《利用三角形全等测距离》 示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

第四章三角形4.5利用三角形全等测距离教学设计一、教学目标1.会利用三角形全等测距离；2.体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活实际问题．二、教学重点及难点重点：学会利用三角形全等的知识将“不可测量的距离”转化为“可测量的距离”．难点：如何构建全等的模型把实际问题转化成数学问题（即建模）在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片五、教学过程【复习巩固】1．复习全等三角形的性质及判定条件2．在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！（以小组为单位抢答或个人抢答或根据不同情况而定）题如下：设计意图：通过第1个问题的提问可以温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础；第2个问题是为学习新内容作铺垫，向学生进一步渗透理论联系实际．【问题情境】引入一位经历过战争的老人讲述的一个故事，（图片显示）；在一次战役中，为了炸毁与我军阵地隔河相望的敌军碉堡，需要测出我军阵地到敌军碉堡的距离．由于没有任何测量工具，我军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功．配合简图如下:教师提出问题：你知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？设计意图：用真实的故事导入新课，体现了三角形全等在生活中的广泛应用，适时的提问，激发了学生的学习积极性和好胜心．学生独立思考后，小组间相互交流看法．教师要注意帮助学生审题，引发学生思考，并有主动尝试利用三角形全等来解决实际问题的欲望，从而引出课题---利用三角形全等测距离．【探究新知】探究一：情境探究(1)学生亲自体验战士的测量方法．学生利用已有的材料(如书本等)作帽檐，分小组在教室或操场上按照战士的方法亲自测量一下指定目标的距离，验证战士测量方法的合理性．教师巡视指导．个别组个别同学未能正确理解战士做法，教师适时提醒．特别注意：为避免较大误差可让学生步测时多量几次．设计意图：学生对于情境中战士的做法十分陌生，这里的体验活动正好让他们对战士的测量有一个直观理解．利用现成材料让学生在操作验证过程中培养合作参与精神和严谨的学习态度．(2)教师出示教科书图．鼓励学生在刚才实践操作的基础上思考，并与同伴交流：战士这么测量的依据是什么？你能解释其中的道理吗？

