2024届福建省福州市高三下学期2月质量检测数学试题及答案

2023~2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合Axx1,B，则AB（）,1,1D．1A．B．C．12．已知点A2,2在抛物线C:x22py上，则C的焦点到其准线的距离为（）1A．B．1C．2D．4）23．已知e,e是两个不共线的向量，若2ee与ee是共线向量，则（121212A．2B．2C．2D．24．在△ABC中，ABACBC27，则△ABC的面积为（A．2B．23C．45．设函数fx3a2x在区间1,2上单调递减，则a的取值范围是（）D．43）,2,4C．D．A．B．6ABCDAD和（）231513A．B．C．D．22227．甲、乙、丙三个地区分别有x%,y%,z%的人患了流感，且x,y,z构成以1为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为5:3:2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x的可能取值为（A．1.21B．1.34）C．1.49D．1.518．已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，记gxfx．若gx2的图象关于点2,0对称，且g2xg2x1g12x，则下列结论一定成立的是（）B．gxgx2A．fxf2x20242024C．g(n)0D．f(n)0n1n13小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知等差数列an的前n项和为Sn,a2S535，则（）B．nSn的最小值为1aA．nan的最小值为1SnnnC．为递增数列D．为递减数列n210．在长方体ABCD中，ABAAADE为的中点，则（）11111A．ABBCB．A∥平面EBC1111355C．点D到直线1B的距离为D．点D到平面C的距离为3n*11．通信工程中常用n元数组a,a,a,,a表示信息，其中ai0或1i,nN,1in．设123表示u和v中相对应的元素（a对应b，i,n）ua,a,a,,a,vb,b,b,,b,du,v123n123nii不同的个数，则下列结论正确的是（）A．若u0，则存在5个5元数组v，使得du,v11，则存在12个5元数组v，使得du,v3B．若uC．若n元数组w(0,0,,0)，则du,wdv,wdu,v个0D．若n元数组w,1,，则du,wdv,wdu,v1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．在复平面内，复数z对应的点的坐标是2,1，则iz______．132且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为3圆台的侧面积为______．14．在平面直角坐标系xOy中，整点P（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线PA，PB与C:(x2)y4分别切于,B两点，与y轴分别交于M,N两点，则使得△PMN周长为221的所22有点P的坐标是______．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）是fx的零点．已知函数fxsinx(04x8（1）求的值；8128（2）求函数yfxfx的值域．1615分）如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，平面SAD平面ABCD,E在SB上，且AEBC．（1）证明：SA平面ABCD；（2）若SAABF为的中点，且EF3，求平面AEF与平面夹角的余弦值．1715分）关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：外向型内向型男性45女性201510（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为X，求X的数学期望．（2）对表格中的数据，依据0.1的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．n(adbc)2附：参考公式：2．abcdacbd0.10.050.012.7063.8416.6351817分）y2，动直线l:xmy30与x轴交于点B，且与W交于C,D两点，A3,0已知双曲线W:x28t是BC,BD的等比中项，tR．（1）若C,D两点位于y轴的同侧，求t取最小值时△的周长；（2）若t1，且C,D两点位于y轴的异侧，证明：△为等腰三角形．1917分）fxxlnxx1．2已知函数（1）讨论fx的单调性；12（2）求证：fxex1；x2x（3）若pq0且pq1，求证：fpfq4．2023~2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题参考答案（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A．【解析】集合A包含所有小于1的实数，B包含1和1两个元素，所以ABxx12B22，可得p1，故C的焦点到其准线的距离为1．【解析】将点A2,2代入x3D【解析】依题意，设2eetee，又e,e是两个不共线的向量，所以tt，所以1212122．4BAB2AC2BC21【解析】由余弦定理得，A，所以A120，2ABAC212所以△ABCABACsinA23．5Dy3x在R上单调递增，而函数fx3a2x在区间1,2y2xa在区a2，解得a4．故选D．