小升初数学衔接讲义 第16讲余角和补角（解析版）

第十六讲余角和补角

【课程解读】

--------小学初中课程解读

小学课程初中课程

小学数学中，要求知道平角与周初中数学中，理解角的概念，能比较角的大

角，了解周角、平角、钝角、直小;认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简

角、锐角之间的大小关系;能用量单的换算，并会计算角的和、差;理解对顶角、

角器量指定角的度数，能画指定余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、

度数的角，会用三角尺画30。，同角（等角）的余角相等，同角（等角）的

45°,60°,90。角。补角相等的性质。

【知识衔接】

--------小学知识回顾--------

（1）1平角=180。，1周角=360。，1直角=90。，1周角=2平角=4直角.

（2）锐角：小于90。的角叫做锐角；钝角：大于90。小于180。的角叫做钝角.

------初中知识链接------

L余角与补角的概念

一般情况下,如果两个角的和等于90度（直角）,我们就说这两个角互为余角,即其中每.一个角是另一个角的余

角.例如,Nl与N2互为余角,Nl是N2的余角,N2也是Nl的余角.

同样,如果两个角的和等于180度（平角）,就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.

2.余角与补角的性质

等角（同角）的余角相等;等角（同角）的补角相等.

3.方位角

表示方位的角叫做方位角，是由标准方向线北端或者南端开始顺时针方向到某一直线的夹角.

方位的表示通常用“北偏东多少度”、"北偏西多少度''或者"南偏东多少度”、"南偏西多少度”来表示,“北偏东

45度”、“北偏西45度"、"南偏东45度”、“南偏西45度”,分别称为“东北方向”、“西北方向”,“东南方向”、“西南

方向

说明:用量角器画射线要注意两点:一是先从正南或正北方向作角的始边,二要分清东南西北,理解偏东、偏西

的意义.

【经典题型】

小学经典题型

1.从7:00到7:30,分针旋转了（）。

A.30oB.90oC.180°

【答案】C

【解析】

【详解】分针一小时转一圈，半个小时转180。

2.当3：30时，钟面上时针与分针所夹的较小角是（）90度。（填大于、小于或等于）

【答案】小于

【解析】

当3：30时，分针正指6,时针指在3和4中间，它们之间夹角是2格半，1格是30。，2格半小于90。，故

答案为：小于。

3.三角形不可能有两个钝角。（）

【答案】√

【解析】

三角形的内角和为180度，而钝角的度数大于90度，如果一个三角形内有两个钝角，则三角形的内角和就

大于180度，所以一个三角形中，不可能有两个钝角；

故答案为：√

4.钟面上6时整，时针与分针形成的角是平角。（）

【答案】√

【解析】钟面上6时整，时针与分针形成的角是平角；

故答案为：√

5.从6：00到12：00时针旋转了180。。（）

【答案】√

【解析】

30O×6=I80O

所以钟面上时针从12走到6,时针旋转了180度;

故答案为：q

初中经典题型

1.若NC与/£互为补角，且NC是N/的3倍，则N夕为（）

A.45oB.60oC.90oD.135°

【答案】A

【解析】

解：∙.∙Nα与互为补角，

ΛZa+Zβ=180o,

Ya是ZB的3倍，

ΛZa=3Zβ,

Λ3Zβ+Zβ=180o,

解得:Zβ=45o.

故选：A.

2.一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足/a与NB相等的摆放方式是（）

【答案】B

【解析】

解：A.Za,NP互余,不合题意；

B.根据根据同角的余角相等可得Na=Nβ,符合题意;

C.Zα=60o,Zβ=75o,不合题意;

D.Za=450,Zβ=60o,不合题意.

故选：B.

3.如图，直线AB,CD相交于点O,OEj_ABI/COE=55。,则NBOD的度数是（）

A.35oB.45oC.30oD.40°

【答案】A

【解析】解：∙.∙OELAB,

.∙.ZAOE=90o,

,.∙NCoE=55°,

NAoC=90。-/CoE=35。，

.∙.ZBOD=ZAOC=35°.

故选：A.

4.如果一个角是50。，那么它的余角的度数是（).

