2023年内蒙古各市中考数学试题真题汇编-函数

函数（真题汇编）2023年内蒙古各市中考数学试题全解析版

一.选择题（共5小题）

1.（2023•内蒙古）在平面直角坐标系中，将正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得到

一次函数y=kx+b（游。）的图象，则该一次函数的解析式为（）

A.y=-2x+3B.y=-2x+6C.y=-2x-3D.y=-2x-6

2.（2023•内蒙古）如图,在平面直角坐标系中，△0A8三个顶点的坐标分别为。（0,0）,A（2愿，

0）,3（愿，1）,△048与A。”关于直线OB对称，反比例函数y=K（Q0,x>0）的图象

与43交于点C.若4c=3C,则攵的值为（）

3.（2023•通辽）如图，抛物线y=aj^+bx+c（aRO）与x轴交于点（巾，0）,（2,0）,其中0<xi<1

下列四个结论：®abc<0；②。+Z?+c>0；③劝+3c<0；④不等式Q/+/»+C<-£x+c的解集为0

2

A.1B.2C.3D.4

4.（2023•通辽）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-3的图象是（）

x

下列结论一定正确的是（）

A.y\+y2<0B.y\+y2>0C.yi-y2<0D.yi->0

二.填空题（共2小题）

6.（2023•赤峰）如图,抛物线y=W-6x+5与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点£>（2,〃?）在

抛物线上，点E在直线BC上,若NDEB=2/DCB,则点E的坐标是

7.（2023•内蒙古）已知二次函数y=--+2火+3（“>0）,若点P（〃?，3）在该函数的图象上，且

加#0,则m的值为

三.解答题（共5小题）

8.（2023•赤峰）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的

冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.如图，是乒乓球台的截面示

意图,一位运动员从球台边缘正上方以击球高度0A为28.75c,"的高度，将乒乓球向正前方击打

到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.

乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：c”）,乒乓球运行的水平距离记为无（单位：cm）,测得

如下数据：

水平距0105090130170230

离xlcm

竖直高28.7533454945330

度ylem

（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x,y）,并画出表示乒乓球运

行轨迹形状的大致图象；

-o]~102030405060708090l0011012013014015016017018019020021022023024®;r/cm

(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm,当乒乓球落在对面球台上

时，到起始点的水平距离是,

②求满足条件的抛物线解析式；

(3)技术分析：如果只上下调整击球高度04,乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓

球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出0A的取值范围，以利于有针对性的训练.如图

②，乒乓球台长0B为214cm,球网高CD为15.25cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高

度0A的值约为L27cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度0A的值

(乒乓球大小忽略不计).

9.(2023•内蒙古)随着科技的发展，扫地机器人(图1)已广泛应用于生活中.某公司推出一款新

型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变

化而变化.设该产品2022年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位：元)，)，与x的函

数关系如图2所示(图中ABC为一折线).

(1)当1人10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；

(2)设该产品2022年第x个月的销售数量为加(单位：万台)，，〃与x的关系可以用机=J-x+1

10

来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？(销售收入=每台的销售价格x销售数量)

10.(2023•赤峰)定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且

点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.

(1)如图①，矩形4BCZ)的顶点坐标分别是A(-1,2),8(-1,-1),C(3,-I),。(3,

2),在点Mi(I,1),M2(2,2),例3(3,3)中，是矩形ABCh梦之点"的是；

(2)点G(2,2)是反比例函数v=K图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之

点的坐标是直线GH的解析式是"=,yi>"时，x的取值范围

是；

(3)如图②，已知点A,B是抛物线y=-工2+x+9上的“梦之点,‘，点c是抛物线的顶点.连接

22

AC.AB.BC,判断AABC的形状，并说明理由.

V

图①图②

11.(2023•通辽)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax20x+c(aHO)与彳轴交于点火1，。)

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)P是抛物线上f点(不与点A,8,C重合)，作PD±.x轴，垂足为D,连接PC.

