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文档简介
高三
2022-2023学年度第一学期期中检测试题
高三数学2022.11.9
(全卷满分150分,考试时间120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项符合要求)
1.已知全集[/={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={1,2,3,4},则(CuA/)ClN=
A.{5}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{1,2,3,4,5}
2.匕则电的值为
l+tanl5°
A.1B・3C•道D.也
32
3.古希腊数学家阿基米德的墓碑,上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径
恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现,即:圆柱的内切
球体积与圆柱体积比为定值,则该定值为
1233
A.B.C.D.
2342
4.Q-2)(W的展开式中x的系数为
A.-280B.-40C.40D.280
5.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,它是由四个全等
的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示,记直角三角形较小的锐角为原大
正方形的面积为S,小正方形的面积为S2,若队=5,则sina+cosa的值为
A.逆B.毡—D.&
5555
6.已知函数段)的导函数/(x)满足/(x)=/(x),则不等式加)>2e%osx在区间(0,'上的解集
A.(0,/B.g,?D.(0,,
试题
高三
7.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子出现的点数可能为1,2,3,4,5,6),并分别
记录自己每次出现的点数,四人根据统计结果对自己的试验数据分别做了如下描述,可以判
断一定出现6点的描述是
A.中位数为4,众数为4B.中位数为3,极差为4
C.平均数为3,方差为2D.平均数为4,25百分位数为2
8.若。巧,6=(即,c=4,其中e为自然对数的底数,则a,b,c的大小关系为
A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.设函数Hx),g(x)的定义域都为R,且"v)>0,g(x)>0,风灯是减函数,g(x)是增函数,则
下列说法中正确的有
A.负x)+g(x)是增函数B./*)—g(x)是减函数
©是减函数
c.y(x)g(x)是增函数D.
g(x)
10.下列说法中正确的有
A.若a>b>0,则B.若a〈bV0,c〈d,则ac<hd
ab
33
C.若a<b,c〈d,则a—d<h—cD.若a<h,则Q2Vb2
11.已知奇函数y[x)=3sin(©r+s)—cos(力式+夕)3>0,<兀)的最小正周期为兀,将函数
/(X)的图象向右平移]个单位,得到函数双外的图象,则下列说法中正确的有
A.函数g(x)的图象关于直线*="对称
B.当xG[0,今时,函数g(x)的最小值是一S
C.函数g(x)在区间[—匹,2]上单调递增
66
D.若函数y=g(x)—《》一?)有且仅有3个零点,则所有零点之和为工
62
12.已知函数y(x)及其导函数/(x)的定义域都为R,犬0)=0,Hl—2x)=H2x-l),41一工2)一
/(l+x2)+4x2=0,则下列说法中正确的有
A.导函数/(X)为奇函数B.2是函数Hx)的一个周期
C./(2A)=4A2/eZ)D./(2023)=4046
试题
高三
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知sin(a+*=¥,则cos(2a+:)=.
14.已知直线了=履曲线y=k>gzx的切线,则实数%=.
15.图1是一枚质地均匀的骰子,图2是一个正六边形(边长为1个单位)棋盘,现通过掷骰
子的方式玩跳棋游戏,规则是:先将一棋子放在正六边形/5CDE厂的顶点/处.如果掷出
的点数为d=1,2,3,4,5,6),则棋子就按顺时针方向行走,个单位,一直循环下去.则
某人抛掷两次骰子后棋子恰好有又回到点A处的所有不同走法共有种.
图1图2
16.中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为
“阳马”.现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形,垂直于底面的侧棱长为4,则该“阳
马”的内切球表面积为,内切球的球心和外接球的球心之间的距离为.
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知命题:VxG[0,1],x2+x-"?<0是真命题.
(1)求实数m的取值集合4
(2)设集合8=3竺二•>()}(其中。>0),若“xGZ”是“xeB”的充分不必要条件,求实数
x+2
a的取值范围.
试题
高三
18.(本小题满分12分)
已知函数/(对=加0+《是R上的奇函数.
(1)求实数机的值;
(2)若存在实数fG[O,2],使得/(»—幻+大2一初20成立,求实数”的取值范围.
19.(本小题满分12分)
在平面四边形45。中,ZA=120°,AB=AD,BC=2,CD=3.
