2022-2023学年江苏省扬州市高三年级上册期中检测数学试题及答案

高三

2022-2023学年度第一学期期中检测试题

高三数学2022.11.9

(全卷满分150分，考试时间120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合要求)

1.已知全集［/={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={1,2,3,4},则(CuA/)ClN=

A.{5}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

2.匕则电的值为

l+tanl5°

A.1B・3C•道D.也

32

3.古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径

恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切

球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为

1233

A.B.C.D.

2342

4.Q-2)(W的展开式中x的系数为

A.-280B.-40C.40D.280

5.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等

的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为原大

正方形的面积为S,小正方形的面积为S2,若队=5,则sina+cosa的值为

A.逆B.毡—D.&

5555

6.已知函数段)的导函数/(x)满足/(x)=/(x),则不等式加)>2e%osx在区间(0,'上的解集

A.(0,/B.g,?D.(0,,

试题

高三

7.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子出现的点数可能为1,2,3,4,5,6),并分别

记录自己每次出现的点数，四人根据统计结果对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判

断一定出现6点的描述是

A.中位数为4,众数为4B.中位数为3,极差为4

C.平均数为3,方差为2D.平均数为4,25百分位数为2

8.若。巧，6=(即，c=4,其中e为自然对数的底数，则a,b,c的大小关系为

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9.设函数Hx),g(x)的定义域都为R,且"v)>0,g(x)>0,风灯是减函数，g(x)是增函数，则

下列说法中正确的有

A.负x)+g(x)是增函数B./*)—g(x)是减函数

©是减函数

c.y(x)g(x)是增函数D.

g(x)

10.下列说法中正确的有

A.若a>b>0,则B.若a〈bV0,c〈d,则ac<hd

ab

33

C.若a<b,c〈d,则a—d<h—cD.若a<h,则Q2Vb2

11.已知奇函数y［x)=3sin(©r+s)—cos(力式+夕)3>0,<兀)的最小正周期为兀，将函数

/(X)的图象向右平移］个单位，得到函数双外的图象，则下列说法中正确的有

A.函数g(x)的图象关于直线*="对称

B.当xG［0,今时，函数g(x)的最小值是一S

C.函数g(x)在区间［—匹，2］上单调递增

66

D.若函数y=g(x)—《》一?)有且仅有3个零点，则所有零点之和为工

62

12.已知函数y(x)及其导函数/(x)的定义域都为R,犬0)=0,Hl—2x)=H2x-l),41一工2)一

/(l+x2)+4x2=0,则下列说法中正确的有

A.导函数/(X)为奇函数B.2是函数Hx)的一个周期

C./(2A)=4A2/eZ)D./(2023)=4046

试题

高三

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知sin（a+*=¥，则cos（2a+：）=.

14.已知直线了=履曲线y=k>gzx的切线，则实数%=.

15.图1是一枚质地均匀的骰子，图2是一个正六边形（边长为1个单位）棋盘，现通过掷骰

子的方式玩跳棋游戏，规则是：先将一棋子放在正六边形/5CDE厂的顶点/处.如果掷出

的点数为d=1，2,3,4,5,6）,则棋子就按顺时针方向行走，个单位，一直循环下去.则

某人抛掷两次骰子后棋子恰好有又回到点A处的所有不同走法共有种.

图1图2

16.中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为

“阳马”.现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4,则该“阳

马”的内切球表面积为,内切球的球心和外接球的球心之间的距离为.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知命题：VxG[0,1],x2+x-"?<0是真命题.

（1）求实数m的取值集合4

（2）设集合8=3竺二•>（）｝（其中。>0）,若“xGZ”是“xeB”的充分不必要条件，求实数

x+2

a的取值范围.

试题

高三

18.(本小题满分12分)

已知函数/(对=加0+《是R上的奇函数.

(1)求实数机的值；

(2)若存在实数fG[O,2],使得/(»—幻+大2一初20成立，求实数”的取值范围.

19.(本小题满分12分)

在平面四边形45。中，ZA=120°,AB=AD,BC=2,CD=3.

⑴若cos/C2O=U,求sinC；

16

(2)记四边形N8C。的面积为S,求S的最大值.