A.40oB.50oC.IOO0D.130°

【答案】A

【解析】

解：设这个角为X°,由题意得：90°-X0=50°,

5.若/A与NB互为余角，ZA=AO0,则NB=（

A.140oB.40oC.

【答案】C

【解析】YNA与/8互为余角，ZA=40o,

ZB=90o-40°=50°,

故选：C.

6.下列图形中Nl和N2互为余角的是（）

【答案】D

【解析】根据余角的定义，两角之和为90。，这两个角互余.

D中/1和/2之和为90。，互为余角.

故选D.

7.如图所示，ZAOC=ΛBOC=90°,NAoD=NCoE,则图中互为余角的共有（）

A.5对B.4对C.3对D.2对

【答案】B

【解析】如图，ZAOC=ZBOC=90°

Nl+/2=90。

即Nl与/2互余，N3与N4互余

N3+N4=90°

ZAOD=ZCOE,即Nl=/3

Z+/2=90。

,即N3与N2互余，Nl与N4互余

Nl+N4=90°

综上，互为余角的共有4对

故选：B.

8.如果两个不相等的角互为补角，那么这两个角（）

A.都是锐角B.都是钝角C.一个锐角，一个钝角D.以上答案都不对

【答案】C

【解析】∙.∙两个不相等的角互为补角，

.∙.这两个角一个角大于90。，一个角小于90。，

即一个是钝角，一个是锐角，

故选：C

9.若NA与NB互为余角，NA=30。，则NB的补角是（）

A.60oB.120°C.30oD.150°

【答案】B

【解析】解：；NA与NB互为余角，NA=30。，

ΛZB=90o-ZA=60o

ΛZB的补角为180o-60o=120o

故选B.

10.已知Na与NB互余，且Na=35。1823”,则∕β=.

【答案】54o4137"

【解析】

,."Za与N0互余，

.∙.Np=90-35°18'23"=54°41'37".

11.已知/AOB和/COD的两边分别互相垂直,且/COD比/AOB的3倍少60。,则/COD的度数为

【答案】30。或120°

【解析】解:设NAOB=x。，则NCoD=3x°-60°,

分两种情况：

①如图1,VZAOB和NCOD的两边分别互相垂直，

.∙.ZCOD=90o+90o-ZAOB,

即3x-60=90+90-X,

x=60o,

.∙.ZCOD=3×60o-60°=120°；

图1

②如图2,VOA±OC,0B±0D,

ZAOB+ZBOD=ZCOD+ZAOC,

x+90=3x-60+90,

x=30o,

ZCOD=30°,

综上所述，ZCOD的度数为30。或120°,

故答案为：30。或120。.

12.若NAOB=65。，则它的余角是,它的补角是

【答案】25。115°

【解析】解：；NAOB=65。，

.∙.它的余角是90。-65。=25°

它的补角是180o-65o=115o

故答案为：25°；115°.

13.已知NAoB=25。42，，则/AOB的补角为.

【答案】154o18,

【解析】

解：NAOB的补角为：180。-25。42，=154。1&.

故答案为：154。181

14.若Na的余角是它的2倍，则Na的度数为

【答案】30°

【解析】

题意可知，Na的余角是2N。，

，Na+2Na=90。，

.∙.Na=30。，

故答案为：30°.

15.如图，O是直线AB上一点，OC是NAOB的平分线，若NAQr）=58°32'，则NCoD

【答案】31o28,

【解析】=O是直线AB上的一点，OC是/AOB的平分线，

二ZAOC=90o.

，NCOD=NAOC-NAOD=90。-58°32'=31o28,，

故答案为：31028,.

16.Nl和/2互余，/2和/3互补，/1=63。，Z3=

【答案】153°

【解析】解：∙.∙∕l+N2=90°,/1=63°,

.∙.Z2=90o-63o=27o,

XV/2+23=180。，

ΛZ3=l80o-27o=153o.

故答案为：153。.

17.一个角的余角是这个角的2倍，求这个角的度数？

【答案】300

【解析】解：设这个角的度数为X,则其余角为（90。-x）,

根据题意得90°-X=2X

解得X=30°

所以这个角的度数为30。.