⑴若cos/C2O=U,求sinC;
16
(2)记四边形N8C。的面积为S,求S的最大值.
20.(本小题满分12分)
如图,在体积为1的四棱锥产一Z88中,ZABC=90°,AD//BC,4D=4B=旭,BC
=23,CD±PB,PB=PD.
(1)证明:平面平面/8CZ);
(2)若点E为棱BC上一动点,求直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值.
试题
高三
21.(本小题满分12分)
甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”,制定比赛规则如下:每轮比赛中甲、乙两人各
投一球,两人都投中或者都未投中则均记。分;一人投中而另一人未投中,则投中的记1
分,未投中的记一1分设每轮比赛中甲投中的概率为之乙投中的概率为L甲、乙两人投篮
相互独立,且每轮比赛互不影响.
(1)经过1轮比赛,记甲的得分为X,求X的分布列和期望;
⑵经过3轮比赛,用P.(〃=l,2,3)表示第〃轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率,
研究发现点(〃,2,3)均在函数兀0="小一产)的图象上,求实数机,s,f的值.
22.(本小题满分12分)
已知函数{x)=(x—配左+2)0,其中e为自然对数的底数.
(1)当。=0时,求函数;(X)的单调区间;
(2)当a>0时,
⑴若/(x)Wl恒成立,求实数a的最小值;
(ii)若/(x)存在最大值,求实数a的取值范围.
试题
2022-2023学年度第一学期期中检测试题
高三数学202211.9
(全卷满分150分,考试时间120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项符合要求)
1.已知全集。={1.2,3.4,5},集合2;,N=H,2,3,4;.则(gW)OV=
A.{5;B.{3,4}C.{3,4.5}D.{I,2.3,4,5)
【答案】B
【解析】q;A/={3,4,5},©M)nN={3,4},选B.
2.匕型丝的值为
1+tan150
A.IB.3C.加D.也
32
【答案】c
l-tan15°_tan450-tan15°
【解析】=tan(45°-15°)=y-,选C.
I+tan15°-1+tan45°tan15°
3.占希腾数学家阿基米德的墓碑,上刻着一个园柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径
恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现,即:圆柱的内切
球体积与恻柱体积比为定值,则该定值为
I2八33
A.1B.-C.-D.-
2342
【答案】B
4
【解析】设内切球半径为我,匕=]乃川
)1V2
圆柱的高为2H,底面半径为R,匕=万屋2/?=2乃/?3,r,选B.
4.(工一2)(小一半户的展开式中X的系数为
A.-280B.-40C.40D.280
【答案】A
6
【解析】展开式第,・+i项*=c:(4尸
r=3,XC:(-2)3=-160X;r=2,-2C1(-2)2X=-I20X
的系数为-280,选A.
5.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵家弦图”,它是由四个全等
的直角•:角形与一个小1E方形拼成的大正方形如图所示,记直角•:角形较小的锐角为a,大
正方形的面枳为S”小正方形的面积为S?,若,4=5,则sma+cosa的值为
8
5
【答案】A
【解析】不妨设小正方形边长为I,则大正方形边长为石
设直角三角形短边长为Q,则另一条直角边为a+1
,,।2
a2+(a+1)2=5,:.a=\,sina=-^,cosa=-y=
sina+cosa=-y=,选A.
6.已知函数人x)的导函数/(x)满足/(x)=/b)则不等式_/(x)>20co&t在区间(0,?上的解集
为
A.(0,3B.(",?C.(p:)D.(0,;)
【答案】C
【解析】f\x)=f(x),则可以等于c*,即/(x)=c、
2
—
/(x)>2e3cosxoe3-2cosx>0
*才
x•0―――一
令g(x)=c3-2cosx,g'(x)=c3+2sin.v>0
g(x)在,g(x)H|=g<x<3,选C
kZ)JJ2
7.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰了他现的点数可能为1,2,3,4.5.6),并分别
记录自己每次出现的点数,四人根据统计结果对自己的试验数据分别做「如下描述,可以判
断•定出现6点的描述是
A.中位数为4,众数为4B.中位数为3,极差为4
C.平均数为3,方差为2D.平均数为4,25百分位数为2
【答案】I)
【解析】对于A,4,4,4,4,4满足条件,设出现6点,不满足题意
对于B,1,3,3,3,5满足条件,设出现6但,不满足题意
对于C,X1+与+X3+X4+=15,
1【(而-+(32-3)2+(均-3)2+(X4-3)2+区-3)2]=2
取X]=6,则X?+戈3+*4+=9,
(七-3)2+区-3)2+(七-3)2+(看-3)2=1
2222
.-.(X2-3)<1,(X3-3)<1,(X4-3)<1,(X5-3)<1
.,.均广3户4,/这4个数可以是4,3,3,3与2,3,3,3与*2+勺+*4+x$=9矛盾,
.•・不存在6点,选D.
