2022-2023学年浙江省重点学校高一（下）期中联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省重点学校高一(下)期中联考数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合A={x∣2<>l},B={x∣mx>l},则集合A∩(CRB)为()

A.{x∣0<X<e]B.0C.{x∣x>e}D.{x∖x≤0)

2.设Z=a+(a+l)i(a,b∈R)在复平面内对应的点为M,则“点M在第一象限"是''α>

-1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

3.函数/^(x)=logn(x+机)恒过定点(-2,0),则Tn的值()

A.5B.4C.3D.2

4.设α,/?是两个不同的平面，1,m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是()

A.若Ica,TnUβ,则ILzn

B.若，lα,ILβ,

C.若m_L。，aA.β,则m〃a

D.若，且2与α所成的角和Tn与/?所成的角相等，贝〃〃m

5.在△力BC中，内角4,B,C所对应的边分别是α,b,c,若△4BC的面积是W⅛±Z≤!1,

4

则4=()

A.B.⅞C.IDT

J3b6

6.如图所示，AABC中，点D是线段BC的中点，E是线段A

B.3

C.5

D.8

7.已知/(x)是定义在R上的函数，且/(尤+1)为奇函数.若函数g(x)=ln(√x2-2x+2-

X+1)与函数f(X)图像有5个交点，其横坐标从左到右依次为与，不，去，与，&，则∑L∕=()

A.0B.5C.6D.10

8.如图，正方体ACl的棱长为α,作平面α（与底面不平行）与棱4通，

B1B,C1C,DlD分别交于E,F,G,H,记E4,FB,GC,HD分别

为hi,h2>h3,h4,⅛Λ1+h2=2h3,h3+h4=3h3>则多面体

E尸GHABC。的体积为（）

7777

Q2BQ2CQ2D

18-6-4-2

10ah4

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为：2,6,8,3,3,4,6,8,

关于该组数据，下列说法正确的是（）

A.中位数为3B.众数为3,6,8

C.第40百分位数为3.5D.方差为4.75

10.己知甲罐中有三个相同的小球，标号为1,2,3；乙罐中有四个相同的小球，标号为1,

2,3,4,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件4="抽取的两个小球标号之和

小于5"，事件B="抽取的两个小球标号之积为奇数”，则下列说法正确的是（）

A.事件B发生的概率为:B.事件4UB发生的概率为:

C.事件AnB发生的概率为之D.事件A∩B发生的概率为:

64

11.在AABC中，角4B,C所对的边分别为α,b,c,己知α=2,B=E则下列结论正

O

确的是（）

A.当b=|时，△4BC有两解

B.当b=3时，△48C有两解

C.当A为钝角时，AABC为面积的取值范围为（0,亨）

D.当△力BC为锐角三角形时•，△ABC的周长取值范围为（3+2+2门）

12.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，

即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为30的

正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为α

的截角四面体，则下列说法正确的是（）

A.AB1CGH

B.二面角B-FH-K的平面角余弦值为g

C.该截角四面体的外接球表面积为三兀。2

D.该截角四面体的表面积为6∕3a2

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知i为虚数单位，复数Z满足z(l+i)=∣l+i∣,则5的虚部为.

14.已知向量方在单位向量方方向上的投影向量为一2正则(五一B)∙Z=.

15.已知某圆锥的侧面积为√^引r,该圆锥侧面的展开图是圆心角为学的扇形，则该圆锥

的体积为.

16.函数f(x)满足：①/(%)在阿句内是单调递增函数；②f(x)在［α,句上的值域为［kα,∕⅛］,

则称区间［α,b］为y=∕(x)的Zc级“调和区间”.若函数/(x)=/_2x+4存在k级“调和区

间”，贝Ik的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知：心方是同一平面内的两个向量，其中a=(1,2).

(1)若且方+另与方垂直，求日与方的夹角。；

(2)若B=(1,1)且H—3E与24+49的夹角为锐角，求实数；I的取值范围.

18.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=∣sinωx—∙^sin(ωx+¾(ω>0)在区间［0,阳上恰有3个零点，其中3为正整

数.

(1)求函数F(X)的解析式；

(2)将函数/(X)的图象向左平移挣单位得到函数g(x)的图象，若屿)=会求g(-α)的值.

