机器人控制技术基础：动力学

机械手的运动

MovementofRobotics2.1机械手运动的表示方法2.2手爪位置和关节变量的关系2.3雅可比矩阵2.4手爪力和关节驱动力的关系2.5机械手运动方程式的求解Robotics运动(动力学)运动学：是反映的关节和末端执行器位置和姿态的时间函数关系，是一种因果关系动力学：则要研究是另外一种因果关系，及力（力矩）与由之而产生运动之间的关系。平动转动Robotics运动(动力学)刚体定点运动的欧拉动力学方程角动量定理：质点系的定点动量矩对时间的绝对导数等于质点系外力对该点的主矩。

欧拉动力学方程如果只绕z轴旋转，Robotics运动(动力学)2.4手爪力和关节驱动力的关系2.4.1虚功原理约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移）施力所做功之和为零如何理解？约束力平衡对虚位移施力所做功之和为零如何理解虚位移？简单地可以理解为机构所允许的运动趋势Robotics运动(动力学)2.4手爪力和关节驱动力的关系虚位移平衡态，寻找虚位移和约束力Robotics运动(动力学)2.4手爪力和关节驱动力的关系2.4.1虚功原理平衡时的静力Robotics运动(动力学)2.4手爪力和关节驱动力的关系2.4.2机械手静力学关系式的推导

手爪的虚位移

关节的虚位移手爪力关节驱动力

Robotics运动(动力学)2.4手爪力和关节驱动力的关系2.4.2机械手静力学关系式的推导雅可比矩阵不仅反映速度映射，而且力的映射关系静力学,普适性Robotics运动(动力学)2.4手爪力和关节驱动力的关系2.4.2机械手静力学关系式的推导求产生FA或FB的驱动力概念：广义力对应广义坐标关节力（矩）对应关节坐标

若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。关节空间操作空间雅可比J力雅可比JTRobotics运动(动力学)2.4手爪力和关节驱动力的关系Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.1惯性矩平动与质量相关，而转动与惯性矩相关平动转动力(扭)矩惯性矩的定义r：质点到（可自定义）旋转轴的距离绕固定轴转动的动力学Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.1惯性矩（微元法）绕一端旋转惯性矩绕重心旋转惯性矩Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.1惯性矩（微元法）hIc平行轴定理说明：质心处的惯性矩最小Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.2牛顿-欧拉方程式力：Fc力矩：N平移转动vcω欧拉动力学方程牛顿动力学方程（矩阵）向量表达式Robotics运动(动力学)惯性张量

令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于该坐标系｛c｝，惯性张量定义为３×３的对称矩阵：式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素为惯性积。

惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为主惯性矩。Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.2牛顿-欧拉方程式平行轴定理I如何求？问题：为什么只有z轴的力矩？其它轴呢？自由运动的物体呢?Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解说明：1.建立动力学方程一定要针对一个对象

质心，以及所对应的坐标轴2.六自由度运动物体和运动受限物体不同

六自由度运动分别分析力和力矩运动受限物体在约束方向上力与力矩平衡Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式动能势能拉格郎日算子广义力（非势力）广义坐标保守力(势力)

凡其作功与路径无关，仅与始、末位置有关的力称为保守力。Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式

系统中相互作用的重力和弹性力，万有引力（其实重力就是一种万有引力）、分子间相互作用的分子力、静电力等都属于保守力。由于保守力作功与路径无关特点与保守力F沿任意闭合路径所作的功为零的特点是一致的

非保守力

凡作功与路径有关的力称为非保守力。Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式

常见的摩擦力，物体间相互间做非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点广义坐标：一组足以规定系统位形的参数Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式当主动力中有非势力时：

Qj:为非势的广义力当含有粘性阻尼时，方程变为：，Φ：瑞利耗散函数Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式说明：系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示，并不一定要使用笛卡尔坐标

Qi是对应的力或力矩，Qi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式θ为广义坐标与牛顿－欧拉方法结果一致Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式均匀杆转动+质心点平移Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式例：图示为振动系统方程动能位能耗能外力功M0x1x0kcM1FF含有粘性阻尼项Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式当时,取为广义坐标，有当，都为广义坐标，动能只和广义坐标导数有关Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式

求取动力学方程的关键是求出各能量函数K、P、D、W的广义坐标表达式。对称正定Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式第i个连杆质量中心的位置向量

θ1,θ2为广义坐标Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式先分别对t求导，再计算平方和Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式代入Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解惯性力；

离心力，哥氏力；

重力项机器人动力学模型的一般形式物理意义补充知识

力矩惯量向心加速度系数哥氏加速度系数重力Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解补充知识Dii:关节i

的等效惯量；Dij

:关节i

和关节

j之间的耦合惯量；Dijj

:由于关节j

的速度所产生的作用在关节i

上的向心力；Dijk

:由于关节

j和关节k

的速度所产生的作用在关节

i上的哥氏向心力；Di

:关节

i上的重力负载。Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解补充知识是对称正定矩阵反对称矩阵哥氏矩阵，可以有多种选择说明Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解2.5.3拉格郎日运动方程式推导步骤（1）计算任一连杆上任一点的速度（2）计算各连杆的动能和机械手总动能（3）计算各连杆的位能和机械手总位能（4）建立机械手系统的拉格朗日函数（5）对拉格朗日函数求导，得到动力学方程Robotics运动(动力学)2.5机械手运动方程式的求解说明:1.牛顿－欧拉方法针对每一个连杆建立动力学方程，拉格郎日方法针对系统建立方程2.牛顿－欧拉方法得到的是多个动力学方程的递推组合，拉格郎日方法得到的是解析的，标准的动力学方程式3.一般而言牛顿－欧拉方法易于