间1,2单调递减，所以26Cx22y22b22b2【解析】不妨设椭圆方程为ab0)，当xc时，y，所以AB2c,BC，abaa2b2因为四边形ABCD为正方形，所以2c，即b2，所以a2c2ac，所以ee10，解得2a1551e，所以e，因为e0,1．227D【解析】设事件D,D,D分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区，事件F,F,F分别为“此人患了流感，123123且分别来自甲、乙、丙地区，事件G为“此人患了流感．5x3x32x410x7,PGPF2F13由题可知，PF,PF,PF，12310001000100010005x3x32x410x7所以PDG,PDG,PDG12310x75x3x10x73大，所以解得x，故选D．5x2x28C【解析】因为gx2的图象关于点2,0对称，所以gx的图象关于原点对称，即函数gx为奇函数，则g00，又g2xg2x1g12x，所以g2xg2x1g2x1，所以gt1gtgt10，所以gtgt1gt20，所以gt1gt2，所以gtgt3，即gxgx3，202420242025[g(0)gg(2)]0，故C正确；所以3是gx的一个周期；因为g(n)g(n)3n1n0x，则gxfx取符合题意的函数fxsinx，333g0，故2不是gx的一个周期，所以所以g00，又g02sin333gxgx2，排除B；12因为f1不是函数fx的最值，所以函数fx的图象不关于直线x1对称，320242024n10，所以排除D．所以fxf2x，排除A；因为f(n)3n1n13小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9ABC51a5a335，所以a37，又a24，【解析】假设an的公差为d，由S52nn1所以da1，所以anS．1nn212313选项A：nannn23n，故n1时nan的最小值为1，A正确；31312922,单3n2，令fxx3x，所以fx2x2x，可知fx在区间9选项B：nSnn222调递增，所以n1时nSn取得最小值1，B正确；Snn312Snn选项C：选项D：n，故为递增数列，C正确；2an2311a2an2，因为1，所以不是递减数列，D错误．n2n2n22n10BC【解析】如图建立空间直角坐标系Dxyz，易知D0,0,0，A0,1，B2,0，B2,1，11C2,0，E0．，ABBC0,2,10，所以A错误；111选项A，AB1,BC11选项B，显然A∥BC，可得A∥平面EBC，所以B正确；1111，又AD，5AB255选项C，记直线AB的单位方向向量为u，则u1,115AB121551所以向量AD在直线AB上的投影向量为AQADuu,，11135522则有D到直线1B的距离为DQADAQ，故C正确；11选项D，设平面EBC的法向量为mx,y,z，由BC1,0,,BE，111DCm233可求得m1，又DC2,0，所以点D到平面EBC的距离d，1m故D错误．11ACD【解析】选项A：满足条件的数组共有C155个，故A正确；选项B：满足条件的数组共有C5310个，故B错误；选项Cu,v中对应项同时为0的共有m0mn1的共有s0snmnms，而一项为1与另一项为0的共有nms个，这里nms，从而du,vdu,wdv,w2snmsdu,v2sdu,v，故C正确，同理D正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。1212i【解析】依题意可知z2i，所以izi2i12i．13【解析】由已知可得圆台的上底面半径r1，下底面半径r2，母线长l2，则该圆台的侧面积为．rrl1226141,4或2,3【解析】因为直线,PB分别与C:(x2)2y24相切于,B两点，且直线,PB分别与y轴交于M,N两点，所以PAPB,AMOM,BNON，所以△PMN的周长为PMMNPNPMOMONPNPMAMBNPNPAPB2PA2PC2|PC|4221，所以PC5，设Px,y,xy00，所以x02AC222y0225，因为P为整点，所以点P的坐标为20001,4或2,3．备注：只写出一个点坐标不得分．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。151）由已知可得fsin0，884解得,kZ，84即2k,kZ，又03，可得2．4（2）由fxsin2x，可得8128yfxfx22xsinxcos2xsinx1xsinx2124982sinx，其中1sinx1，19则当sinx时取得最小值,sinx1时取得最大值2，48812898故函数yfxfx的值域为,2．16（1）因为BCAB,BCAE,AEABA，所以BC平面SAB，又SA平面SAB，所以BCSA，又AD，所以SAAD，又平面SAD平面ABCD，平面SAD平面AD,SA平面，所以SA平面ABCD（2）由（1）得BC平面SAB，又平面SAB，所以BCSB，因为BFEF3，所以BE2，因为SA平面ABCD,AB平面ABCD，所以AB，1又SAAB2，所以SB22，所以BESB，21,AD,ABAAB,AD,AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0,S0,0,2,B2,0,0,E0,1,F0．所以AE0,1,AF0，显然平面的一个法向量n1,0,0，12nAE,nAF,设平面AEF的法向量为nx,y,z，则2221，即取x1，则n2nAF2xy2162，所以n,n1662设平面AEF与平面的夹角为，则coscosn,n6，1266所以平面AEF与平面夹角的余弦值为．