19.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱4BC-4BιG中，平面AlBCL平面4BB14,侧面4BB14是边长为2的正

方形，。，E分别是AC与BIG的中点.

(1)求证：CE〃平面4BB12；

(2)求证：AB1BC；

(3)若BC=2,求直线CD与平面BDE所成角的正弦值.

20.(本小题12.0分)

某地为了了解市场经营户年收入情况，随机抽取60家经营户，经统计，这60家经营户去年经

营收入(单位:万元)均在区间[4.5,10.5]内，按[4.5,5,5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),

[9.5,10.5]分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第80百分位数

为8.9.

(1)求a,b的值：

(2)估计这60经营户年收入的平均值(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；

(3)用分层抽样的方法在收入区间为[658.5)的营业户中抽取一个容量为6的样本，将该样本看

成一个总体，从中任取2个，求至多有1户在收入区间为[7.5,8.5)内的概率.

频率

≡⅛,

O"4.55.56.57.58.59.510.5收入/万元

21.(本小题12.0分)

在平面四边形ABCD中，乙4BC=60。,NADC=120。，点B,。在直线AC的两侧,4B=1,BC=2.

(1)若4ZMC=15°,求线段4。的长度；

(2)求4ABDVAACC的面积之和的最大值.

22.(本小题12.0分)

己知函数/(x)=/+αχ+b(a、ð∈/?),g(x)-Ix-22~x+1.

(1)设/Q)≤0的解集为4/[/(X)]≤3解集为B,若4=求实数α的取值范围；

(2)已知函数∕ι(x)的图象关于点(1,1)对称，当X∈[0,1]时,∕ι(x)=((X),若对任意的与∈[0,2],

总存在Λ⅛6[0,2]，使得∕ι(xι)=9(X2)，求实数b的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由2才>1=2°解得力=(0,+8),

由ZmC>1=Ine解得B=(e,+∞),所以CRB=(-∞,e],

所以An(CRB)=(O,e],即{x∣0<x≤e}.

故选：A.

根据指数函数，对数函数的单调性解得集合4B,然后根据集合的补集运算和交集运算能求出结

果.

本题考查指数函数，对数函数的单调性、集合的补集运算和交集运算等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：根据复数的几何意义可知，若点M在第一象限，则

得α>0,则{a>>0}S{a∣α>—1),

所以“点M在第一象限”是“。>一1”的充分不必要条件.

故选：A.

首先求ɑ的取值范围，再根据子集关系，判断充分，必要条件.

本题主要考查了复数的几何意义，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解:因为函数f(x)=Iogn(X+Jn)恒过定点(-2,0),

所以IogJI(-2+m)=O,

所以一2+巾=1,解得m=3.

故选：C.

根据题意可得logn(-2+m)=0,结合对数的运算性质，即可得解.

本题考查对数函数的性质，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能

力，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：A选项，若aJ.0,，Uα,ma.β,[与m可能相交、平行、异面，所以A错误；

B选项，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以B正确；

C选项，若m10,a1.β,则πιuα或m〃a,所以C错误；

。选项，若，且/与α所成的角和m与S所成的角相等，1与Tn可能相交、异面、平行，所以。错误.

故选:B.

A,根据面面垂直的性质定理判断；B,根据线面垂直的性质定理判断；C,根据面面垂直的性质

定理判断；D,根据面面平行的性质定理判断.

本题考查空间中直线、平面之间的位置关系，是基础题.

5.【答案】A

2

【解析】解：已知AABC的面积是口(庐+。2-。2),利用余弦定理z√+c2—a=2bccosA,

4

整理得：hcsinA==?bcc。SA

24Cf"2)

所以tαn4=，耳，由于4e(0,τr).

则4=1

故选:A.

直接利用三角形的面积公式和余弦定理建立方程，再利用三角函数的值求出A的值.