学生归纳总结是利用三角形全等知识；利用全等三角形对应边相等得出结论．(3)教师引出课题：利用三角形全等测距离．

设计意图：鼓励学生自己说明理由，锻炼了他们数学思考能力和语言表达能力．探究二：实例探究(1)出示教科书想一想：如图，A，B两点位于一个池塘两端，小明想用绳子测量A，B两点间的距离，但绳子不够长，你能帮小明想想办法测A，B两点间的距离吗？请说明理由．(2)学生独立思考3分钟后，分组交流探讨：如何测A，B两点间的距离．教师巡视指导，特别关注有困难的学生此时是否积极参与．(3)各组汇报交流讨论的结果，教师板书出现的解决方案，由学生说明其理由．学生出现的解决方案：先在地面取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．学生提出的可能不止一种解决方法，教师要尽可能让学生用自己的语言有条理地表达．教师对各种解决方案做简要评价．设计意图：这里没有按照书上的“给出解决方案，说明理由”，而是让学生“自主解决问题，说明理由”，把课堂还给学生，把问题交给学生，由学生自主探索交流得出结论，学生将感受到成功的喜悦，培养了学生解决问题的意识和能力．【典型例题】例1.小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？分析：根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA)，进而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°．在△CPD和△PAB中，∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，∴△CPD≌△PAB(ASA)，∴DP＝AB．∵DB＝36米，PB＝10米，∴AB＝36－10＝26(米)．答：楼高AB是26米．设计意图：在现实生活中会遇到一些难以直接测量的距离问题，可以利用三角形全等将这些距离进行转化，从而达到测量目的．例2．如图所示，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案(画出图形)，并说明测量步骤和依据．分析：本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的．解：在平地任找一点O，连OA、OB，延长AO至C使CO＝AO，延BO至D，使DO＝BO，则CD＝AB，依据是△AOB≌△COD(SAS)．例3.（1）如图，O为AC，BD的中点，则图中全等三角形共有（）对．CA．2B．3C．4D．5（2）如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，那么△ACD≌△AEB的依据是（）CA．ASAB．AASC．SASD．SSS（3）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD的长，其中的依据是全等三角形的判定条件()BA．SSSB．SASC．ASAD．AAS例4．如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻头打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．分析：由OC与地面平行，确定了A，O，C三点在同一条直线上，通过说明△AOB≌△COD可得D，O，B三点在同一条直线上．解：∵OC＝35cm，墙壁厚OA＝35cm，∴OC＝OA．∵墙体是垂直的，∴∠OAB＝90°．又∵CD⊥OC，∴∠OAB＝∠OCD＝90°．在△OAB和△OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，OC＝OA，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD(ASA)，∴DC＝AB．∵DC＝20cm，∴AB＝20cm，∴钻头正好从B点出打出．设计意图：在解决方案设计探究问题时，符合条件的方案设计往往有多种，解题的关键在于通过分析，将实际问题转化为数学模型，构造出全等三角形进行解决．【随堂练习】1．如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定ΔOAB≌ΔOA≌B≌的理由是()AA．边角边B．角边角C．边边边D．角角边2．如图，将两根钢条的中点O连在一起，可以作成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳），只要量出的长度，就可以知道工件的内径AB是否符合标准，你能说出工人这样做的道理吗？解：在和中∴≌（SAS）．∴．3．如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段弧状，A、B之间的距离不能直接测量，你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B之间的距离吗？解：在湖右边的空地上选一个能直接到达A点和B点的C点，连接AC并延长至D，使，连接BC并延长至E，使，连接DE，并测量DE的长度即可求出A、B之间的距离．4．如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D．使BC=CD，过D作DE⊥BF，且A，C，E三点在一直线上，若测得DE=15米，即可知道AB也为15米，请你说明理由．解：由题意可知，∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD，∠BCA=∠DCE，从而△ABC≌△EDC，故AB=DE=15米设计意图：利用全等三角形的对应边来测量不能直接测量的距离，关键是构造全等三角形．【课堂小结】1．利用全等三角形测量距离的依据“SAS”“ASA”“AAS”2．运用三角形全等解决实际问题设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，掌握利用三角形全等测距离的基本类型与方法．【板书设计】4.5利用三角形全等测距离4.5利用三角形全等测距离一、情境探究二、实例探究三、练习八、布置作业2．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗？3．如图3所示，有一块巨大的长方形广告牌，上面画了一条对角线AC，为了求出这个广告牌的高BC，几个同学在地面上画出了ΔABC，(如图3所示)，其中∠BAC′＝∠BAC，∠ABC′是直角，则BC′的长和广告牌的高是相同的，你能说明其中的道理吗？4．如图所示，为了测得河宽AB，在地面上作出了与AB垂直的线段AC，又作出了BA的延长线AM，为了在AM上得到与BA相等的线段AB′，还应该怎样做呢？5．有一个小水库，水面的形状如图所示．能不能仿照课本中的“想一想”测出它的最窄的地方A，B两点之间的距离呢？如果能的话，请画图表示出做法．6．如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14km，C，D为两村(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到正站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？答案：1．提示：因为O是AA′和BB′的中点，所以OA＝OA′，OB＝OB′，且∠AOB＝∠A′OB′，符合三角形全等的条件．故选A．2．解：因为CD＝BC，∠ACD＝∠ACB＝90°，AC＝AC，所以ΔACD≌ΔACB，所以AD＝AB．3．提示：由∠CAB＝∠C′AB，AB＝AB，∠ABC＝∠ABC′知，ΔABC与ΔABC′符合“ASA”，且BC与BC′是对应边，所以BC＝BC′．4．提示：在地面上画射线CB′，与AM相交于B′，使∠ACB′＝∠ACB．5．解：不能．6．解：E站应建立在距A站6km处．理由：因为BE＝AB-AE＝14-6＝8(km)，所以AD＝BE，AE＝BC．在ΔADE和ΔBEC中，所以ΔADE≌ΔBEC(SAS)．所以DE＝EC九、课堂检测设计1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图）．判定△EDC≌△ABC的理由是A．边角边公理 B．角边角公理C．边边边公理 D．斜边直角边公理2．如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？3．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．（1）如果_________，则△DEC≌△BFA；（请你填上能使结论成立的一个条件）（2）说明你的结论的正确性．4．如图所示，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就等于A，B之间的距离，请你说明道理．答案：1．B2．要测量A、B间的距离，可用如下方法：（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，根据“角边角公理”可知：△EDC≌△ABC．因此：DE=AB．即测出DE的长就是A、B之间的距离．（如图）（2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上