湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高一年级上册期末数学试题

2022年下学期期末考试试卷高一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1.设全集o={一2,—U,2,3},集合"={-1,1},为J,2,3},则~A）QB=（）

A.{1}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】先计算出gA,再计算（电A）c6即可.

【详解】根={—3,—2,2,3},（退卜6={2,3}.

故选：C.

2.半径为2,圆心角为1弧度的扇形的面积是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据扇形面积公式即可代入求解.

【详解】由扇形面积的计算公式可得s=—xlx22=2,

2

故选：B

3.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中

和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗

透率有望超过70%,新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.尸6"上〃于1898年提出蓄电池的容量C

（单位：A.h）,放电时间f（单位：h）与放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式其中

"=10822为网”题“常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流/=10A时，放电时间f=57h,则当

2

放电电流/=15A,放电时间为（）

A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出蓄电池的容量C,再把/=15A代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.

【详解】解：根据题意可得C=57IO"，

则当/=15A时,

5710"=15"“，

所以,=571|1=57]|〔,=57〔|]gQ=28.5h，

即当放电电流/=15A,放电时间为28.5h.

故选：B.

4.根据表中数据，可以判定方程e'-x-2=0的一个根所在的区间为()

X-10123

ex0.3712.277.3920.09

x+212345

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D,(2,3)

【答案】C

【解析】

【分析】求出方程对应得函数/(x)=e"—%—2,然后利用表格分别求出/(O),/(1),/(2),/(3),

然后利用零点存在定理判断即可.

【详解】令/(x)=e”一x—2,则/(一1)=0.37-1<0,

/(0)=1-2<0,/(1)=2.27-3<0,/(2)=7.39-4>0,/(3)=20.09-5>0,得

/(1)./(2)<0,由零点存在定理可知：函数/(幻的存在零点位于区间(1,2)内，即方程尤―2=0的

一个根所在区间为(1,2).

故选：C

5.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价尸(元)之间的关系为尸=160—2工，生产尤件

所需成本为C(元)，其中C=500+30x,若要求每天获利不少于1300元，则日销量尤的取值范围是

()

A.20<x<30,xeN*B,20<x<45,xeN*

C.15<x<30,xeND.15<x<45,xeN*

【答案】B

【解析】

【分析】由题意求得利润函数了=-2炉+1300》-500,然后解不等式y21300即可得.

【详解】由题意日销量尤件时，利润是y=(160—2x)x—(500+30x)=—2/+130X—500,

-2x2+130%-500>1300-(x-20)(x-45)<0,20<x<45.

故选：B.

fjl\COSCL

6.若戊£0,二，tan2a=；；——；——,则tana=()

12J2-sma

V15口后「6V15

AA.---D.-----Un.----

15533

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角公式可得tan2。=垩也=冽丝等，再结合已知可求得sin。=,，利用同角三

cos2al-2sina4

角函数的基本关系即可求解.

【详解】tan2a一侬。

2-sina

「sinla2sinocosacos。

/.tan2a=------=---------——=-------,

cos2al-2sina2-sma

C万)c2sin。1切/曰.1

0,—,「.cosowO,，-----—=--------，解得sina=一,

I2)l-2sin26z2-sma4

r—-A/15sinaA/15

cosa=vl-sina---，/.tana=-----=----♦

4cosor15

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.

7.某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量尸(单位：毫克/升)与过滤

时间单位：小时)之间的函数关系为P=6-e"(/20),其中％为常数，k>Q,4为原污染物数量.

该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%,那么再继续过滤2小时，废气

中污染物的残留量约为原污染物的()

A.1%B.2%C.3%D.5%

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得，当x=4时，「二4七股=10%与，求得左，再将x=6代入即可得出答案.

【详解】由题意得，当x=4时，P=^-e4t=10%^,

所以e*=0.1八

6-01

则当x=6时，P=P-e6k=41I=012兄=〒片,

()Vio

因为3.1<加<3.2，所以尸2。.03《,

yjlO

即再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的3%.

故选：C.

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用xe(0,l)时，一⑴值为正即可判断作答.