①如图，若点P在第三象限，且tanZCPD=2,求点尸的坐标；

②直线PD交直线BC于点E,当点E关于直线PC的对称点落在,v轴上时,请直接写出四边形

PECE的周长.

12，2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+3X+1交y轴于点A，直线v=-1+2

3

交抛物线于B,C两点（点B在点C的左侧），交），轴于点D,交x轴于点E.

（1）求点O,E,C的坐标；

（2）F是线段OE上一点（OF<EF）,连接AF,DF,CF,且A/+后产=21.

①求证：AAFC是直角三角形；

②4DFC的平分线FK交线段DC于点K,P是直线BC上方抛物线上一动点，当3lan/PFK=1

时，求点尸的坐标.

函数（真题汇编）2023年内蒙古各市中考数学试题全解析版

参考答案与试题解析

一.选择题（共5小题）

1.（2023•内蒙古）在平面直角坐标系中，将正比例函数y=-2A-的图象向右平移3个单位长度得到

一次函数v=kx+h（原0）的图象，则该一次函数的解析式为（）

A.y=-2x+3B.y=-2x+6C.y=-2x-3D.y=-2x-6

【答案】B

【解答】解：正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的解析式为y=-2

(x-3)=-2x+6.

故选：B.

2.（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，40AB三个顶点的坐标分别为O（0,0）,A（2在，

0）,8（百，1）,AO/VB与△0A8关于直线08对称，反比例函数y=K（A>0,x>0）的图象

X

与A'B交于点C.若4c=BC,则A的值为（）

C.V3D.近

2

【答案】A

【解答】解：如图，过点B作BDA.X轴于点D,

•••0(0,0),A(2^,0),B(V3,1),

：.BD=1,OD=M,

20A嘿哼,

:AD=OD=M

.\0B=AB=70D2+BD2=2，N8OA=N3AO=30。,

：.^OBD=^ABD=60°,ZOBA=120°z

•・•△AOB与△A'OB关于直线OB对称，

「"BA'=120。，

"OBA'+NOBD=180。，

.・点4、B、。共线，

：.AfB=AB=2,

•.WC=BCZ

,CD=2,

二点。（愿，2）,

•・•点。（愿，2）在反比例函数y二K的图象上,

x

：.k=—2,^3；

故选：A.

3.（2023•通辽）如图，抛物线y=a^+bx-^-c（〃翔）与x轴交于点（xi,0）,（2,0）,其中0<xi<1

下列四个结论：①4A<0；②〃+8+c>0；③28+3c<0；④不等式ax1+bx^-c<-£x+c的解集为0

2

<x<2.其中正确结论的个数是（）

C.3D.4

【答案】C

【解答】解：二•抛物线开口向上，对称轴在.v轴右边，与y轴交于正半轴，

.,.a>0,b<0,c>0,

.,.abc<0,

二①正确.

,.当x=1时，y<0,

.'.a+b+c<0,

，②错误.

•・抛物线过点（2,0）,

」.4a+2〃+c=0,

=-2a--,a=--u,

224

'：a+b+c<0,

二.a-2a--+c<0,

2

：2a-c>0,

-b-Ac-c>0,

2

「•・2。-3c>0,

「.2b+3c<0,

，③正确.

故④正确.

故选：C.

【解答】解：•.一次函数y=2x-3中的&=2>0,6=-3<0,

・•・一次函数y=2x-3的图象经过第一、三、四象限.

故选：D.

5.（2023•通辽）已知点A（xi,yi）,8（X2,”）在反比例函数y=上的图象上，且xi<0<X2,贝!|

X

下列结论一定正确的是（）

A.y\+y2<0B.y\+yi>0C.yi-*<0D.yi-y2>0

【答案】D

【解答】解：1•反比例函数y=/的图象在二、四象限，而XI<0<X2,

X

.•点A（xi甲）在第二象限反比例函数y=&］图象上，8（x2）在第四象限反比例函数丫=上

XX

的图象上，

:.yi>0>y2,

.\y\-y2>0,

故选：D.