18.互补的两个角之差是28°，求其中较小角的余角度数.

【答案】14。

【解析】解：设较小的角为X,则其补角为18(Γ一χ,

根据题意得：180。一x-x=28。，

解得X=76。，

则90°-χ=90°-76°=14°,

答：其中较小角的余角的度数为14。.

19.一个角与它的补角的度数之比为1：8,求这个角的余角的度数.

【答案】700

【解析】设这个角是X,则它的补角=180。-X,

根据题意得，X：(180o-χ)=l:8,

解得x=20。，

90°-20°=70°.

答：这个角的余角是70。.

20.如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分NBoC,OE平分/AOC.

(1)指出图中NAOD与NBoE的补角；

(2)试判断NCOD与NCOE具有怎样的数量关系.并说明理由.

【答案】(1)/AOD的补角为∕BOD,ZCOD；/BOE的补角为NAoE,ZCOE；

(2)ZCOD+ZCOE=90o,理由参见解析.

【解析】

(1)SZAOD+ZBOD=180°,

所以/AOD的补角为/BOD,

又因为OD平分NBOC,

所以NCoD=/BOD,

所以/AOD的补角为∕BOD,ZCOD；

同理因为NAoE+NB0E=18(T,

所以NBoE的补角为/AOE,

又因为OE平分∕AOC,

所以/COE=/AOE,

所以/BOE的补角为∕AOE,ZCOE；

(2);OD平分∕BOC,OE平分NAOC,

11

.∙.ZCOE=-ZAOC,ZCOD=-ZBOC,

22

111

.∙.ZCOD+ZCOE=-ZBOC+-ZAOC=-ZAOB=90o,

222

即ZCOD与/COE的数量关系是∕COD+∕COE=90t

【实战演练】

先作小学题—夯实基础

1.在下面三角形中，Zl=38o,Z2+Z3=90o,求/3和/4各是多少度?

【答案】N3是38。，/4是52。

【解析】

Z4=180o-Zl-(Z2+Z3)，

/4=180°-38°-90°,

Z4=52o;

Z3=180o-90°-Z4,

/3=180°-90°-52°,

/3=38。.

答：/3是38。，/4是52。.

2.下图中，/1=33。，求N2的度数。(写出必要的计算过程。)

【答案】Z2=90o-33o=57o

【解析】

【详解】

Z2=90o-33o=57o

3.如下图，已知/1=28。，求/2,Z3,/5的度数。

【答案】Z2=152o;/3=28°；Z5=62°

【解析】

Z2=180o-28o=152o

Z3=l80o-152o≈28o

Z5=90o-28o=62o

4.如图，Z1=40°,那么N2、N3各是多少度？

【答案】42是50。，/3是140°

【解析】

因为Nl+N2+90°=180°,/1=40°

所以/2=180。-90°-40°=50°

因为，Zl+Z3=180o,NI=40。

所以23=180。-40。=140。

答：/2是50。，/3是140。.

5.下图中/1=50。，求N2,Z4,/5的度数。

【答案】Z2=40o;N5=13O。；N4=50°

【解析】

【详解】

Z2=90o-50o=40o;

Z5=180o-50o=130o;

Z4=180o-130o=50o

再战初中题——能力提升--------

1.一个角的度数是40。，那么它的余角的补角度数是（）

A.130oB.I40oC.50oD.90°

【答案】A

【解析】

。一40°=50°,

50°角的补角是：180o-50o=130o.

故选:A.

2.如果一个角的补角是150。，那么这个角的余角的度数是（）

A.30oB.60°C.90°D.120°

【答案】B

【解析】根据定义一个角的补角是150°,

则这个角是180o-150o=30o,

这个角的余角是90o-30o=60o.

故选：B.

3.已知Na=37°25',则Na的补角是（)

A.142035,B.152035,C.142o75,D.152075,

【答案】A

【解析】

∙.∙Nα=37°25'

.∙.Na的补角=180°-37°25'=142°35',

故选A.