本题考查的知识要点：三角形的面积公式，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的理解能力

和计算能力，属于中档题和易错题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意可知，BC=2BD,

又E是线段4。上的动点，则可设荏=2而，且4∈[0,1]

所以而='BA+AE=^BA+λAD=^BA+λ(βD-R4)=(1-λ)^BA+λBD

则或=+y前=X市+2y前，所以则x+2y=l,且x>0,y>0

所以®=工+白=(工+Z)(x+2y)=2+2+2+”≥4+2∣土竺=8,当且仅当=§，即X=

xyyXvyχzvy%y∣yχyχ

∣,y=即寸等号成立,

所以Wg的最小值为8.

χy

故选：D.

利用平面向量共线定理与线性运算即可得X+2y=1,且x>0,y>0,再结合基本不等式“1”

的代换即可求得最值.

本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：∙∙∙f(x+l)为奇函数，函数图像关于原点对称，且/(x+l)是由/Q)向左平移1个单

位长度得到，

∙∙∙f(%)的图像关于点(1,0)对称，

对于函数∕ι(X)=ln(ʌ//+1—久),定义域为R,

有八(—x)+∕ι(x)=ln(√X2+1+x)+ln(√x2+1—%)=Inl=0，

.•・函数∕ι(x)为奇函数，其图像关于原点对称，

；・函数g(x)=∕ι(x-1)=ln[√(%-I)2+1-(x-1)]的图像关于点(1,0)对称，

∙'∙ɪɪ+ɪʒ=2,%2+刀4—2,ɪɜ=1,∙*∙ɪ^ʒ-ɪXi=5.

故选：B.

由题意可得，函数g(x)与函数/(x)的图像都关于点(1,0)对称，有%=2,x2+x4=2,x3=1,

可求和.

本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数求值中的应用，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得:

EF//GH,EH//FH,

二四边形EFG”是平行四边形，

连结AC,BD交于点。，连结EG,FH,交于点

连结Oo1，则九1+h2=h3+h4=2001,

,∙*/lɪ+Λ∙2=2九3，九3+九4=3九3，

425

∙∙∙h1=-h3,h2=-h3,h4=-h3,

•••两个多面体EFG/MBCD可以拼成都市个长方体,

；・多面体EFG/L4BCD的体积为：

21+72727272

=ɑ/ɪɜ-α=QcI-α^-Q^l

26-8-14-4∙

tI10

故选C

由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得四边形EFGH是平行四边形,连结AC,BD交于点O,

连结EG,FH,交于点01，连结。。「则比+电=坛+七=2。。「由两个多面体EFG从4BCO可

以拼成都市个长方体，能求了多面体EFGHyIBCn的体积.

本题考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

9.【答案】BD

【解析】解:将次品数由小到大排列:2,3,3,4,6,6,8,8,

则中位数为竽=5,故A错误；

众数为3,6,8,故B正确；

因为8X40%=3.2,所以第40百分位数为4,故C错误；

因为X=3O(2+3+3+4+6+6+8+8)=5,

所以s2=白(2-5)2+2(3—5)2+(4-5)2+2(6—5)2+2(8—5)2]=4.75,故。正确.

故选：BD.

先将次品数由小到大排列，然后根据中位数，众数的概念可判断AB；根据百分位数和方差公式计

算可判断CD.

本题主要考查了中位数、众数和百分位数的定义，属于基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有12个基本事件，如下：

11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,

抽取的两个小球标号之和小于5的有：11,12,13,21,22,31,共6个，

抽出的两个小球标号之积为奇数的有：11,13,31,33,共4个，

所以P(B)=W=J故4正确；

事件AUB包含的基本事件有：11,12,13,21,22,31,33,共7个,

所以POIUB）=卷，故B错误，

事件4CB包含的基本事件有：11,13,31,共3个，

所以PaInB）=W=/故C错误，O正确.

故选：AD.

首先求出样本空间，再根据选项，列出所有满足条件的样本点，结合古典概型公式，即可求解概

率.