【详解】函数=定义域为R,/(—无)=空斗=T^=—/(x),即/(x)是奇函数,

e+ee+ee+e

A,B不满足；

当xe(0,l)时，即0<»x<%,则sin(7K)>0,而寸+-”>0，因此/(x)>0,D不满足，C满足.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.

9.已知事函数/（九）图像经过点（9,3）.则下列命题正确的有（）

A.函数在R上为增函数

B.函数为偶函数

C.若XN4,则/（x）22

D.若…"则/叫"—〉/［詈］

【答案】C

【解析】

【分析】设〃冷=丁，代入（9,3）可求得八力=£；由/（%）定义域知AB错误；根据事函数单调性可

知C正确；作差法可证得</［七三］,由此知D错误.

【详解】设〃x）=x"，则〃9）=9“=3,解得：a=g,...〃力=£；

对于AB,/（%）定义域为［0,+“），定义域不关于原点对称，AB错误；

对于C,“X）在［0,+0上单调递增，，当Q4时，八力之/（4）=4；=2,C正确；

对于D,当％">。时，/>）+〃々）］2J/A±^］T=X|+X2+2斥

2“逮2-占_（枇）

-----------------------=----------------a-------<0

44

又/（X）?。,

八）；"々）<4詈；D错误.

故选：C.

10.下列说法正确的是（）

A.命题p：Vx,ye（0,1）,x+y<2,则rp：三无o,（0,1）,xo+yo>2

B.%>1,6>1”是“湖>1”成立的充分不必要条件

C“|x|>|y|"是“x>y”的必要条件

D.“m<0”是“关于龙的方程N—2尤+%=0有一正一负根”的充要条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可以判断选项A,举反例可以判断BC,根据方程根的分

布可以判断D.

【详解】选项A：命题p：\/x,y£(0,1),x+y<2f

否定为：3xo,yo£(0,1),xo+yo>2

故A选项正确；

选项B：由。>1/>1时，所以充分性成立，

当。=3乃=’时，>1,但是a>l,b<1,故必要性不成立

2

所以、>1,b>r^ab>1”成立的充分不必要条件

故B选项正确；

选项C：卜3|>磔，但是—3v2,

所以国>lyl不一定推出x>y

反之，3<—4,但是13kl-4|,

所以尤>y不一定推出|R>|y

所以“国>|y『是"x>y”的既不充分也不必要条件

故C错误；

选项D：关于x的方程x2—2x+m=0有一正一负根

“、［eA=(-2)2-4xlxm>0八

设为％I，9，贝叫vo加<0

［再•々=加<0

所以“加〈0”是“关于X的方程N—2x+m=0有一正一负根”的充要条件

故选项D正确；

故选：ABD.

11.设正实数机，〃满足加+〃=2,则下列说法正确的是()

A.1—的最小值为2B.相〃的最大值为1

mn

/—L225

C.+6的最大值为4D.m+n的最小值为—

4

【答案】AB

【解析】

【分析】根据基本不等式及“1”的技巧判断AB,根据重要不等式判断CD即可.

【详解】Vm>0,n>0,m+n=2,

111/1mAifIn

—I——=—(m+n]\—I——二一2H--1—>—2+2J-----=2,

mn2\mn)2(mn)21vmnJ

V!rrj

当且仅当一=—,即7"=〃=1时等号成立，故A正确；

mn

根+“=222，嬴，，/加W1，当且仅当7"=〃=1时，等号成立，故B正确;

(而+J7)<2(诟)+(册)=4,4m+4n<^(m+n)=2,当且仅当m=〃=1时等号成

立，最大值为2,故C错误；

苏+“2J"2+")=2,当且仅当机=〃=1时等号成立，故D错误.

2

故选：AB

2K-1,0<X<2

12.已知八可是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(%)=1，若关于龙的方程

-f(x-2),x>2

、乙

[/(力丁―(。+1)/(力+。=。(。©2恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为()

A.4B.-4C.-8D.8

【答案】BD

【解析】

【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元/Xx)=f解方程可得y々或y1，利用图象求

出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分f=a=，与/=。=一4两种情况讨

22

论，数形结合即可求解.

