2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）因式分解的应用

因式分解的应用1．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57．【考点】因式分解的应用；一元一次不等式的整数解．【分析】根据新定义m2﹣n2，可以分别列出m2和n2的值，进而即可求解．【解答】解：根据题意，且m﹣n＞1，当m＝3，n＝1，则第1个智慧优数为：32﹣12＝8，当m＝4，n＝2，则第2个智慧优数为：42﹣22＝12，当m＝4，n＝1，则第3个智慧优数为：42﹣12＝15．正整数的平方分别为：1，4，9，16，25，36，49，64，81．当m＝5，n＝3，则第3个智慧优数为：52﹣32＝16，当m＝5，n＝2，则第3个智慧优数为：52﹣22＝21，当m＝5，n＝1，则第3个智慧优数为：52﹣12＝24，以此类推，当m＝6时，有4个智慧优数，同理m＝7时有5个，m＝8时，有6个，1+2+3+4+5+6＝21，又两数之间的差越小，平方越小，所以后面也有智慧优数比较小的第22个智慧优数，当m＝9时，n＝5，第22个智慧优数为：92﹣52＝81﹣25＝56，第23个智慧优数，当m＝11时，n＝8，第23个智慧优数为：112﹣82＝121﹣64＝57，故答案为：15，57．【点评】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解，解题的关键是能有分类进行求解．2．（2023•凉山州）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于2023．【考点】因式分解的应用．【分析】由x2﹣2x﹣1＝0，得x2﹣2x＝1，将所求式子变形为3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027，再整体代入计算即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴3x3﹣10x2+5x+2027＝3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027＝3x×1﹣4×1﹣3x+2027＝3x﹣4﹣3x+2027＝2023，故答案为：2023．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是整体代入思想的应用．因式分解的应用13．（2023•河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．【解答】解：（2k+3）2﹣4k2＝4k2+12k+9﹣4k2＝12k+9＝3（4k+3），∵k为任意整数，∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，故选：B．【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．因式分解的应用17．（2023•十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是6．【答案】6【分析】利用提公因式法，把原式中公因式xy提出，代入数据计算即可．【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了解因式的应用中的整体思想，提公因式xy，出现两个整体xy、x+y是关键，代入数据计算即可．因式分解的应用13．（2023•深圳）已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为42．【答案】42．【分析】利用因式分解得到ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a+b＝6，ab＝7，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝7×6＝42．故答案为：42．【点评】本题考查了因式分解．14．（2023•济宁）已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+9＝8．【答案】8．【分析】由已知条件可得m2﹣m＝1，将2m3﹣3m2﹣m+9先变形整理得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9，然后将m2﹣m＝1代入整理可得﹣（m2﹣m）+9，再将m2﹣m＝1代入运算即可．【解答】解：∵m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴2m3﹣3m2﹣m+9＝（2m3﹣2m2）﹣m2﹣m+9＝2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9＝2m﹣m2﹣m+9＝﹣m2+m+9＝﹣（m2﹣m）+9＝﹣1+9＝8，故答案为：8．【点评】本题考查因式分解的应用及代数式求值，将代数式拆项并因式分解得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9是解题的关键．因式分解的应用14．（2023•嘉兴、舟山）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：x2﹣1（答案不唯一）．．【考点】因式分解的应用．【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有（x+1）的一个多项式，本题答案不唯一，符合