20.(本小题满分12分)

如图，在体积为1的四棱锥产一Z88中，ZABC=90°,AD//BC,4D=4B=旭,BC

=23，CD±PB,PB=PD.

(1)证明：平面平面/8CZ)；

(2)若点E为棱BC上一动点，求直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值.

试题

高三

21.(本小题满分12分)

甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各

投一球，两人都投中或者都未投中则均记。分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1

分，未投中的记一1分设每轮比赛中甲投中的概率为之乙投中的概率为L甲、乙两人投篮

相互独立，且每轮比赛互不影响.

(1)经过1轮比赛，记甲的得分为X,求X的分布列和期望；

⑵经过3轮比赛，用P.(〃=l,2,3)表示第〃轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，

研究发现点(〃，2,3)均在函数兀0="小一产)的图象上，求实数机，s,f的值.

22.(本小题满分12分)

已知函数｛x)=(x—配左+2)0,其中e为自然对数的底数.

(1)当。=0时，求函数;(X)的单调区间；

(2)当a>0时，

⑴若/(x)Wl恒成立，求实数a的最小值；

(ii)若/(x)存在最大值，求实数a的取值范围.

试题

2022-2023学年度第一学期期中检测试题

高三数学202211.9

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合要求）

1.已知全集。={1.2,3.4,5},集合2；,N=H，2,3,4；.则（gW）OV=

A.{5；B.{3,4}C.{3,4.5}D.{I,2.3,4,5）

【答案】B

【解析】q；A/={3,4,5},©M）nN={3,4},选B.

2.匕型丝的值为

1+tan150

A.IB.3C.加D.也

32

【答案】c

l-tan15°_tan450-tan15°

【解析】=tan(45°-15°)=y-，选C.

I+tan15°-1+tan45°tan15°

3.占希腾数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个园柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径

恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现,即:圆柱的内切

球体积与恻柱体积比为定值，则该定值为

I2八33

A.1B.-C.-D.-

2342

【答案】B

4

【解析】设内切球半径为我，匕=］乃川

）1V2

圆柱的高为2H，底面半径为R，匕=万屋2/?=2乃/?3,r，选B.

4.（工一2）（小一半户的展开式中X的系数为

A.-280B.-40C.40D.280

【答案】A

6

【解析】展开式第，・+i项*=c：(4尸

r=3,XC：(-2)3=-160X；r=2,-2C1(-2)2X=-I20X

的系数为-280，选A.

5.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵家弦图”，它是由四个全等

的直角•:角形与一个小1E方形拼成的大正方形如图所示，记直角•:角形较小的锐角为a,大

正方形的面枳为S”小正方形的面积为S?,若，4=5,则sma+cosa的值为

8

5

【答案】A

【解析】不妨设小正方形边长为I,则大正方形边长为石

设直角三角形短边长为Q,则另一条直角边为a+1

,,।2

a2+(a+1)2=5,:.a=\,sina=-^,cosa=-y=

sina+cosa=-y=,选A.

6.已知函数人x)的导函数/(x)满足/(x)=/b)则不等式_/(x)>20co&t在区间(0,?上的解集

为

A.(0,3B.(",?C.(p：)D.(0,；)

【答案】C

【解析】f\x)=f(x),则可以等于c*,即/(x)=c、

2

—

/(x)>2e3cosxoe3-2cosx>0

*才

x•0―――一

令g(x)=c3-2cosx,g'(x)=c3+2sin.v>0

g(x)在,g(x)H|=g<x<3，选C

kZ)JJ2

7.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰了他现的点数可能为1,2,3,4.5.6),并分别

记录自己每次出现的点数,四人根据统计结果对自己的试验数据分别做「如下描述，可以判

断•定出现6点的描述是

A.中位数为4,众数为4B.中位数为3,极差为4

C.平均数为3,方差为2D.平均数为4,25百分位数为2

【答案】I)

【解析】对于A,4,4,4,4,4满足条件，设出现6点，不满足题意

对于B,1,3,3,3,5满足条件，设出现6但，不满足题意

对于C,X1+与+X3+X4+=15,

1【(而-+(32-3)2+(均-3)2+(X4-3)2+区-3)2]=2

取X]=6，则X?+戈3+*4+=9,

(七-3)2+区-3)2+(七-3)2+(看-3)2=1

2222

.-.(X2-3)<1,(X3-3)<1,(X4-3)<1,(X5-3)<1

.,.均广3户4，/这4个数可以是4,3,3,3与2,3,3,3与*2+勺+*4+x$=9矛盾，

.•・不存在6点，选D.

