哈工大大学物理振动波动习题

振动和波动第一页，共四十四页。机械振动知识要点第二页，共四十四页。1.掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意义及确定方法

决定于系统本身的性质！A和

由初始条件x0,v0决定！v0的正负号(sin

)

值第三页，共四十四页。2.掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐振动，能根据已知条件列出运动的微分方程，并求出简谐振动的周期(1).动力学判据:(3).运动学判据:(2).能量判据：振动系统机械能守恒第四页，共四十四页。3.掌握简谐振动的能量特征总的机械能：第五页，共四十四页。4.掌握简谐振动的合成规律:同方向、同频率简谐振动的合成(同相)(反相)第六页，共四十四页。本章基本题型：1、已知振动方程，求特征参量2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动4、简谐振动的合成:动力学判据；能量判据；运动学判据

解析法、旋转矢量法（振幅、周期、频率、初相位）第七页，共四十四页。例１一质量为m=10g的物体作简谐振动，振幅为A=10cm,周期T=2.0s。若t=0时，位移x0=-5.0cm，且物体向负x方向运动，试求：（1）t=0.5s时物体的位移；（2）t=0.5s时物体的受力情况；（3）从计时开始，第一次到达x=5.0cm所需时间；（4）连续两次到达x=5.0cm处的时间间隔。【解】（1）由已知可得简谐振动的振幅角频率振动表达式为

(SI)第八页，共四十四页。x0.1O-0.05

由旋转矢量法可得

振动方程

t=0.5s时物体的位移?

（2）t=0.5s时物体受到的恢复力?

由（1）得

N/m(SI)第九页，共四十四页。（3）从计时开始，第一次到达x=5.0cm所需时间；

（4）连续两次到达x=5.0cm处的时间间隔。x0.1O-0.050.05第一次到达x=5.0cm时的相位为

故第一次达到此处所需时间为

连续两次到达x=5.0cm处的相位差为

第十页，共四十四页。例2、如图所示的振动曲线。求：（1）简谐振动的运动方程（2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间分别是多少（3）状态d的速度和加速度【解】方法1解析法原点：c点：第十一页，共四十四页。方法2旋转矢量法（1）确定旋转矢量振动方程为-A-A/2AA/2xO(SI)第十二页，共四十四页。（2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间分别是多少（3）状态d的速度和加速度-A-A/2AA/2xa第十三页，共四十四页。例3

一匀质细杆质量为m，长为l，上端可绕悬挂轴无摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为k的轻弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。求细杆作微小振动是否是简谐振动。O【解】方法一.分析受力法mgf很小时

细杆微小振动是简谐振动取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向第十四页，共四十四页。方法二.分析能量法由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为J为杆绕O轴的转动惯量，x为弹簧伸长量，杆作微小振动时，代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：第十五页，共四十四页。式中，在杆作微小振动时，代入后，可以得到：杆的微小振动是简谐运动第十六页，共四十四页。例如图所示，两轮的轴相互平行，相距为2d，两轮的转速相同而转向相反。现将质量为m的一块匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为u。若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。O2dx解：以木板的中心为坐标原点，向右的方向为正，设木板的质心偏离原点x，木板对两轮的作用力分别为N1，N2根据木板所受力矩平衡条件木板在水平方向所受到的合力水平方向振动周期第十七页，共四十四页。例.图中定滑轮半径为R,转动惯量为J，轻弹簧劲度系数为k，物体质量为ｍ,现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力，使证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。mkRJOXxT1mg解：以m为研究对象。在平衡位置O时：合外力在任意位置x时：合外力以下由转动系统解出T1：fT1R将（1），（3）代入（2）中，合外力第十八页，共四十四页。而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度代入（4）中得合外力与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为角频率为周期第十九页，共四十四页。例4:劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为m，半径为R的匀质圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆柱体的质心作谐振动。水平面证明：建坐标如图，弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零点，质心在xc时系统的机械能为（注意上式中的