二.填空题（共2小题）

6.（2023•赤峰）如图,抛物线y=W-6x+5与x轴交于点A,3,与），轴交于点C,点。（2,〃?）在

抛物线上，点E在直线BC上,若4DEB=2ZDCB,则点E的坐标是_工，

55

【解答】解：根据。点坐标，有机=22-6x2+5=-3,所，以。点坐标（2,-3）,

y

°v\/*

D\J

设BC所在直线解析式为y=kx+b,其过点C(0,513(5,0),

[b=5

15k+b=0'

解得(kJ,

[b=5

BC所在直线的解析式为：y=-x+5,

当E点在线段BC上时，设E(a,-a+5),/.DEB=NDCE+NCDE,而NDEB=21DCB,

:ZDCE=NCDE,

.,.CE=DE,

因为E(a,-a+5),C(0,5),D(2,-3),

有Ta2+(-a+5-5)2=Q(a-2)2+[-a+5-(-3)],'

解得：，-a+5=@，所以E点的坐标为：(9，&),

5555

当E在C8的延长线上时，

在ABOC中，BO2=(5-2)2+32=18,

BC1=52+52=50,DC2=(5+3)2+22=68,

BD^+BC2=DC2,

:.BDLBC如图延长E8至E1,取BE=BE,

则有△£>££为等月要三角形，£>E=OE,

"DEE，=/.DE'E,

又"DEB=24DCB,

"DE'E=2NDCB,

则F为符合题意的点，

■.OC=OB=5^OBC=45°,

£的横坐标：5+（5』）卫，纵坐标为卫；

555

综上E点的坐标为：（卫，旦）和卢，-J-）.

5555

7.（2023•内蒙古）已知二次函数产-公2+2以+3（〃>0）,若点尸（机，3）在该函数的图象上，且

,贝Um的彳直为2.

【答案】2.

【解答】解：,•点尸（机，3）在二次函数y=-ax2+2ax+3（a>0）的图象上，

「•3="am+2。加+3,

-am（/??-2）=0,

解得“7=2或，"=0（舍去），

故答案为：2.

三.解答题（共5小题）

8.（2023•赤峰）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的

冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.如图，是乒乓球台的截面示

意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度0A为28.75cW的高度，将乒乓球向正前方击打

到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.

OCB

图①图②

乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：c”）,乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）,测得

如下数据：

水平距0105090130170230

离x/cm

竖直高28.7533454945330

度ylem

（1）在平面直角坐标系X。），中，描出表格中各组数值所对应的点（x,y）,并画出表示乒乓球运

行轨迹形状的大致图象；

-o]~102030405060708090l0011012013014015016017018019020021022023024®;r/cm

(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是49cm,当乒乓球落在对面球台上时,

到起始点的水平距离是230cm；

②求满足条件的抛物线解析式；

(3)技术分析：如果只上下调整击球高度04,乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓

球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出0A的取值范围，以利于有针对性的训练.如图

②，乒乓球台长0B为274”?,球网高CD为15.25CW.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高

度的值约为127cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度0A的值

(乒乓球大小忽略不计).

【答案】(1)画函数图象见解答过程；

(2)@49；230；②)，=-0.0025(x-90)2+49；

(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39c5.