【详解】作出函数在xNO时的图象，如图所示，

设/(尤)=乙

则关于％的方程[/(x)]2-(a+l)/U)+«=0(aeR)的方程等价于/—(a++a=0,

解得：1=。或方=1,

如图，

当/=1时，即/(x)=l对应一个交点为玉=2,

方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:

(1)f=a=g,即/(x)=；对应3个交点，且x2+x3=2,x4=4,

此时4个实数根之和为8；

(2)t=a=—g,即f(x)=――对应3个交点，且x2+x3=—2,x4=-4,

此时4个实数根之和为T，

综上，4个实数根之和为8或

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.用列举法表示|--eN|aeNj=.

【答案】{1,2,3,6}

【解析】

【分析】根据一9—eN且aeN求出。值，即可求出工，从而列举即可.

6Z—16Z—1

【详解】解：因为一9—wN且所以〃一1=1或。一1=2或〃一1二3或。一1二6,

a—1

解得。=2或a=3或〃=4或a=7,

所以对应的一、分别为6、3、2、1,

即|六eN|aeN}={l,2,3,6}；

故答案为：{1,2,3,6)

3

14.已知a为锐角，且sina=g,则cos(兀一a)的值为.

4

【答案】-y##-0.8

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求解.

34

【详解】因为a为锐角，且sina=1，所以cosa=1，

所以cos(兀一a)=-cosa=--1,

4

故答案为：-1.

15.已知指数函数>=优是减函数，若机=/,“=2°，P=log〃2,则机，"，P的大小关系是

【答案】n>m>p

【解析】

【分析】根据指数函数性质可知由此可推断出机，%°的取值范围继而得到大小关系.

【详解】因为指数函数>=优是减函数，所以0<。<1

由此可知0<加<1；1</7<2；p<0,^n>m>p

故答案为：n>m>p

16.己知函数+gx2+sinx+2022则〃。)+“圭卜2021

+f+/(!)=

~x2+20222022

【答案】2023

【分析】确定了3的图象关于(；』)对称，进而可得/(g+x)+/(g-x)=2,即可求解.

【详解】因为+；X2+sinx+2022,sinxsinx

1H---;----------，所以+—1=

--2+2022-+2022炉+2022

sinx/、一sin九

设g(%)=—；---------,g(-%)=—；-----------=_g(x)，

X+2022X2+2022

所以g(x)为奇函数，所以/+关于(0,1)对称,

所以/(X)的图象关于，,1)对称,

所以，(。)+"1)=2"(土),g|卜2,.,吗)=1,

所以〃0)+/［急［++/［卷］+/⑴=1011x2+1=2023,

\乙乙乙J\乙\)乙乙J

故答案为：2023

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知不等式a?—3x+2>0的解集为{x|x<l或x>b}.

(1)求。，Z?的值；

(2)加为何值时，0c2+如+32。的解集为R.

(3)解不等式av?—(ac+Z?)x+Z?c<0.

【答案】(1)a=l；b=2；

(2)-273<m<2A/3；

(3)详见解析.

【解析】

【分析】(1)由题可知1和6是方程依2一3%+2=0的两根，利用根与系数的关系可求得。、〃的值；

(2)由题意可得出AW0,即可求得实数加的取值范围；

(3)将所求不等式变形为(x-2)(x-c)<0,对c和2的大小关系进行分类讨论，利用二次不等式的解

法可得出原不等式的解集.

【小问1详解】

由题意知，1和人是方程办?—3%+2=0的两根，

贝!Ja—3+2=0,得a=l,

所以方程为V—3%+2=0，

由韦达定理可得lx〃=2,

解得6=2；

【小问2详解】

由题意可知，关于%的不等式12+如：+320的解集为R，

所以，A=m2-12<0,

解得—2百〈根〈2百；

【小问3详解】

不等式加-(^ac+b^x+bc<0,

所以f-(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,

①当c>2时，原不等式的解集为｛x[2<x<c｝；

②当c<2时，原不等式的解集为｛x[c<x<2｝；

③当c=2时，原不等式无解；

综上知，当c>2时，原不等式的解集为｛x[2<x<c｝；

当c<2时，原不等式的解集为｛无卜<%<2｝；

当c=2时，原不等式的解集为0.