本题考查了古典概型的概率求值问题，是基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于Z，由正弦定理得α∙s讥B=2•"=1,BPasinfi<b<a,所以A4BC有两解,

选项A正确;

对于B,由8>。，且8=[,所以△4BC有一解，选项B错误;

O

对于C根据正弦定理施=肃,得C=需=鬻

sin(4+∣)√3

所以”.Be=^acsinB=鬻l1

—SinA-ɪ+2tanA

因为Ae当，所以4e（-q,0）,即UBC为面积的取值范围是（0,0）,选项C正确;

CtOLClTlZi，

对于D，由正弦定理急=焉即高=｝解得b=高

所以△?!BC的周长为α+b+c=2+」一+ZsinC_2+焉+2sin(A+^)

SinASinASinA

2cos2^

C.l+√^^5sιn4+cos4„./-≈.=2+C+点,

24----------------=2+√3+ɔAA

SinAZSl∏2cos2

因为ATlBC是锐角三角形，所以AeGE）,所以tan^€（?”），

所以AABC周长的取值范围是（3+，？,2+2，豆），选项。正确.

故选：ACD.

根据判断三角形解的个数的公式，即可判断48；根据正弦定理表示边长，结合面积公式，和周长

公式，转化为三角函数求取值范围问题，即可判断CD.

本题考查了判断三角形解的个数以及正弦定理的应用问题，也考查了转化思想，是中档题.

12.【答案】ABC

【解析】解：对于4先证明正四面体的对棱互相垂直，如图在正四面体ABCD中，ABlCD,证

明如下：

取CD中点为O,连接OB,A0,

由于四面体为正四面体，所以ABC。，ZkACO均为等边三角形，

⅛⅛CDLBO,CDLAO,A0(∖0B=0,B0,4。U平面AOB,

所以CD1平面40B,

ABU平面AOB,故ABlCD,

还原正四面体如下图:

因此在截角四面体中，AB//NQ,在正四面体SNPQ中，SP1NQ,所以力BJ.CG,故A正确；

对于B,由于截角四面体的特征可知：六边形ABDEKJ,六边形EFH/LK和六边形BCGHFO均为边

长为ɑ的正六边形，

所以KFIFH,BF1FH,故NBFK即为二面角B-FH-K的平面角,

由正六边形的性质可得KF=y∏a=BF1BK=2α,

BF2+KF2-BI<2_222

所以CoSNBFK=3α+3α-4α_1故B正确;

2BF∙KF-=2×√-3a×√-3a3

对于C,设外接球的球心为。，△4BC的中心为O',ZiNPQ的中心为。”,

因为截角四面体上下底面距离为门a-?a=号

所以√R2-OU+√/?2_o"H2=亨a，

所以JR2-^+√R2一。2=亨所以Ifi2—y=马产a—√R2—a2'

所以/?2—y=Iα2+/?2—α2—a・√R2—a2

所以R2=等Q2,

所以S=4TΓR2=¥7τa2,故C正确；

对于D,由正四面体S-NPQ中，题中截角四面体由4个边长为a的正三角形，

4个边长为a的正六边形构成，故S=4χda2+4x6χWa2=7Ca2,故。错误；

44

故选：ABC.

根据题意还原正四面体，根据正四面体的几何性质，结合平行关系即可判断4由二面角的定义，

结合几何法，由余弦定理即可求解B；设外接球的球心为O,44BC的中心为O',ANPQ的中心为

0",再根据题意得截角四面体上下底面距离为J%a-?a=殍a，所以√产一。(2+

√R2-0"H2=警a，即JR2_.+JR2-2=亨a，即可求解半径，进而判断C；对于C：

CI

因为截角四面体由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成，求面积即可判断.

本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了多面体的外接球问题，属于中档题.

13.【答案】ɪ

【解析】解：因为z(l+i)=∖l+i∖,

所以Z=空=昌Fl=乎=?—苧］

l+ι(l+ι)(l-ι)222

所以2=殍+浮3则W的虚部为殍.

故答案为：fl.

利用复数的模长与除法运算化筒得复数Z,从而可得共聊复数3的虚部.

本题主要考查复数的四则运算，以及共物复数的定义，属于基础题.

14.【答案】3

【解析】解：由向量石在单位向量五方向上的投影向量为-2砥可得万7=-2片=—2,

所以位一Wq=片一小3=1-(-2)=3.

故答案为：3.

根据题意得到五・了=-2片=一2,结合@一名)・五=五2一五即可求解.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

15.【答案】y

【解析】解：设该圆锥的母线长为2,底面圆的半径为r,由室与2=口乃，

得，=，亏因为2πτ=X√^^5t所以r=1>

所以该圆锥的体积为上×π×√^^5→=ɪ.

