（1）由题思知，4—1,%=%+1,—电—2,4=%+3,%—%-4,...,生”-1=%”-2—（2n—2）,

a2n=。2葭-1+2〃—1,从而b〃—a2rl=1+（1—2）+（3—4）+,—F（2〃一3—2zt+2）+2zi—1—n+1.

/、/、1_111W11111111

（2）由（1）皈r（/+D（〃+2厂所以S"=]一§+§一]+…=5一

zj_i_oYt-2k_1keN

练习3.（2023秋•安徽宣城•高三统考期末）已知数列｛%｝满足，。2=\"；一…,4=2,令＞“=%”.

3an一2,〃=2左，左£N

⑴写出伪，b2,并求出数列圾｝的通项公式；

⑵记c„=log3bn,求｛g｝的前10项和.

【答案】（1）4=4,%=12,d=4x3"i

（2）45+201og32

【分析】（1）由递推关系既可求得伪，b2,再由数列｛%｝的通项公式代入到么=的“，可求得数列圾｝的通项公式;

（2）将数列｛〃,｝的通项公式代入到%=log3b“，可求得%,由分组求和方法计算即可得出｛%｝的前10项和

[a+2,〃=2%—1,左£N*

【详解】（1）因为4=2,,所以％=4+2=4,。3=3/-2=10,«4=<7,+2=12

[3。〃—2,n=2K,KGIN

又b"=a?"，所以，4=a2=4,b2=a4=12,

当〃=2左一1,AwN*时，a2k=a2k-l+；

当n=2k,左eN*时，a2k+i=3a2k—2,

当上>1时，a2（k-i）+i=3%1）—2,即4k-i=3a2（J）—2,

a

则2k=+2=3%J）,•他=a2n=34（,_]）=32T,

数列也“｝是以4=4为首项,3为公比的等比数列，

故》=4x3*1

（2）由（1）可得g=1%4+〃-1,

记｛%｝的前项和为品），

贝!J$10=%+%+“3++〃10

=10(log34-l)+=45+2010g32.

an+cosn7i,〃为奇数

练习4.（2023•陕西安康•陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列｛%｝的首项为1M用n

an+COS7OT,〃为偶数

n+2

数列的前〃项和小于实数则M的最小值为（）

“用4,.2角

A-B-1D-I

【答案】C

【分析】先分奇偶求出通项公式，再应用裂项相消法即可得前〃项和，则得"的最小值.

【详解】当…*时，招*,嗡/

所以当〃为奇数时,是常数列.又4=1,

所以当〃为奇数时，4=?=1,即4="，

n1

当"为偶数时，an=an+i-l=n+l-l=n,

所以当“eN*时，an=n.

7〃+27n+211

设b“=a则(n+l)-2"+1~~n

Un+1UnN".2〃(〃+1"”

/、

111111I

故｛4｝的前几项和为4+匕2+4++bn=-2+2-3+...+

1x2'2x22x23x2n・2"+

1111

<2-当〃趋向于无穷大时，前"和趋向于1

1^2)~(n+l)-2n+1

所以M的最小值为，

故选：C.

练习5.（2023春•重庆渝中•高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列｛《,｝满足：①％=5；②

%+2,（〃为奇数）

w.+2（为偶器.则｛帽的通项公式%=

an+\=;设乂为｛%｝的前"项和，贝"邑⑵,（结果用指数累

表示）

n+3

3〒-4,(“为奇数)

【答案】1013

n+22X3-6079

3方-2,(w为偶数)

【分析】当〃为奇数时令〃=2左-1,左eN*可得出上=01+2,当，为偶数时令”=2左，左eN*,可得

出E+4=3（%I+4）,即可得到｛%"1+4｝是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求

和法计算可得.

【详解】当〃为奇数时％+i=%+2,令〃=2氏-1,此N*,贝！|%«=。21+2,

当”为偶数时风包=34+2,令n=2k,keN*,则%=34上+2=3（%1+2）+2=3%i+8,

则a2k+i+4=3（%"]+4）,

当％=1时4+4=9,所以｛%j+4｝是以9为首项，3为公比的等比数列，

所以g-+4=9x3i=31，

fcA

所以明=3-4,则a2k=*+2=32一4+2=3川一2,

n+1n+1,n+3

当〃为奇数时，由“=2左一l#eN*,则左=卓，所以q=3h一4=3〒一4,

2n

当几为偶数时，由〃=2左水£N*,则左=],所以%=3导|_2=3等_2,

n+3

3~-4,(“为奇数)

所以＜〃+2

-2,（〃为偶数）

所以S2023=(《+/++/023)+(%+。4++%022)

=(32+33++31013-4X1012)+(32+33++31012-2x1011)

\

-4x1012-2x1011

7

=2X31013-6079

n+3

3〒一4,(〃为奇数)

故答案为：册=n+2,2x3皿3一6079

3〒-2,(〃为偶数)

题型二公共项数列

例3.（2023春•河北石家庄•高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列｛见｝,｛〃｝的通项公式分别为4=3”-1和

^,=4n-3（neN*）,设这两个数列的公共项构成集合A,则集合Ac｛H〃W2023,"eN*｝中元素的个数为（）

A.167B.168C.169D.170

【答案】C

【分析】利用列举法可知，将集合A中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为｛c,J,可知数列｛%｝为等差数列,

求出数列｛%｝的通项公式，然后解不等式c.42023,即可得出结论.

【详解】由题意可知，数列｛%｝：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、L,

数歹！5、9、13、17、21、25、29、33、37、L,

将集合A中的元素由小到大进行排序，构成数列｛4｝：5、17、29、L,

易知数列｛的｝是首项为5,公差为12的等差数列，则。“=5+125-1）=12〃-7,

由c,=12〃-7W2023,可得"V&^=169+L

66

因此，集合Ac｛〃1V2023,”eN*｝中元素的个数为169.

故选：C.

例4.（2023•江苏南通・统考模拟预测）已知数列｛%｝是公差为3的等差数列，数列也“｝是公比为2的等比数列，且

满足4+4=々+8+b3,a2+a4=b2+”.将数列｛%｝与也｝的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列｛%｝.

⑴证明：cn=b2n-

⑵求数列｛%c,｝的前〃项和.

【答案】（1）证明见解析

⑵s,=w+|

【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出4,4，得到｛4｝,也“｝的通项公式，进而判断出是数列｛q"的项，

即可证明；（2）利用错位相减法求和.

【详解】（1）由％+生=伪+优+&，得2《+6=74，

由出+&=°2+°4,得2%+12=106],

解得，％=4也=2.

因为数列｛%｝的公差为3,数列｛a｝的公比为2,

所以=3〃+1也=2"

4=2不是数列｛5｝的项，瓦=4是数列｛6｝的第1项.

设a=2*=3〃z+l,则

仄+]=21=2x2&=