【解答】解：(1)描出各点，画出图象如下：

Q/cm

70

60

50

40

30

20

10

Of0203CT405060708090100HO12OBol40150(601701801%)200210220方疯狂/cm

(2)①观察表格数据，可知当x=50和x=130时，函数值相等,

.•对称轴为直线X=50+130=90,顶点坐标为(90,49),

2

1.抛物线开口向下，

二最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49c/n,

当y=0时,”230,

二乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是23051；

故答案为：49；230；

②设抛物线解析式为y=。(x-90)2+49,

将(230,0)代入得，0=。(230-90)2+49,

解得：a=-0.0025,

••・抛物线解析式为.V=-0.0025（x-90）2+49；

（3）当。4=28.75时,抛物线的解析式为y=-0.0025（x-90）2+49,

设乒乓球恰好落在对面球台边缘点8处时，击球高度的值为h，则平移距离为（/?-28.75）cm,

，平移后的抛物线的解析式为y=-0.0025（x-90）2+49+/?-28.75,

当x=274时，y=0,

,-0.0025（274-90）2+49+/?-28.75=0,

解得：h=64.39；

答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39c”?.

9.（2023•内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中.某公司推出一款新

型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变

化而变化.设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），），与x的函

数关系如图2所示（图中ABC为一折线）.

图1图2

（1）当1人10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；

（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），相与.t的关系可以用m=工+1

10

来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入=每台的销售价格x销售数量）

【答案】（I）当I人10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=-150X+3000；

(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元.

【解答】解：(1)当1—10时，设每台的销售价格了与x之间的函数关系式为y=丘+b(厚0),

..图象过A(1,2850),B(10,1500)两点,

Jk+b=2850

110k+b=15001

解得”=-150,

lb=3000

,当1人10时，每台的销售价格、•与x之间的函数关系式为y=-150x+3000；

(2)设销售收入为“，万元，

①当l<x<10时，w=(-150A+3000)(-Lx+l)=-15(x-5)2+3375,

10

-15<0,

.,.当x=5时，w最大=3375(万元)；

②当10<后12时，卬=1500(J^r+1)=150x+1500,

10

・•・”•随x的增大而增大，

,当x=12时，iv最大=150x12+1500=3300(万元)；

••-3375>3300,

，第5个月的销售收入最多，最多为3375万元.

10.(2023•赤峰)定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形加上，且

点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.

(1)如图①，矩形488的顶点坐标分别是A(7,2),8(-1,-1),C(3,-1),£>(3,

2),在点Mi(1,1),M2(2,2),用3(3,3)中，是矩形A8CZT梦之点”的是Mi,Mz_；

(2)点G(2,2)是反比例函数yi=K图象上的f“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之

X

点”H的坐标是4(-2,-2),直线GH的解析式是”=,户>”时，x的取值范围

是x<-2或0<x<2；

(3)如图②，已知点A,B是抛物线y=-工2+计9上的“梦之点”，点c是抛物线的顶点.连接

22

AC,AB,BC,判断AABC的形状，并说明理由.

V

图①图②

【答案】(1)Ml,M2；

(2)”(-2,-2),x,x<-2a£0<x<2；

(3)AABC是直角三角形，理由见解析.

【解答】解：(1)•.矩形ABC。的顶点坐标分别是4(-1,2),8(-1,-1),C(3,-1),0

(3,2),

.•矩形4BCD的“梦之点”(x,y)满足-1W后3,-l<y<2,

:点Mi(1,1),A72(2,2)是矩形ABCD的“梦之点”，点加3(3,3)不是矩形ABCD的“梦之

点”，

故答案为：Mi,M2；

(2)•••点G(2,2)是反比例函数v=上图象上的一个“梦之点”,

X

.・把G(2,2)代入yi=K得及=4,

X

…梦之点”的横坐标和纵坐标相等,

••・“梦之点'都在y=x的图象上，联立丫17,

y=x

解得(x=2或卜"2,

1y=2Iy=-2

.•.w(-2,-2),

，直线GH的解析式为.V2=x,

.--yi>”时，x的取值范围是x<-2或0<x<2,

故答案为：〃(-2,-2),x,x<-2或0<x<2；

(3)XABC是直角三角形，

理由：••点A,B是抛物线产-£x2+x*•上的“梦之点'，

.■.A(3,3),B(-3,-3),

.；)'='yx2+x+y=-技(x-1)2+5,

，顶点C(1,5),

..AC2=(3-1)2+(3-5)2=8,AB2=(-3-3)2+(-3-3)2=72,BC2=(-3-1)2+(-

3-5)2=80,

：.BC2=AC2+AB2,

."ABC是直角三角形.

