广义线性模型

第8章广义线性模型1精品ppt·实用借鉴第一页，共六十六页。回归分析中假定随机扰动服从这样的一些正态分布：其方差取常值，而均值则为附属数据的线性函数．很多精算问题可以利用特殊的广义线性模型来处理，如方差分析，泊松回归以及Logistic对数（logit）与概率（Probit）模型等的几类。

2精品ppt·实用借鉴第二页，共六十六页。精算数据与模型实践中采集的数据往往显示方差要大于均值．用于描述索赔额的分布通常具有厚重的右尾．有待建模的现象极少关于附属数据是可加的,一般往往可用乘法模型．3精品ppt·实用借鉴第三页，共六十六页。广义线性模型它允许偏离均值的随机误差服从不是正态分布。如，随机误差可服从指数散布族中的任一种分布，包含了泊松分布、（负）二项分布、伽玛分布与逆高斯分布等.并不要求随机变量的均值是解释变量的线性函数。但进行某些变换后它仍是是线性的．譬如，当对数时，我们可以用乘法模型替代了加法模型．

4精品ppt·实用借鉴第四页，共六十六页。广义线性模型具有以下三个特征：5精品ppt·实用借鉴第五页，共六十六页。伽玛随机变量逆高斯随机变量

上面所列的分布的均值。6精品ppt·实用借鉴第六页，共六十六页。

7精品ppt·实用借鉴第七页，共六十六页。注8.2.1（典则联结）注8.2.2（方差函数）以下依方差函数中的幂次的升幂序，分别表述之：8精品ppt·实用借鉴第八页，共六十六页。9精品ppt·实用借鉴第九页，共六十六页。§8.3若干传统的估计方法与广义线性模型10精品ppt·实用借鉴第十页，共六十六页。不妨先假定11精品ppt·实用借鉴第十一页，共六十六页。12精品ppt·实用借鉴第十二页，共六十六页。13精品ppt·实用借鉴第十三页，共六十六页。逐项置换法14精品ppt·实用借鉴第十四页，共六十六页。15精品ppt·实用借鉴第十五页，共六十六页。首先可将（8.4）中的第一组方程改写为16精品ppt·实用借鉴第十六页，共六十六页。因此17精品ppt·实用借鉴第十七页，共六十六页。方法8.3.8（边缘总和法）在一个“良好”的收费系统内，对于一个拥有众多被保险人的组合来说，保费总额相等于观测到的损失总额.18精品ppt·实用借鉴第十八页，共六十六页。19精品ppt·实用借鉴第十九页，共六十六页。20精品ppt·实用借鉴第二十页，共六十六页。若将下述关系式代入上式：21精品ppt·实用借鉴第二十一页，共六十六页。方法8.3.10（最小二乘法＝关于正态的极大似然法）22精品ppt·实用借鉴第二十二页，共六十六页。23精品ppt·实用借鉴第二十三页，共六十六页。24精品ppt·实用借鉴第二十四页，共六十六页。25精品ppt·实用借鉴第二十五页，共六十六页。§8.4偏差与比例偏差26精品ppt·实用借鉴第二十六页，共六十六页。27精品ppt·实用借鉴第二十七页，共六十六页。显然，对全模型而言，借助逐项最大化（8.20）即知，对每一皆有如以表示偏差便得这表明，对正态分布而言，最小化偏差（或等价地最大化似然函数）是和确定参数的最小二乘法等效的．28精品ppt·实用借鉴第二十八页，共六十六页。29精品ppt·实用借鉴第二十九页，共六十六页。此时，对全模型仍可得这是因为30精品ppt·实用借鉴第三十页，共六十六页。不难验证，此例中的偏差由下式给出：自然，上式中必须取正值31精品ppt·实用借鉴第三十一页，共六十六页。32精品ppt·实用借鉴第三十二页，共六十六页。指数散布族定义8.6.1（指数散布族）指数散布族密度具有以下形式§8.6广义线性模型33精品ppt·实用借鉴第三十三页，共六十六页。34精品ppt·实用借鉴第三十四页，共六十六页。35精品ppt·实用借鉴第三十五页，共六十六页。例8.6.2（指数散布族的若干成员）下述参数族是指数散布族中最重要的一些成员：36精品ppt·实用借鉴第三十六页，共六十六页。37精品ppt·实用借鉴第三十七页，共六十六页。最后一种参数化称为是自然或典则参数化

.38精品ppt·实用借鉴第三十八页，共六十六页。39精品ppt·实用借鉴第三十九页，共六十六页。40精品ppt·实用借鉴第四十页，共六十六页。41精品ppt·实用借鉴第四十一页，共六十六页。42精品ppt·实用借鉴第四十二页，共六十六页。43精品ppt·实用借鉴第四十三页，共六十六页。44精品ppt·实用借鉴第四十四页，共六十六页。45精品ppt·实用借鉴第四十五页，共六十六页。46精品ppt·实用借鉴第四十六页，共六十六页。证明:由(8.33),我们有47精品ppt·实用借鉴第四十七页，共六十六页。48精品ppt·实用借鉴第四十八页，共六十六页。其中：这恰和通常的泊松分布的密度表达式是一致的。49精品ppt·实用借鉴第四十九页，共六十六页。50精品ppt·实用借鉴第五十页，共六十六页。51精品ppt·实用借鉴第五十一页，共六十六页。52精品ppt·实用借鉴第五十二页，共六十六页。53精品ppt·实用借鉴第五十三页，共六十六页。推论8.6.9（指数散布族与Esscher变换）一个连续密度的以h

为参数的Esscher变换是下述密度54精品ppt·实用借鉴第五十四页，共六十六页。显然，它仍是一个具有参数和相同的指数散布族成员的累积量数．55精品ppt·实用借鉴第五十五页，共六十六页。

注8.6.10（指数散布族中特定子类的生成）不难验证，以h

任况为参数的Esscher变换完成下述分布间的转换：56精品ppt·实用借鉴第五十六页，共六十六页。PPT内容概述第8章广义线性模型。第8章广义线性模型。精品ppt·实用借鉴。回归分析中假定随机扰动服从这样的一些正态分布：其方差取常值，而均值则为附属数据的线性函数．。很多精算问题可以利用特殊的广义线性模型来处理，如方差分析，泊松回归以及Logistic对数（logit）与概率（Probit）模型等的几类。用于描述索赔额的分布通常具有厚重的右尾．。有待建模的现象极少关于附属数据是可加的,一般往往可用乘法模型．。如，随机误差可服从指数散布族中的任一种分布，包含了泊松分布、（负）二项分布、伽玛分布与逆高斯分布等.。并不要求随机变量的均值是解释变量的线性函数。但进行某些变换后它仍是是线性的．譬如，当对数时，我们可以用乘法模型替代了加法模型．。上面所列的分布的均值。以下依方差函数中的幂次的升幂序，分别表述之：。在一个“良好”的收费系统内，对于一个拥有众多被保险人的组合来说，保费总额相等于观测到的损失总额.第五十七页，共六十六页。58精品ppt·实用借鉴第五十八页，共六十六页。59精品ppt·实用借鉴第五十九页，共六十六页。60精品ppt·实用借鉴第六十页，共六十六