25百分位是2,5x25%=1.25，,第2个数是2，则前两项和W4

后三项和216,一定有6点，，选D.

8.若b=(%°，c=e；其中e为自然对数的底数，则“，b,c的大小关系为

o9

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

3

【解析】InxWx-l(当且仅当x=l时取"=”)

10|0fI01010

建/，】。建<四<Ine9，B即n—<c9,即b<c

99991919J

119-9

0<x<I时e"<----,.e.e9<-,e°<-e，即c<a

1—x88

:.b<c<a，选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9.设函数凡丫)，仪x)的定义域都为R,且<x)>0,g(x)>0,儿0是减函数，仪x)是增函数,则

卜列说法中正确的仃

A.<x)+g(x)是增函数B.凡x)—g(x)是减函数

C.火》)点.丫)是增函数D.&1是减函数

奴x)

【答案】BD

【解析】无去判断/(X)+g(X)增减性，A错.

/'(x)<0,g«x)>0,y=f(x)-g(x),y=f\x)-gf(x)<0-gr(x)<0

y=f(x)-g(x)\,B对.

/(x)=(g],g(x)=21〃x)g(x)为曾减性，C错.

i.:/(x)，=/'(x)g(x)-/(x)g'(x)°-〃x)g'(x)

一就西G(x)灯

10.下列说法中正确的有

A.若。>6>0,则B.若aVbVO,c〈d,则acV6d

ab

C.若a<b,c<d,则a—dV6—cD.若a3Vb3,则东

【答案】AC

【解析】a>b>Q，则,A对.

ab

。二-2,6=-1,。=\.d=2,ac=bd,B错.

a<b,c<d,-d<-c,：.a-d<b-c,C对.

a=-2力=1满足，＜b3不满足/＜必，D错，选AC.

11.已知奇函数/tr)=3sin(ozr+3)—cos(0x+“)(s＞O,OV9V完)的最小正周期为元,将函数

人幻的图象向行平移:个单位，得到函数熟幻的图象，则卜列说法中正确的外

6

A.函数双刈的图象关「有线x=；；时称

B.,*Ue[o.，时，函数乐外的最小值是一S

C.函数g)在区间[一：，上单调递增

D.若函数尸亦)一心一。有且仅有3个零点，则所仃零点之和为四

62

【答案】ABD

2兀

【解析】/(x)=2sinf+।,/=--—7CICD=2

/(x)=2sin(2x+s-§,/(x)为奇函数，"=看，，/(x)=2sin2x

g(x)=/(x-j=2sin2x——1,2^-1=、时.='^|■兀，A对.

0<x<—=>0<2x<^=>-—<2x-—<,-Jr=——-<sinf2A--(<1

2333213yl

=>-V3<g(x)W2,B对

g(x)关于x=[不对称，2万e

,g(x)不可能在Z,C错

1212Loo66

g(.v)关于fg,01又寸称J=A(x一过15,。

16)\

g(x)=A(x-g)有三个根，其中一个根。，另两个根关于J对称

X]+x>+Xj=2x—+—=—D又寸选ABD.

~662tt

12.已知函数人制及其导函数/(x)的定义域都为R,火0)=0,/(l-lr)=/(lr-l),川一小)一

5

4+W)+婷=0,则卜列说法中正确的有

A.导函数/(x)为奇函数B.2是函数/lx)的一个周期

C./(2A)=4八(AGZ)D.7(2023)=4046

【答案】A(D

【解析】方法一：/(I-2x)=/(2x-l)o/(x)关于x=0对称o〃x)为偶函数

o/'(x)为奇函数，A对.

