人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形第2课时 矩形的判定（课件）

第十八章平行四边形矩形的判定情境导入同学们我们首先回忆一下:1.矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2.矩形的性质:矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.矩形的概念可以用于判定矩形，我们来看一看下面的一个例子：情境导入工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行：ABCEGDFH①②③④(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图①,使AB＝CD,EF＝GH;(2)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是,根据的数学道理是;平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形情境导入工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行：ABCEGDFH①②③④(3)将直角尺靠窗框的一个角,如图③,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时,如图④,说明窗框合格,这时窗框是,根据的数学道理是．矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形概念可以判定矩形,比照平行四边形的判定,那矩形性质的逆命题是不是也可以用于矩形的判定呢?我们来看下.探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形探索新知

已知如图,为了防蚊虫,数学老师为自己的宿舍门定制了一扇矩形形状的纱门．安装师傅上门安装时,数学老师只利用卷尺测量了两组对边的长度是否分别相等,又测量了两条对角线的长度是否相等,就犀利地指出该纱门不规正,要求重新制作．同学们想一想,数学老师是如何判断纱门不是矩形的?探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形探索新知

我们可以这么思考：

1.为什么测量两组对边的长度是否分别相等?

两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

2.为什么测量两条对角线的长度是否相等?

由矩形的对角线相等的性质,我们猜测:对角线相等的平行四边形是矩形．探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形ABCDO下面我们来验证我们的判断:已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.求证：四边形

ABCD是矩形.探索新知探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形ABCDO证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD

.在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°

.∴∠ABC=90°.∴四边形ABCD是矩形.探索新知几何语言：对角线相等的平行四边形是矩形∵四边形ABCD

是平行四边形，且AC=BD.∴四边形ABCD

是矩形归纳总结

1.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？对应训练【选自教材P55,练习第1题】答：需要再搬来38盆红花.根据矩形的对角线相等，以及对角线交点处不放花.

需要再搬来48盆红花.根据矩形的对角线相等，以及对角线交点处要放花.

2.如图，ABCD的对角线AC,BD相较于点O,OAB是等边三角形，且AB=4.求ABCD的面积.ABCDO4点击查看解题过程线段关系矩形ABCD利用勾股定理BC长等边

OAB+ABCD

RtAC=BD对应训练【选自教材P55,练习第2题】ABCDO4证明:∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

AC=2OA=2OC，BD=2OB=2OD.又OAB是等边三角形,∴

OA=OB=4.∴

AC=BD=8.∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=90°，∴

ABC

是直角三角形.∴∴对应训练探索新知DABC

前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？我们一起来验证一下：探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形探索新知已知：如图，在四边形

ABCD中，∠A=∠B=∠D=90°求证：四边形

ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B

=180°,∠B+∠C

=180°.∴AD∥BC，

AB∥CD.∴四边形

ABCD是平行四边形.又∠A=90°，∴四边形ABCD

是矩形.探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形DABC有三个角是直角的四边形是矩形几何语言：∵∠A=∠B=∠C

=90°，∴四边形ABCD

是矩形归纳总结

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DF，DE分别是△BDC,△ADC的角平分线.求证：四边形DECF是矩形.对应训练ACBDEF证明:∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AD=CD=BD.∵DE是△ADC的角平分线，

∴DE⊥AC.∴∠DEC=90°. 同理得∠CFD=90°.又∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形.经典例题例1

如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，

且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数.ABCDO又∠OAD=50°，∴

∠OAB=40°.50°证明:∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

OA=OC=AC，OB=OD=BD.又OA=OD,∴AC=BD.∴四边形ABCD是矩形.又∵∠A=90°，∴

ABCD

是矩形.∴∠DAB=90°变式训练变式

如图②,已知▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4cm,求▱ABCD的面积．ABCDO线段关系矩形ABCD利用勾股定理BC长等边

OAB+ABCD

RtAC=BD点击查看解题过程ABCDO4证明:∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

AC=2OA=2OC，BD=2OB=2OD.又OAB是等边三角形,∴

OA=OB=4.∴

AC=BD=8.∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=90°，∴

ABC

是直角三角形.∴∴变式训练

1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（）对应训练BABCD90°90°90°90°90°90°90°44448855

2.如图，在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,∠AOB=60°,E,F分别是OB,OD的中点,连接AE,CE,CF,AF．（1）求证：四边形AECF为矩形;（2）若AB=3,求矩形AECF的面积．对应训练ABCDOEF对应训练ABCDOEF（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC,OB＝OD．∵E,F分别是OB,OD的中点,∴OE=

OB,OF=

OD．∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形．∵AC⊥AB,∠AOB=60°,∴∠BAO=90°,∠ABO=30°,∴OA=OB=OE．∴AC=EF,∴▱AECF为矩形．（2）解:由（1）得OA=OE=OC=OF,∠AOB=60°,∠ABO=30°,∴△OAE是等边三角形,∠OFA=∠OAF=∠AOB=30°=∠ABO．∴AE=OA,AF=AB=3．在Rt△OAB中,由勾股定理易得OA=,∴AE=OA=．∴矩形AECF的面积＝AF·AE＝．对应训练ABCDOEF几何语言：定理1：对角线相等的平行四边形是矩形矩形的判定定理：∵

ABCD

的对角线AC=BD.∴

ABCD

是矩形定理2：有三个角是直角的四边形是矩形几何语言：∵在四边形ABCD

中，∠A=∠B=∠C

=90°.∴四边形ABCD

是矩形定理3：矩形的定义(有一个角是直角的平行四边形)课堂总结知识结构四边形有三个角是直角平行四边形对角线相等有一个角是直角矩形矩形矩形课后作业1.教材P60习题18.1第1,2,3,8,

14题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.

1.如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,且∠1=∠2.它是一个矩形吗？为什么？课后作业【选自教材P60,习题18.2第1题】解:它是一个矩形.理由：∵∠1=∠2，∴OB=OC.∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

OA=OC，OB=OD.∴OA=OC=OB=OD.∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形.

ABCDO12课后作业

2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.证明：由四边形的内角和定理得

∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠B=∠C=∠D，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形.

ABCD【选自教材P60,习题18.2第2题】课后作业

3.一个木匠要制作矩形踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板.为什么？解：如图，∵AB⊥AD，CD⊥AD∴AB∥CD，∠A=90°.∵AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形.

又∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.

【选自教材P60,习题18.2第3题】ABCDl1l2课后作业

4.如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下.然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了.纸盒的底面是什么形状？为什么？【选自教材P61,习题18.2第8题】课后作业解：纸盒的底面是矩形.如图，∵四边形ABCD是正方形.∴∠ADC=90°.∴∠EDF=90°.同理∠E=∠F=90°，∴四边形DFGE是矩形.ABCDEFG课后作业

5.如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形.用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长.【选自教材P62,习题18.2第14题】ABCmmhnn课后作业解：能拼成三种平行四边形.（1）如图①的矩形，其对角线长为m.（2）如图