25百分位是2,5x25%=1.25,,第2个数是2,则前两项和W4
后三项和216,一定有6点,,选D.
8.若b=(%°,c=e;其中e为自然对数的底数,则“,b,c的大小关系为
o9
A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b
【答案】B
3
【解析】InxWx-l(当且仅当x=l时取"=”)
10|0fI01010
建/,】。建<四<Ine9,B即n—<c9,即b<c
99991919J
119-9
0<x<I时e"<----,.e.e9<-,e°<-e,即c<a
1—x88
:.b<c<a,选B.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.设函数凡丫),仪x)的定义域都为R,且<x)>0,g(x)>0,儿0是减函数,仪x)是增函数,则
卜列说法中正确的仃
A.<x)+g(x)是增函数B.凡x)—g(x)是减函数
C.火》)点.丫)是增函数D.&1是减函数
奴x)
【答案】BD
【解析】无去判断/(X)+g(X)增减性,A错.
/'(x)<0,g«x)>0,y=f(x)-g(x),y=f\x)-gf(x)<0-gr(x)<0
y=f(x)-g(x)\,B对.
/(x)=(g],g(x)=21〃x)g(x)为曾减性,C错.
i.:/(x),=/'(x)g(x)-/(x)g'(x)°-〃x)g'(x)
一就西G(x)灯
10.下列说法中正确的有
A.若。>6>0,则B.若aVbVO,c〈d,则acV6d
ab
C.若a<b,c<d,则a—dV6—cD.若a3Vb3,则东
【答案】AC
【解析】a>b>Q,则,A对.
ab
。二-2,6=-1,。=\.d=2,ac=bd,B错.
a<b,c<d,-d<-c,:.a-d<b-c,C对.
a=-2力=1满足,<b3不满足/<必,D错,选AC.
11.已知奇函数/tr)=3sin(ozr+3)—cos(0x+“)(s>O,OV9V完)的最小正周期为元,将函数
人幻的图象向行平移:个单位,得到函数熟幻的图象,则卜列说法中正确的外
6
A.函数双刈的图象关「有线x=;;时称
B.,*Ue[o.,时,函数乐外的最小值是一S
C.函数g)在区间[一:,上单调递增
D.若函数尸亦)一心一。有且仅有3个零点,则所仃零点之和为四
62
【答案】ABD
2兀
【解析】/(x)=2sinf+।,/=--—7CICD=2
/(x)=2sin(2x+s-§,/(x)为奇函数,"=看,,/(x)=2sin2x
g(x)=/(x-j=2sin2x——1,2^-1=、时.='^|■兀,A对.
0<x<—=>0<2x<^=>-—<2x-—<,-Jr=——-<sinf2A--(<1
2333213yl
=>-V3<g(x)W2,B对
g(x)关于x=[不对称,2万e
,g(x)不可能在Z,C错
1212Loo66
g(.v)关于fg,01又寸称J=A(x一过15,。
16)\
g(x)=A(x-g)有三个根,其中一个根。,另两个根关于J对称
X]+x>+Xj=2x—+—=—D又寸选ABD.
~662tt
12.已知函数人制及其导函数/(x)的定义域都为R,火0)=0,/(l-lr)=/(lr-l),川一小)一
5
4+W)+婷=0,则卜列说法中正确的有
A.导函数/(x)为奇函数B.2是函数/lx)的一个周期
C./(2A)=4八(AGZ)D.7(2023)=4046
【答案】A(D
【解析】方法一:/(I-2x)=/(2x-l)o/(x)关于x=0对称o〃x)为偶函数
o/'(x)为奇函数,A对.