4.若α=27°25',则α的余角等于()

A.62o25,B.62o35,C.152o25,D.152o35,

【答案】B

【解析】

解：∙.∙α=27°25',

，α的余角=90。-27。25'=62。35',

故选：B.

5.如图，直线mb相交于点0,因为Nl+N2=180。，Z3+Z2=180o,所以N1=N3,这是根据()

A.同角的余角相等B.等角的余角相等C.同角的补角相等D.等角的补角相等

【答案】C

【解析】

VZl+Z2=180o,N3+/2=180°,

/1与N3都是/2的补角，

.∙∙N1=N3(同角的补角相等).

故选：C.

6.如果∕α和/0互补，且∕α>∕β,则下列表示/。的余角的式子中：①90。-/。；②/a-90。③;(Z

a+Zβ)；④：(Za-Zβ).正确的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】和NB互补，ΛZa+Zβ=180o.90°-Zβ+Zβ=90o,所以①正确；

又Na-90t5+∕β=∕a+∕p-90。=180。-90°=90°,②也正确；

ɪ(Za+Zβ)+Zβ=∣×180o+Zβ=90o+Zβ≠90o,所以③错误；

ɪ(Za-Zβ)+Zβ=∣(Za+Zβ)=∣×180o=90o,所以④正确.

综上可知：①②④均正确.

故选B.

7.如果NA的补角与NA的余角互补，那么2NA是()

A.锐角B.直角

C.钝角D.以上三种都可能

【答案】B

【解析】解：：NA的补角为180"∕A,NA的余角为90。-NA

ΛI80o-ZA+（90o-ZA）=180

2ZA=90O

故答案为B.

8.已用点A、B、C、D、E的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A./AOB=130。B.ZAOB≈ZDOEC./DOC与/BOE互补D./AOB与/COD互余

【答案】C

【解析】解：VZAOB=50o,ZDOE=40o,ZDOC=50o,ZBOE=130°,

ΛZDOC+ZBOE=180o;

故选：C.

9.下面说法:①若线段AC=BC,则C是线段AB的中点;②两点之间,直线最短;③延长直线AB;④若一个角既

有余角又有补角,则它的补角一定比它的余角大.其中正确的有（）

A.O个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】①如图，AC=BC,但C不是线段AB的中点，故①不正确：

②两点之间线段最短，故②不正确；

③直线向两边无限延伸，不能延长，故③不正确；

④一个角有余角，说明这个角是锐角，所以它的补角一定比它的余角大，故④正确.

故选B.

10.若ZA+N5=9O°,ZB+ZC=90°,则ZA=NC,理由是.

【答案】同角的余角相等

【解析】

解：若∕A+NB=9(Γ,ZB+ZC=90o,则NA=∕C,其根据是同角的余角相等.

故答案为：同角的余角相等.

11.如图，OALOC,OBlOD,垂足都是点0,如果NAOB=I53°,那么NCOD=

【答案】27。

【解析】

VOA±OC,OBlOD,

ΛZAOC=90o,ZBOD=90o,

,.∙ZAOB=153o,

/./BOC=153°-/AoC=63°,

二ZCOD=90o-ZBOC=90o-63o=27o.

故答案为：27°.

12.若∕α与互余，且Na=35。，则/p的补角为.

【答案】125°

【解析】’.,Na与/p互余，Za=350,

ΛNβ=90°-35°=55°,

二Zβ的补角为：180o-55o=125o;

故答案为：125。.

13.已知∕A=5(T35',则NA的余角是.

【答案】39o25'

【解析】

ZA的余角为：90o-ZA=90o-50o35,=39o25,

故答案为：39o251.

14.一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角是度.

【答案】60

【解析】

设这个角为X,则它的余角为9(T-X,补角为I8(P-X,

根据题意得，180。-x=4(90o-χ),

解得x=60o.

故答案为：60.

15.一个角与它的补角之差是20。,则这个角的大小是一

【答案】100。

【解析】设这个角为α,则它的补角180o-α,

根据题意得，a-(180o-a)=20°,

解得：a=100o,

故答案为100°.

16.若一个角比它的补角大36。48，，则这个角为<

【答案】10824

【解析】36°48'=36.