故答案为：y∙

由扇形的面积公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长与底面圆的半径，由体积公式求解.

本题考查圆锥的体积，考查学生的运算能力，属于中档题.

16.【答案】（2,3]

【解析】解：若函数/CO=/—2x+4存在k级“调和区间”，贝吆2=（一：：+：=然，

所以α,b是方程/一（k+2）κ+4=O的两根，

又因为f（x）-X2-2x+4的单调递增区间为[L+8）,

所以，当方程产一（k+2）久+4=O存在两个大于等于1的不相等实数根时满足题意，

4=（k+2）2—16>O

警>1,解得2<k≤3,即k的取值范围为（2,3].

{l-（k+2）+4≥0

故答案为：（2,3]

根据“调和区间”的定义列方程组，将问题转化为方程/一（k+2）x+4=O存在两个大于等于1

的不相等实数根的问题，然后利用韦达定理可解.

本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题.

17.【答案】解：（1）由n=（1,2）,可得|五|=「，且|方|=?，

因为五+b与b垂直,可得（五+6）∙b=日∙b+6=0）

所以五•石=—另2=—：,所以cos。=看今=一:，

4Ialgl2

又因为。€[0,网，所以O=条

(2)由W=(L2)范=(L1)，可得五一39=(一2,—1)，2α÷Λ6=(2+λ,4+Λ),

因为五—3K⅛2α+焉的夹角为锐角，

所以@-3h)∙(2α+ΛK)=-2(2÷Λ)-(4÷Λ)＞O且一2×(4+A)≠-1×(2+A),

解得aV—5且aH—6,

所以实数a的取值范围为(—8,—6)U(―6,—.

【解析】⑴由方+另与B垂直，求得五不=一片=一"进而得到cos。=—/即可求解；

4Z

(2)因为方一3石与21+4石的夹角为锐角，得到(五一3至)∙(2方+/1区)＞0且不共线，列出方程组,

即可求解.

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

18.【答案】解：(l)∕(χ)=∣sinωx—ɪsin(ɑiɪ+^)=∣sinωx—ɪeosɑiɪ=sin(ωx-

Lrzʌ3τΓ]Tr-IT37rTc

V%∈[θ,ʒ-j,--≤ωx--≤-ω--,

f(x)在区间上恰有3个零点，所以2τr≤竽3冶＜3兀，

解得昔≤3＜等3为整数，所以3=2.

所以/(x)=sin(2x-2).

(2)因为g(x)=f(x+5=Sin(2x+≡),则g6)=sin(α+≡)=

可得g(-α)=sin(-2α+=Sinw-2(α+^)]=cos2{a+1),

=I-2si"2(α+看)——ɪ.

【解析】⑴化简f(x)=sin(3X-g),根据f(x)在区间上恰有3个零点，可得学≤3＜羿结合3

∙5yy

为整数可得答案

(2)求出g(x)=/(x+=sin(2x+ξ),根据弱)=/可得sin(α+看)=[，然后利用二倍角的余弦

公式可得答案.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：取4当中点凡

B

连接EAAF,则EF&EF=^A1C1,AD∕∕A1C1,AD=A1C1,

所以EF〃40,EF=AD,所以四边形AFED是平行四边形，

所以DE〃人F,DEe平面ABBlA°AF<∑^ABB1A1,所以DE〃平面ABBl

(2)证明：连接ABlnalB=。，∙.∙ABBιAι是正方形，.∙.AB】IAiB,

又平面4BC1平面4BB14且交线为4#,ABlU平面人口当公，

.∙.他_L平面AlBC,又BCU平面ZlBC,.∙.BC1AB1,

又直三棱柱4BC-&B£中，BE】J_平面ABC,BCU平面4BC,

ʌBC1BB1,又ABl∩BBl=B1,ʌBC平面ABBla1，

又ABU平面ABBlAl.∙.BCIAB.