18.已知sin。、cos。是方程2妙_(百一1)%+根=o的两个实数根.

(1)求实数m的值；

sin0cos0

(2)求]1.1—tan®的值;

tan。

3

(3)若求cos2。的值.

【答案】(1)m-；

2

⑵^1;

2

(3)J.

【解析】

【分析】(1)根据韦达定理及同角关系式即得；

(2)根据同角关系式化简即得；

(3)由题可得cos9-sin9=58,然后利用二倍角公式即得.

2

【小问1详解】

因为sin。、以光。是方程2%2_(6-1)%+/〃=0的两个实数根，

1

sin0+cos0=

由韦达定理得《2

sin^cos^=-

2

由(sin0+cos9)2=S*2，3*

则1+2sincos3=l+m=(―-----)2,

2

所以根=—；

2

【小问2详解】

sin0cos0

------i------1---------------sin20cos20

_11-tan6=----------------------1----------------------

sin0-cos0cos3-sin0

tan。

地m3?=sine+cose=®

sin。一cos。2

【小问3详解】

因为加=—史^,

2

•qzj"73—1

sint)+cosk)---------

2

所以r9

sin0cos9=....—

I4

所以(sin9—cosOp=1—2sin8cos8=1+立=4+2百=(匕乌2,

242

3

因为夕£(—肛2»),

2

所以cos6>0,sin6v0,cos6一sin8J+",

2

所以cos26=cos2夕一sin?。=(cos夕+sin8)(cos夕一sin夕)=L

2

19.己知函数〃力=竺之如土1为奇函数，且"1)=3

(1)求/(X)；

(2)求证：f(x)在区间[1,+oo)上单调递增;

(3)若对任意的xe[l,+8)都有7，—求实数机的取值范围.

【答案】(1)/(x)=2x+-;

X

⑵证明见解析；(3)[-1,3].

【解析】

【分析】(1)根据奇函数的概念求出参数。力，再检验，即可求解；

⑵由(1),利用定义法直接证明即可；

(3)根据(2)可得xe[l,+oo),/⑺而n=3，即92—2根<3，解之即可.

【小问1详解】

由/(X)为奇函数，定义域为(一8,。)I(。,+8)

可得/(—1)=一/(I)，即一(Q—人+1)=—(Q+b+1),解得b=(),.

又/(l)=a+l=3,有a=2,所以/(x)=2x+L,

X

对任意X£(—8,O)U(0,+8),/(-%)二一2%一,二—/(%),满足了(%)为奇函数.

综上：/(x)=2x+—.

X

【小问2详解】

对任意％1,+8)且%<%2，有

/㈤-〃%)=2石+工-2%」=2。-2)+^^=&-“2)(2中2-1),

玉x2x1x2xrx2

由可得2%2%2〉1，王一九2<0,

则/(%)-/(%2)<。，即/(%)</(%2)，

所以/(X)在[1,+00)上单调递增；

【小问3详解】

由/(X)在[1,+oo)上单调递增.

可得对任意尤e[l,+”)，/(%)niin=/(1)=3,

因为对任意的xe[l,+。)都有机2-2m(/(x).

所以/向口=/(1)=3,nr-2m-3<0,解得—lWmW3,

即实数机的取值范围是[-1,3].

20.1.2015年11月30日，习近平主席在巴黎气候大会的讲话中宣布：“中国将于明年启动在发展中国家开

展10个低碳示范区，100个减缓和适应气候变化项目及1000个应对气候变化培训名额的合作项目.”某企业

在国家科研部门的支持下，计划在A国启动减缓气候变化项目，重点进行技术攻关，将采用新工艺，把细

颗粒物(PM2.5)转化为一种可利用的化工产品.已知该企业处理成本P(x)(亿元)与处理量x(万吨)之

—+-,0<^,10

间的函数关系可近似地表示为P(x)=164，另外技术人员培训费为2500万元，试验区基

433

XH-----------,X>10

IX20

建费为1亿元.(附：投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费，平均成本

投入总成本、

处理量

(1)当0<%,10时，若计划在A国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量X的取值范围是多少？

(2)该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？

【答案】(1)(0,6]

(2)处理量为x=2石万吨时，每万吨的平均成本最低，最低是4包亿元.