是刚体转动的角速度）分析振动系统机械能守恒!第二十页，共四十四页。PPT内容概述振动和波动。1.掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意义及确定方法。2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程。解析法、旋转矢量法。（振幅、周期、频率、初相位）。O。（2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间。（2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间分别是多少。求细杆作微小振动是否是简谐振动。细杆微小振动是简谐振动。由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。质量为ｍ,现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空。而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度。（注意上式中的是刚体转动的角速度）。媒质中波阵面上的各点都可以看做子波波源，其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面。两列频率、振幅和振动方向都相同而传播方向相反的简谐波叠加形成驻波，其表达式为。3.两相邻波节间的质元具有相同的相位。在自由端无相位突变，无半波损失。在固定端有相位突变，有半波损失。(1)求波长、周期、波速和初相位第二十一页，共四十四页。两边对t求导数，得将代入上式得与动力学方程比较知，物理量xc的运动形式是简谐振动圆频率第二十二页，共四十四页。机械波知识要点第二十三页，共四十四页。1.熟练掌握简谐波的描述平面简谐波的波函数：五大要素第二十四页，共四十四页。2.记住能量密度、能流以及能流密度公式平均能量密度：平均能流：平均能流密度—波的强度：3.记住惠更斯原理的内容媒质中波阵面上的各点都可以看做子波波源，其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面第二十五页，共四十四页。4.熟练掌握简谐波的干涉条件，干涉加强、减弱的条件波的相干条件：干涉加强或减弱的条件：振动方向相同；相位差恒定频率相同；第二十六页，共四十四页。5.理解驻波的形成，并掌握驻波的特点两列频率、振幅和振动方向都相同而传播方向相反的简谐波叠加形成驻波，其表达式为波节：波腹：第二十七页，共四十四页。驻波的特点：1.相邻波腹（节）之间的距离为

/22.一波节两侧质元具有相反的相位3.两相邻波节间的质元具有相同的相位4.驻波无能量传递同号相同；异号相反！第二十八页，共四十四页。6.掌握半波损失的概念波从波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射回来，在反射处发生了的相位突变在自由端无相位突变，无半波损失折射无半波损失在固定端有

相位突变，有半波损失第二十九页，共四十四页。本章基本题型：1.已知波动方程，求有关的物理量(1)求波长、周期、波速和初相位2.由已知条件建立波动方程(2)求波动曲线上某一点的振动方程(3)画出某时刻的波形曲线(1)已知波动曲线上某一点的振动状态(2)已知某一时刻的波形曲线3.波的传播及叠加(2).驻波(1).波的干涉(3).半波损失第三十页，共四十四页。例一波长为λ的平面简谐波，已知A点的振动方程为

y=Acos(ωt+φ)

试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式yOAxuyOAxuyxOAlu解答提示（1)(2)(3)（1）（2）（3）（4）xOAuy(4)第三十一页，共四十四页。

1.

有一以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波，其质点振动的振幅和角频率分别为A和ω,

设某一瞬间的波形如图所示，并以此瞬间为计时起点，分别以o和p点为坐标原点，写出波动表达式。u第三十二页，共四十四页。yAM-A解:(1)以O点为坐标原点，设O点振动方程为Ou以O点为坐标原点的波动表达式为P以P点为坐标原点的波动表达式为xOPy第三十三页，共四十四页。

2.

如图所示，S1、S2为同一介质中沿其连线方向发射平面简谐波的波源，两者相距作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，设S1经过平衡位置向负方向运动时,S2恰处在正向最远端，且介质不吸收波的能量。求：S1S2x/mS1和S2外侧合成波的强度S1和S2之间因干涉而静止点的位置，设两列波的振幅都是A0，强度都是I0

。第三十四页，共四十四页。xAM-AS1S2两列波在干涉点的相位差解:(1)在S1左侧的P点，两列波的波程差满足干涉条件，所以在S1左侧所有点合成振幅A=0,合成波强度为零S1S2x/m第三十五页，共四十四页。(2)在S2右侧的P点，两列波的波程差满足干涉加强条件，所以在S2右侧所有点合成振幅A=2A,合成波强度为4I0(3)在S1、S2之间，两列波沿相反方向到达干涉点，设任意干涉点到S1的距离为x，则r1=x，r2=5λ/4-x，在干涉静止点：S1S2x/m第三十六页，共四十四页。

3.

一平面简谐波沿x正方向传播如图所示，振幅为

A，频率为v,速率为u.求

(1)t=0时，入射波在原点o处引起质元由平衡位置向位移为正的方向运动，写出波表达式

(2)经分界面反射的波的振幅和入射波振幅相等写出反射波的表达式，并求在x轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点位置。O

Pux波疏波密第三十七页，共四十四页。解:(1)由已知条件可写出入射波在O点的振动表达式入射波的表达式为(2)设反射波的表达式为在P点，入射波的相位为反射波的相位为Oux波疏波密P第三十八页，共四十四页。由得所以反射波的表达式为波节位置因此合成波的表达式第三十九页，共四十四页。BB`Od=5λ/4xp例:如图所示，波源位于O处，由波源向左右两边发出振幅为A，角频率为ω，波速为u的简谐波。若波密介质的反射面BB`与点O的距离为d=5λ/4,试讨论合成波的性质。解：设O为坐标原点，向右为正方向。自O点向右的波：自O点向左的波：反射点p处入射波引起的振动：反射波在p点的振动（有半波损失）：第四十页，共四十四页。BB`Od=5λ/4xp反射波的波函数第四十一页，共四十四页。例.如图所示，原点O是波源，振动方向垂直于纸面，波长是

，AB为波的反射平面，反射时无半波损失。O点位于A点的正上方，AO=h