(3)设C到平面BoE的距离为∕ι,

因为ABJ.BC,D为4C中点，所以BD==/2,

2

BE=√+B1E=√-5,DE=AF=BE=√^^5,

13

21

叉5Z=

βOE=-XXl=-5C

2√2K?)2ΔFD

34

h

-=-

23

4,—

记直线CD与平面80E所成角为。，贝IJSina=ɪ=—.

v23

所以直线CO与平面BDE所成角的正弦值为小.

【解析】(I)证明DE〃平面ABBlA1，取AIBl中点F,只需证明DE〃4F；

(2)要证ABlBC,只需证明BCL平面4BB14,由线面垂直的性质及直三棱柱得证：

(3)由等体积法，求出点C到平面8。E的距离，根据直线与平面所成角的定义求解即可.

本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定定理与性质，线面角的求解，属中档题.

20.【答案】解：（1）依题意得0.10+0.15+0,15+a+b+0.05=1,

即α+b=0.55,又第80百分位数在［8,5,9.5）,

0.05+0.6b=1-0.8,解得a=03,b=0.25.

（2）x=5X0.1÷6X0.15+7×0.15+8×0.3+9×0.25+10×0.05=7.6.

（3）在［6.5,7.5）有9户，在［7.5,8.5）有,18户，

所以在［6.5,7.5）抽取2户，在［7.5,8.5）上抽取4户,

设在［6.5,7.5）抽取的2户，

设为A2,在［7.5,8.5）上抽取4户，设为名，B2,B3,B4,

任取2户的所有情况为&&，A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A1A2,A1B1,

,

AyB2»AlB3,√41B4›42δι,A2B2>A283，A2B4,B^B2,B1B3,BIB4,B2B3，B2B3B4,共15种情

况，

其中至多有1户在［7.5,8.5）内的样本点包含&4，4当，4私，公用，AiB"A2B1,A2B2,A2B3,

A2B4,共9个，

设至多有1户在［7.5,8.5）内为事件A,则P（A）=得=|.

【解析】（1）根据频率和为1，以及80百分位数计算公式，列式求解；

（2）根据频率分布直方图的平均数公式，列式求解；

（3）首先计算出区间［6.575）和［7.5,8.5）的频数，再利用分层抽样，计算出抽取的户数，结合样本空

间，和古典概型公式，即可求解.

本题考查频率分布直方图相关知识，属于中档题.

21.【答案】解：（1）由题意作出平面四边形ZBCD,如图所示：

在△力BC中，由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB∙BC-cos∆ABC=l+4-2×1×2×∣=3,即AC=√^3,

在△力BD中，NDAC=15。，∆ADC=120°,所以乙4C。=45°,

由正弦定理得磊=谷,即AD=等翦=q⅛等=C

所以线段4。的长度为JN.

(2)由(I)知：AC=C，即BO?=AB2+AC?,所以NC4B=5,

在AACD中，设皿D=9∈(0,)),则乙4CD=尹。，

则由正弦定理一名=者π7,

SInNTlCOs∖r∖∆ADC

HWFihMCAGsinzACD√^3sin(ξ-Θ)π

即得到4。=~^ΣADΓ=—宣一=2sm⅛^θ)'

2

所以△ACD的面积S0cD=∖AD∙ACsin∆CAD=∣×2sinξ-θ)×y∏×sinθ,

化简得SAACD=√^^sin(^-0)-sinθ,

在AABC中，∆BAD=5+氏

所以△ABD的面积SMBD=^AD'ABsin∆BAD=TX2sin(^-θ)×1×SinG+0),

化简得SAABD=SinG-θ)∙cosθ,

cosθ

故4ΛBD∙⅛∆AC。的面积之和S=S1^ACD+SXABD-V^^sin(∣-0)∙sinθ+SinG-。),

=SinG-θ)(yj~3sinθ+cosθ)=2sin(^—O)COSq-0)=sin2(^-0)=Sin卷-20).

因为。∈(0(),则称一206(0,当，

可知当年一2。=即。=鄂hS取到最大值1,

即小∕1BD⅛∆ACO的面积之和的最大值为1.

【解析】(1)根据条件在AABC中，由余弦定理得到4C,再在AABD中结合条件和正弦定理，即可

得到4。的长度；

(2)设“AD=Oe(O5)，从而得到NACC=1。，∆B