4

【解析】

【分析】(1)在0<%,10时，求出此时的总成本函数，列出不等式，解出该工艺处理量x的取值范围；

(2)分0〈茗,10和1〉10两种情况，表示出两种情况下每万吨的平均成本函数，结合函数特点分别求出

最小值，比较得出答案.

【小问1详解】

2500万元为工亿元

4

设该企业计划在A国投入的总成本为Q(x)(亿元),

则当0<三10时，Q(X)=；+J+:+1=W+9+0

16441644

依题意：Q(x)=---1---1—„5,

1644

即f+4x-60,,0,解得—1噂心6,结合条件0<工,10,•••%£((),6].

【小问2详解】

依题意，该企业计划在A国投入的总成本:

①当0<xW10时，Q(X)=±+'+9,

1644

„„Q{x}尤51Jx51A/5+1当且仅当仁=2；,即x=2j?时,

则"，=一+—+-..2.—.—+-=-----

x164%4yl64x44

四的最小值为好斗

x4

四=:-2+1=/」)2+空

②当x>10时,

xx25xx20100

「•当—二=，即20时，)的最小值为---，

x20x100

..99A/5+I

•---〉-----

1004

当x=2A/5时，"’的最小值为+1.

x4

21.对于函数y=/(x),若在定义域内存在实数x,满足/(—%)=—4(%)，其中改为整数，则称函数

y=/(x)为定义域上的‘〃阶局部奇函数”•

(1)已知函数/(x)=3sinx+cosx,试判断y=/(x)是否为(-/，鼻上的“2阶局部奇函数”？并说

明理由；

(2)若/a)=log3(x+m)是［-2,2］上的“1阶局部奇函数”，求实数机的取值范围；

⑶若/(x)=*—2］+/,对任意的实数fe(—8,2］,函数y=/(x)恒为R上的“上阶局部奇函

数”，求整数上取值的集合.

【答案】(1)是，理由见解析；(2)xe(2,君］;⑶{—5,T—3,—2,—1}

【解析】

【分析】⑴根据题意，/(%)为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程/(—%)=—2/⑴

在卜万,不)上有解，列出方程，解方程即可；

(2)由“1阶局部奇函数”的定义，列出方程，讨论方程成立并有解时参数的取值范围；

(3)根据隈阶局部奇函数”定义，转化对任意的实数8,2］,函数y=/(x)恒为R上的“左阶

局部奇函数”，为(4+l)f+2(l—左)x+f+笈=0对任意的实数0恒成立问题，讨论二次项系

数是否为零，不为零时讨论A20恒成立，再令g1)=(l+左—左)2,求解g⑺max<0，即可.

【详解】(1)/(%)为卜/曰上的“2阶局部奇函数”等价于关于X的方程/(—x)=—2/(刈在

1―上有解，即：3sin(-x)+cos(-x)=-2(3sinx+cosx),

化简得：sinx=-cosx,

「,71(717l\

解侍：”=一片「5'引

所以/⑴是上的"2阶局部奇函数”.

(2)由/(%)是［—2,2］上的“1阶局部奇函数”，

且/(x)=log3(x+m)要满足工〉一加,所以切>2.

因为/(x)=log?(x+加)是［-2,2］上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程/(—x)=—/(x)

在［一2,2］有解，即1083(-4+相)=-1。83"+〃。，化简得：m--x2=1-xe［-2,2］

所以加=l+x2e［l,5］,

又m>2,所以机

(3)因为/(%)恒为R上的"阶局部奇函数”等价于关于x的方程/(—x)=—4(％)恒有解.

即尤~+2%+/=—左(厂—2x+/),化简得：(左+1)%2+2(1