/(l-x2)-/(x2+l)+4x2=0一=/,-])+4x],
令刀2-1=,,/(/+2)=〃/)+4/+4,;.2不是/(x)的f周期,B错
/,(/+2)=/'(/)+4,.・・{/")}为等差数列
八2023)=八1)+4044,/'⑴=/'(-1)+4—⑴=2,
所以,(2023)=4046,故选项D正确:
7(/+2)-/(/)=4/+4々,
/⑺-f(t-2)=4/./(,+2)_/(0)=Q+="+2)2
/⑵-/(0)=4
f(t+2)=(1+2)2,:.f(2k)=(2k)2=4k2,CM
方法二:••・/0-2x)=〃2x—l),二/(幻为偶函数,.•./'(x)为奇困数,A正确
由/(1一/)一/(1+%2)+4/=0n/(X2-1)-/(X2+I)+4X2=0
/.f(x+1)-f(x-1)=4x(xN0)n/(x+2)-f(x)=4(x+
若2是/(x)一周期n4(x+1)=0对VxN-1恒成立矛盾,故B错
对于C,由/(x+2)-/(x)=4(x+l)n
/(2A)=/(2A)-/(2A-2)+/(2*-2)-/(2^-4)+.-+/(2)-/(0)+/(0)
2k-k
=4(1+3+…+2£-I)=4.—―=4A2,C正确
对于D,由/(x+2)-/(x)=4(x+l),xNT=/'(x+2)_/'(x)=4
且/(1)_/(1+》)+4.丫=0=>_/'(17)_/'(]+丫)+4=0=>/'(1)=2
/,(2023)=4043,D正确,选ACD
6
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共2()分)
13.—知sin(a+三)=二,则cos(2a+-)=______.
633
【答案】-
9
、2_5
【解析】cos2a+—=cos2a+—\=]-2sin2a+—|=1-2x
<3JJL6JI6J99
14.已知直线),=h曲线y=log:x的切线,则实数4=
1
【答案】
cln2
【解析】切点(与Jog?%),/=,〃=—
xln2xoln2
切线:y-log,x0=—J—(x-?r0)
Xo】n2
切线过(0,0)“跨1
eln2
15.图I是•枚质地均匀的骰子,图2是•个正六边形(边长为1个单位)棋盘,现通过掷骰
干的方式玩跳棋游戏,规则是:先将•棋:放在正六边形/8CCEF的顶点力处.如果掷出
的点数为2=1,2,3,4,5,6),则棋广就按顺时针方向行走,个单位,•自循环卜去.则
某人抛掷两次骰上后棋「恰好有乂回到点4处的所有不同走法共有种.
图1图2
【答案】6
【解析】抛骰子两次回到原点有两种情形:
第一种:点数之和为6,共1+5,2+4,3+3,4+2,5+1,5种结果
第二种:点数之和为12,有1个结果
7
.•・回到/点共有6个结果.
16.中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为
“阳马现有一“阳马"的底面是边长为3的正方形,垂直于底面的侧棱长为4,则该“阳
当”的内切球表面枳为,内切球的球心和外接球的球心之间的距离为.
【答案】4乃;与
【解析】方法一:设内切球半径为,・,/用m=;x9x4=l2
SMI8==gx3x4=6,PB=5,BC=3,
=
SgBC=5X5x3=—=5speD•S/BCD9
1^6+6+y+y+9p=12,:.r=\,S&=4"R2=4;r
将“阳马”补成方体,则BE的中点为外心坐标为"C2)
设内心0(x,乂二),内心到平面力8co的距离为1♦.二=1
同理x=>,=】,则。(1,1,),.♦.0A/=J"+l=g.
V442
方法二:取尸40的内心/,△/<〃)内切球半径r=3+4-3=1
2
过/作/OJ平面产/。,且6=1♦.四棱推内切螭心为q,
8
且四棱锥的外接球球心。为PC的中点,且。在底面射影为点0,oy平面以g
AQ=6,。在底面射影为〃,:.AQ=右,。河=*,0,0=1,。〃=2,
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分T分)
已知命题:Vxe[0,1],f+x-,"V0是真命题.
