2021年高考数学（文）二轮复习讲义+分层训练

解密04函数的应用

真题再现

1.(2020•海南高考真题)基本再生数Ro与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感

染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数

模型：1(f)=e”描述累计感染病例数/⑺随时间r(单位:天)的变化规律，指数增长率r与Ro,T近似满足Ro

=l+rT.有学者基于已有数据估计出Ro=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1

倍需要的时间约为(ln2Y).69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【详解】

328—1

因为4=3.28,T=6,风=1+出,所以厂=———-=0.38,所以==e"38,

6

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为％天，

则6。幽.)=2eo.38r,所以=2,所以0.38%=In2,

In20.69

所以％=亡1.8天.

038038

故选：B.

2.(2020•全国高考真题(文))Logis方c模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公

布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/«)«的单位：天)的Logisfic模型：/(')=i+e—鼠的，其中K

为最大确诊病例数.当/(/*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则/*约为()(lnl9~3)

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【详解】

/«）="£（』），所以4*）=]+e：（f=0-95K,则6。训』）=19,

所以，0.23“*—53）=11119^3,解得/*士言+53y66.

故选：C.

强化集训

1.（2021・山西吕梁市・高三一模（文））函数〃耳=2'+165的零点％«。—1,可，4€^，则。=（

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

113

已知/（1）=2+^—5<0,/（2）=4+--5<0；/（3）=8+1-5>0,所以/（2）・/（3）<0,可知函

数零点所在区间为[2,3],故。=3.

故选：C.

3尤_尤？—|-2%^^*0

2.（2020•辽宁丹东市•高三二模（文））关于函数/'（%）=--',，有下述四个结论：

2cos%,x<0

①〃九）是周期函数.

②/（九）在[—石1]上单调递增.

③/（%）的值域为（—8,2].

④若函数y=/(九)—7篦有且仅有两个不同的零点，贝Ume(2,4).

其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】C

【详解】

当x>0时，/(x)=—%3+3x+2,

所以/(%)=—3/+3=—3(尤2—1),

令/(x)=0得：1=1或%=—1,

所以当xe(O,l)时,/(%)>0,/(%)递增,

当X«1,+00)时,f(x)<0,/(尤)递减,

且/(*)1mx="1)=4，

则/(尤)的图象如图所示：

由图可知:

/(九)不是周期函数，故①错误;

/(九)在[—万』上单调递增，故②正确；

/(%)的值域为(—,4],故③错误；

若函数y=/(尤)-%有且仅有两个不同的零点，即函数>=巾与函数y=/(%)有两个交点，所以由图可知:

e(2,4),故④正确.

综上，②④正确.

故选：C.

_3x+2x<]

3.(2020•天津高三一模)已知函数/'(%)='—若关于x的方程/(x)=ox-a恰有1个实

Inx,x>l

根，则实数。的取值范围是()

A.[-1,O]U[1,H<»)B.(YO,T([0,1]

C.[-1,1]D.(-co,-l]ul,+co)

【答案】A

【详解】

2

由y-x-3x+2y'—2x-3,y|x=1=2-3=-l,

由y=111%得；/=工，,，4i=：=].

作出函数/(X)的图象，和直线丁=四一。，直线y="—a恒过(1,0)点，知ae[—1,0]工+8)时，关于x

的方程/(x)=ax-a恰有1个实根，

故选：A.

2卜+2|_2_4<x<-1

4.(2020•河北邯郸市•高三二模(文))已知i一'若函数

log2(x+l),-l<x<4,

g(x)=/2(x)—时(x)—1恰有5个零点,则实数机的取值范围是()

A.],|]B.C.(0,2)D.(0,2]

【答案】B

【详解】

解：作出函数〃尤)的图象如图所示，

令=f,

则由图可知，当1)(2,log25]时，方程/(x)=只有一个根；当fe{-Q「(O,2]时，方程

/(%)=/有两个根；当1,0]时，方程〃尤)=/只有一个根；

显然/■=0不是方程r—mt—1—Q的根;

若/=—1是方程「—根,—i=o的根，则机=0,此时"±1,结合图象可知，此时方程/(九)=1和方程

〃尤)=-1共有4个根，则函数g(x)有4个零点，不满足题意；

Ag("=/⑴―对⑴—1恰有5个零点等价于方程/(%)=/恰有5个实根,等价于方程广—皿―1=0

的一个根在(—1,0)，一个根在(0,2],

=m>0

令h（t）=F-m-L则<4（0）=-1<0

/7（2）=4-2m-l>0

3

/.0<m<—,

2

故选：B.