11.(2023•通辽)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax22x+c(aK0)与x轴交于点A(1,0)

和点B,与y轴交于点C(0,-4).

（1）求这条抛物线的函数解析式;

（2）P是抛物线上一动点（不与点A,B,C重合），作PD±x^,垂足为D,连接PC.

①如图，若点P在第三象限,且tanZCPD=2,求点P的坐标；

②直线PD交直线BC于点E,当点E关于直线PC的对称点£落在），轴上时，请直接写出四边形

PECE的周长.

【答案】（1）yx-41

(2)①P(-竺-II)

816,

②35或85

VV

【解答】解：（1）♦・抛物线y=ax2卷x+c（a卉0）与工轴交于点A（1，。）和点B,与｝，轴交于

点C(0,-4),

g

af+c=0

o

c="4

4

解得

c=-4

，抛物线的解析式为y/

y3

答：抛物线的解析式为yx-4•

(2)①设P(x,生*2,如图，过点C作CELPD于E,

3

"PEC=NCED=90。，

・・・C(0,・4),

••.0C=4,

••,PD_Lx轴,

・・.NPDO=90。,

,.NOOC=90。，

•・四边形QOCE是矩形，

；DE=OC=4,OD-CE--x,

,,PE=PD-DE=-(-1-x2+yx-4)-4=x，

CE

,tanZCPD=^zr=2，

rE

「•4「28QV,

Tx万x

•,x]=-^-»x2=0(舍去)，

2

②设P(m,-ym41n-4),

oO

对于y=-^x"咛x-4，当y=。时，yX2-^|~X-4=0，

解得xi=1,X2=-3,

-B(-3,0),

-：OC=4,

■■-BC=VOB2OC2=5>

当点P在第三象限时，如图，过点E作EF±y轴于F,

则四边形OEF。是矩形，

.二EF=OD=-m,

••点£与点E关于PC对称，

"ECP=Z.ECP,CE=CE,

.「PEII)；轴，

：,4EPC=KPCE'I

：.PE=CE,

：.PE=CE,,

」•四边形PECE'是菱形，

：EF\\OA,

:qCEFsACBO,

.CEEF

,而怎，

.CE-m

,•—=—i

53

5

,,CE=-z-ir，

o

设直线BC的解析式为y=kx+b,

.f-3k+b=0

lb=-4

解得K3,

b=-4

二直线8c的解析式为y=-£-4,

3

4

•,E(in,-z-m-4)，

o

二PE二一(ym^+ym-4)+(-ym-4)=-ym212

in，

_

.CE=~"1ir•PE二CE,

.4212_5

解得叫=3，m2=0（舍去），

.•.CE=(X(—)啜,

，四边形PEC£的周长C=4CE=4x至=翌,

123

当点p在第二象限时，如图，

解得叫="^"，私2=0（舍去），

•依=-界（耳）噜,

，四边形PEC£的周长C=4CE=4x型=型,

123

综上，四边形PECk的周长为里■或殴.

33

12(2023•内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-7+3x+l交y轴于点A，直线v=-1+2

3

交抛物线于B,C两点(点B在点C的左侧)，交)，轴于点D,交x轴于点E.

(1)求点O,E,C的坐标；

(2)F是线段OE上一点(OF<EF),连接AF,DF,CF,且A/+后产=21.

①求证：AAFC是直角三角形；

②4DFC的平分线FK交线段DC于点K,P是直线BC上方抛物线上一动点，当3lan/PFK=1

时，求点尸的坐标.

【答案】(1)C(3,l),D(0,2),£(6,0).

(2)①证明见解答；

②点P的坐标为(I,3)或(/F,377-6).

【解答】(1)解：.「直线y=-lr+2交v轴于点D,交x轴于点E,