/(l-x2)-/(x2+l)+4x2=0一=/，-])+4x],

令刀2-1=，，/(/+2)=〃/)+4/+4,;.2不是/(x)的f周期，B错

/,(/+2)=/'(/)+4,.・・{/")}为等差数列

八2023)=八1)+4044,/'⑴=/'(-1)+4—⑴=2,

所以,(2023)=4046,故选项D正确：

7(/+2)-/(/)=4/+4々，

/⑺-f(t-2)=4/./(,+2)_/(0)=Q+="+2)2

/⑵-/(0)=4

f(t+2)=(1+2)2,:.f(2k)=(2k)2=4k2,CM

方法二：••・/0-2x)=〃2x—l),二/(幻为偶函数，.•./'(x)为奇困数，A正确

由/(1一/)一/(1+%2)+4/=0n/(X2-1)-/(X2+I)+4X2=0

/.f(x+1)-f(x-1)=4x(xN0)n/(x+2)-f(x)=4(x+

若2是/(x)一周期n4(x+1)=0对VxN-1恒成立矛盾，故B错

对于C,由/(x+2)-/(x)=4(x+l)n

/(2A)=/(2A)-/(2A-2)+/(2*-2)-/(2^-4)+.-+/(2)-/(0)+/(0)

2k-k

=4(1+3+…+2£-I)=4.—―=4A2,C正确

对于D,由/(x+2)-/(x)=4(x+l),xNT=/'(x+2)_/'(x)=4

且/(1)_/(1+》)+4.丫=0=>_/'(17)_/'(]+丫)+4=0=>/'(1)=2

/,(2023)=4043,D正确，选ACD

6

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共2（）分）

13.—知sin（a+三）=二，则cos（2a+-）=______.

633

【答案】-

9

、2_5

【解析】cos2a+—=cos2a+—\=]-2sin2a+—|=1-2x

<3JJL6JI6J99

14.已知直线），=h曲线y=log：x的切线，则实数4=

1

【答案】

cln2

【解析】切点(与Jog?%)，/=，〃=—

xln2xoln2

切线：y-log,x0=—J—(x-?r0)

Xo】n2

切线过（0,0）“跨1

eln2

15.图I是•枚质地均匀的骰子，图2是•个正六边形（边长为1个单位）棋盘，现通过掷骰

干的方式玩跳棋游戏，规则是：先将•棋:放在正六边形/8CCEF的顶点力处.如果掷出

的点数为2=1，2,3,4,5,6）,则棋广就按顺时针方向行走，个单位，•自循环卜去.则

某人抛掷两次骰上后棋「恰好有乂回到点4处的所有不同走法共有种.

图1图2

【答案】6

【解析】抛骰子两次回到原点有两种情形：

第一种：点数之和为6,共1+5,2+4,3+3,4+2,5+1,5种结果

第二种：点数之和为12,有1个结果

7

.•・回到/点共有6个结果.

16.中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为

“阳马现有一“阳马"的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4,则该“阳

当”的内切球表面枳为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为.

【答案】4乃;与

【解析】方法一：设内切球半径为，・，/用m=；x9x4=l2

SMI8==gx3x4=6，PB=5，BC=3,

=

SgBC=5X5x3=—=5speD•S/BCD9

1^6+6+y+y+9p=12,:.r=\,S&=4"R2=4;r

将“阳马”补成方体，则BE的中点为外心坐标为"C2)

设内心0(x,乂二)，内心到平面力8co的距离为1♦.二=1

同理x=>，=】，则。(1,1,),.♦.0A/=J"+l=g.

V442

方法二：取尸40的内心/,△/<〃)内切球半径r=3+4-3=1

2

过/作/OJ平面产/。，且6=1♦.四棱推内切螭心为q,

8

且四棱锥的外接球球心。为PC的中点，且。在底面射影为点0,oy平面以g

AQ=6,。在底面射影为〃，:.AQ=右,。河=*，0,0=1,。〃=2,

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分T分)

已知命题：Vxe[0,1],f+x-,"V0是真命题.

(I)求实数，"的取值集合小

(2)设集合8=国竺一L＞0}(其中。＞0),若“XG/”是“XG8”的充分不必要条件，求实数

x+2

a的取值范闱.