5.(2020•哈尔滨市•黑龙江实验中学高三三模(文))已知函数y=l+21nx]xeJe]的图象上存在点”，

函数的图象上存在点"，且点M,N关于原点对称，则实数。的取值范围是()

A.0』+gB.[0,e2-3]C.1+0/-3D.l+，，+f

【答案】B

【详解】

函数y=-/+a的图象与函数》=必一。的图象关于原点对称，

则原题等价于函数V=1+21nx(xeJe"的图象与函数y=一一。的图象有交点，

/

即方程1+2111%=%2-。xe有解,

/Je口有解,

即a二%2一1-21nJTxG

令/"(x)=k-l-21nxxe

2（一）.

则/'(%)=lx--=

x

当xe-,1时，/,(x)<0,

当XG[l,e],/'(尤)>0,故/(x).=/(1)=0,

由了+1,f(e)=e2-3,

故当x=e时，3

故a的取值范围为[0,e2—3].

故选：B.

logix,x>0

3

6.（2020・内蒙古鄂尔多斯市・高三二模（文））已知函数/（%）=<X，若关于X的方程/[/（%）]=。

/1

a-|,x40

3

有且只有一个实数根，则实数。的取值范围是（）

A.(—j0)(0,1)B.(-oo,0)1J(l,+oo)

C.(—8,0)D.(0,1)0(1,+«))

【答案】B

【详解】

解：设/=/(%),则/。)=。有且只有一个实数根.

当a<0时，当XW0时，=<0,由/⑺=0即l°gj=。，解得:1,

结合图象可知，此时当£=1时，得〃力=1，则x=§是唯一解，满足题意;

当〃=0时，此时当无<。时,此时函数有无数个零点，不符合题意;

当〃>0时，当]<0时，/(X)£,,+8),此时/(X)最小值为。，

结合图象可知，要使得关于X的方程力/(x)]=0有且只有一个实数根，止匕时

综上所述：«<0或々>1.

故选:B.

7.(2020・陕西西安市・西安中学高三三模(文))设函数〃力是定义在夫上的偶函数,且/(1+2)=/(2—%),

(万丫

当xe[—2,0]时，/(%)=旺一1,若在区间(—2,6)内关于尤的方程/(力—1鸣,(％+2)=0">0且

I27

awl)有且只有4个不同的根，则实数。的取值范围是()

A.[-71]B.—C.(1,8)D.

【答案】D

【详解】

:对于任意的xeR,都有2)=/(2+x),

.■./(x+4)=/[2+(x+2)]=/[(x+2)-2]=/(%)

；・函数”可是一个周期函数，且T=4.

又•.•当xe[—2,0]时，=-1,且函数/(可是定义在R上的偶函数，

若在区间(—2,6)内关于x的方程/(x)-loga(x+2)=0恰有4个不同的实数解，

则函数丁=/("与y=抽“(X+2)(4>1)在区间(—2,6)上有四个不同的交点，如下图所示：

又2)=〃2)=〃6)=1,

则对于函数y=log“(x+2),

由题意可得，当x=6时的函数值小于1,

即log08<1,

由此解得：a>8,

.'.a的范围是（8,+8）

故选：D.

8.（2020.广西桂林市.高三一模（文））已知函数/（x）=23r,若函数g（x）=/（W）—2/"一〃，有两个

零点，则实数用的取值范围为（）

J12E2；

（I-A/5i+F

122J

【答案】D

【详解】

令g(x)=。,即/(国)-2/"-时=0,

又因为/(x)=23f,

所以2到M_24dM甸=0，即23Tx=2H「甸，

所以3—国=4—同-m|,即|x|=|m2-m|-1,

因为函数g(x)=-m)有两个零点，

则|乂=帆2-问一1有两个零点，即y=\x\与y一机|一1有两个交点,

所以帆~一同一1>0,即/—“2>1或疗—“2<—1,

/

显然根2—加>1的解集为-8,,十。，

/

m2一根<—1无解,

故选：D

9.(202。全国高三零模(理))为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳

伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线

时，表示收入完全不平等.记区域A为不平等区域，a表示其面积，S为△OKL的面积，将Gini=£称

为基尼系数.

累

计

收

入

百

分

比

累计人口百分比(%)

对于下列说法：

①Gini越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为丁=/(%),则对Vxe(0,D,均有△卫>1；

X

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=/(无e[0,l]),则Gini=；；

④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=无3(X€[0,1]),则Gini=1.

其中正确的是：

A.①④B.②③C,①③④D.①②④

【答案】A

【详解】

对于①，根据基尼系数公式Gini=£,可得基尼系数越小，不平等区域的面积。越小，国民分配越公平，所

以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得VxeQD，均有/(X)＜X,可得也＜1,

X

1

所以②错误.对于③，因为4=「5一/)心=(!/一%3汴=:，所以Gini=/