(I)求实数,"的取值集合小
(2)设集合8=国竺一L>0}(其中。>0),若“XG/”是“XG8”的充分不必要条件,求实数
x+2
a的取值范闱.
【解析】
(1)/〃>9+x对Vxe[0,l]S^in〃i>2,/=97"〃>2)
(2)由题意知8,B=-xl.v<-2必>->,
a
18.(本小题满分12分)
己知函数儿<)=,"2+'是R上的奇函数.
(1)求实数",的值:
(2)若存在实数fW[O,2],使得《产一行+yp一砌20成立,求实数A的取值范围.
9
【解析】
(1)•••/(X)为R上的奇函数,.•./(())=〃7+1=0,m=-}
(2)由/(…)+/(2一切N0=>/(/2_〃)”g2)
••./(工)=,-2'在口上\|,:.r-k<kt-2
2X
:.k(t+\)>t2+2,k>,令f+l=/Mw[l,3]
I,+l,
,r12=M-l)l12=Zl-2A13=/l+3_2^275_2
z+122A
当且仅当%=时取“=",.•/226一2.
19.(本小题满分12分)
在平面四边形/8co中,/力=120。,AB=AD,BC=2,CD=3.
(I)若cosZCBD=—»求sinC:
16
(2)记四边形加sr。的面积为s,求s的最大值.
【解析】
(I)在△8。。中,由余弦定理08。2+4-2・28。・"=9
.\BD---BD-5=Q^4BD2-\}BD-20=0,.•.(48。+5乂8。-4)=0
4
.3岳
BD
:.BD=4,在△BC。中,——-——=>sinC=16
sinCsinZCBD34
V13-12cos<9
(2)设NBCD=0,:.BD=J13-12cosO,/.AM=
26
_1er—-------V13-I2cos^1_,..
.'.S=-J13-12cos0-----------『-------+--2-3-sin/?
22G2
=^^(!3-12cos0)+3sin0=~~~cos^+3sin0
=凶+2小+一支电+2层双
12I6)1212
io
D
B
c
20.(本小题满分12分)
如图,在体积为I的四棱锥P-XSCD中,ZJfiC=90°,AD//BC,AD=AB=^1,BC
=2祖,CDLPB,PB=PD.
(I)证明:平面PBDLr而ABCD:
(2)若点E为极BC上一动点,求宜线PE^平面PAD所成角的正弦值的最大值.
【解析】
(1)证明:在直角梯形488中,•♦•4£>=力8=&,NBAD=9&.:.BD=2
又:CD=2,8c=2&,/.CD2+BD:=8=BC2,:.Z.CBD=90°,CDLBD
又:CDLPB,P8n8D=8,.•.<7。_1平面/>8。,又vCOu平面/BC。
二平面P8OJL平面48CO
(2)如图建系,设E(V2,m,0),->/2<m<>/2
,....,.T,1?.,I(>J2+2>/2)•y/2,,
,・.四棱锥体积为1,,/=一乂--------------h=Inh=I,
32
又;PD=PB,:.P/,¥,11.A0,V2.0),£>(0,0,0)
丽=惇〃…冬Tb"=停-争),刀=(。,血,。)
11
设平面PAD的一个法向量〃=(%%,二0)
[V2近
小丁稣+%=n0=口&0_])
、应a=0
设直线PE与平面/MQ所成角为。,
„/•/n2y/2
当且仅当/〃==,,⑸必"亍
21.(本小题满分12分)
甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”,制定比赛规则如下:每轮比赛中甲、乙两人各
投•球,两人都投中或者都未投中则均壮。分:一人投中而另一人未投中,则投中的记I
分,未投中的记一1分设每轮比赛中甲投中的概率为|,乙投中的概率为g甲,乙两人投篮
相互独;/:,且每轮比赛互不影响.
(1)经过1轮比赛,记甲的得分为X,求X的分布列和期望:
(2)经过3轮比赛,用户从〃=1,2,3)我示第"轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率,
研究发现点(",P"X"=I,2.3)均在函数/x)=/»(s—「)的图象上,求实数m,s,/的值.
【解析】
(I)X的所有可能取值为:
p(yy=O)=-xl+-xl=-,p(x=\)=-x
3232233
p(X=-l)=lxL=1
326
・•・X的分布列如下:
X01—1
\_1
P
236
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