6【解法二】（1）因为BCAB,BCAE,AEABA，所以BC平面SAB，又SA平面SAB，所以BCSA，因为平面平面，平面ABCD平面SADAD,ABAD，AB平面ABCD，所以AB平面，又SA平面，所以AB，又BCABB,BC平面ABCD,AB平面ABCD，所以SA平面ABCD．（2）由（1）知,AD,AB两两垂直，如图，以点A为原点，分别以AB,AD,AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则S0,0,2,B2,0,0,F0．设SE，则AEASSE0,0,22,0,22,0,22，SB01所以EFAFAE2,0,2202222，13由EF3，得(22)21(22)23，解得，或22所以E0,1，0，所以AE0,1,AF1显然平面的一个法向量n1,0,0，2nAE,nAF,设平面AEF的法向量为nx,y,z，则22nAExz2取x1，则n1，2即nAF2xy2nn1612则n,n2，1nn6612设平面AEF与平面的夹角为，则coscosn,n6，1266所以平面AEF与平面夹角的余弦值为17．632（143323生中随机抽取一人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是．4则X的所有可能取值为0，1，2，3．122113111216012则PX,PXC，444343483323213122123382123PXC,PX，443443481121313所以EX0123．4864886（2）零假设为H0：这两种性格特征与人的性别无关联．由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知900(450100150200)2901326.9232.7060.1600300650250依据0.1的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．【解法二】32（143323生中随机抽取一人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是．4从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为1；从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型3423的人数记为Y，则YB,YB，21233222,EY所以E121，24333223136所以EXE1Y2E1E2．（2）略，同解法一．18y2（1l:xmy30与x轴交于点B3,0W:x21的右焦点为3,0B8为W的右焦点．设BCp,BDq，因为C,D两点位于y轴的同侧，所以pq，2因为t是BC,BD的等比中项，所以tBCBD，pqpqpq2pq141所以t2，当且仅当pq时取等号，所以t，2221当t时pq，所以AC2p2qAD，所以lx轴，2x由解得y8，8x2y2所以BCBD8，所以16，由双曲线的定义得AC10，所以ACAD10101636，即△的周长为36（2）设Cx,y,Dx,y，2112xmy32由8x得m21ymy640，2y2因为直线l与W交于C,D两点，2m1m64所以且yy,yy，1212m1Δ256m12m2122，1211my1my1myy2由t1，可得BCBD|2，故222又C,D两点位于y轴的异侧，所以yy0，所以yy2，即5yyyy，yy2121212121264m2254所以5，解得m2，m1m1264564yy11所以yy，所以||2BCBD1m216，122949所以4，BCAC4BDAC不妨设点C在第二象限，根据双曲线定义，得，即ADBDADBD解得ACAD，所以△是等腰三角形．【解法二】（1）设Cx,y,Dx,y2112xmy32由8x得m21ymy640，2y2因为直线l与W交于C,D两点，21mm64所以且yy,yy，12121Δ256m12m21m264m2118由C,D两点位于y轴的同侧，可得yy0，解得m2，12又t是BC,BD的等比中项，故可得BCBDt22，2故1my1myt2221myy2，121264m111m22即t21y2，2m2644m121y24m21m21111m2149又0m2，故t28，84m212m11111可得0t2，即t且t0，所以t，4222x1当t即m0时，所以lx轴，由解得y8，28x2y2所以BCBD8，所以16，又AB6，所以AC82610，2所以ACAD10101636，即△的周长为36．64m2118（2）因为C,D两点位于y轴的异侧，故yy0，所以m2，1221m1211m且由（1）知t21，4m214m1255解得m当m或m，2251y453x,y,y时，设的中点E的坐标为2，EEE22145554531xEyE33，所以点E的坐标为,，2233354535231x，又的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线方程为y25352即yx，2535上，所以ACAD，即△为等腰三角形．又点A3,0在直线yx225当m时，同理可证，△为等腰三角形．2综上所述，△为等腰三角形．19（1）fx的定义域为，fxlnx2x1，112x记txfx,tx2，xx11当x时，txtx单调递增；当x,时，txtx单调递减221所以t(x)tln20，即fx0，2上单调递减．所以fx在区间fxx1，则gxxlnxxxxlnxx1，（2）先证fxx1，记gx21记mxlnxx1，则mx1，所以x0,1时，mxmx递增；xx时，mxmx递减．，所以mx0，又x0，所以gx0，故fxx1．所以m(x)m10121212再证ex1x1，即证exx0，记hxexx，x