【解析】

(1)/〃>9+x对Vxe[0,l]S^in〃i>2,/=97"〃>2)

(2)由题意知8,B=-xl.v<-2必>->,

a

18.(本小题满分12分)

己知函数儿＜)=，"2+'是R上的奇函数.

(1)求实数"，的值：

(2)若存在实数fW[O,2],使得《产一行+yp一砌20成立，求实数A的取值范围.

9

【解析】

(1)•••/(X)为R上的奇函数，.•./(())=〃7+1=0,m=-}

(2)由/(…)+/(2一切N0=>/(/2_〃)”g2)

••./(工)=，-2'在口上\|,:.r-k<kt-2

2X

:.k(t+\)>t2+2,k>，令f+l=/Mw[l,3]

I，+l,

,r12=M-l)l12=Zl-2A13=/l+3_2^275_2

z+122A

当且仅当％=时取“="，.•/226一2.

19.(本小题满分12分)

在平面四边形/8co中，/力=120。，AB=AD,BC=2,CD=3.

(I)若cosZCBD=—»求sinC：

16

(2)记四边形加sr。的面积为s,求s的最大值.

【解析】

(I)在△8。。中,由余弦定理08。2+4-2・28。・"=9

.\BD---BD-5=Q^4BD2-\}BD-20=0,.•.(48。+5乂8。-4)=0

4

.3岳

BD

:.BD=4,在△BC。中，——-——=>sinC=16

sinCsinZCBD34

V13-12cos<9

(2)设NBCD=0,:.BD=J13-12cosO,/.AM=

26

_1er—-------V13-I2cos^1_,..

.'.S=-J13-12cos0-----------『-------+--2-3-sin/?

22G2

=^^(!3-12cos0)+3sin0=~~~cos^+3sin0

=凶+2小+一支电+2层双

12I6)1212

io

D

B

c

20.(本小题满分12分)

如图，在体积为I的四棱锥P-XSCD中，ZJfiC=90°,AD//BC,AD=AB=^1,BC

=2祖,CDLPB,PB=PD.

(I)证明：平面PBDLr而ABCD：

(2)若点E为极BC上一动点，求宜线PE^平面PAD所成角的正弦值的最大值.

【解析】

(1)证明：在直角梯形488中，•♦•4£>=力8=&,NBAD=9&.：.BD=2

又：CD=2,8c=2&,/.CD2+BD:=8=BC2,：.Z.CBD=90°,CDLBD

又:CDLPB,P8n8D=8,.•.<7。_1平面/>8。，又vCOu平面/BC。

二平面P8OJL平面48CO

(2)如图建系,设E(V2,m,0),->/2<m<>/2

,....,.T,1?.,I(>J2+2>/2)•y/2,,

,・.四棱锥体积为1,，/=一乂--------------h=Inh=I,

32

又；PD=PB,:.P/，¥，11.A0,V2.0),£>(0,0,0)

丽=惇〃…冬Tb"=停-争)，刀=(。，血，。)

11

设平面PAD的一个法向量〃=(%％,二0)

[V2近

小丁稣+%=n0=口&0_])

、应a=0

设直线PE与平面/MQ所成角为。，

„/•/n2y/2

当且仅当/〃==，，⑸必"亍

21.(本小题满分12分)

甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各

投•球，两人都投中或者都未投中则均壮。分：一人投中而另一人未投中，则投中的记I

分，未投中的记一1分设每轮比赛中甲投中的概率为|,乙投中的概率为g甲,乙两人投篮

相互独；/：,且每轮比赛互不影响.

(1)经过1轮比赛,记甲的得分为X,求X的分布列和期望:

(2)经过3轮比赛,用户从〃=1,2,3)我示第"轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率,

研究发现点("，P"X"=I,2.3)均在函数/x)=/»(s—「)的图象上,求实数m,s,/的值.

【解析】

(I)X的所有可能取值为：

p（yy=O）=-xl+-xl=-,p（x=\）=-x

3232233

p（X=-l）=lxL=1

326

・•・X的分布列如下：

X01—1

\_1

P

236