第八章《第3单元-课时精讲1-二元一次方程组的实际应用》名师教学设计

第8章二元一次方程组第3单元二元一次方程组的实际应用课时精讲一二元一次方程组的实际应用内容分析数学的发展来源于人们对现实世界的认识，为了了解其中的一些变化规律，人们要建立相应的数学模型进行探究.二元一次方程组就是刻画现实情境中的数量关系，沟通已知和未知的一种数学模型.本节课安排了5个实际问题，分析和解决这些问题的难度比之前要大.对于这些问题，教学中要充分发挥学生自主学习的积极性，引导学生先独立探究，再进行合作交流，利用数学问题中变量间的相等关系，构建方程和方程组来解决问题.学生分析受阅读能力、分析能力的制约，怎样从实际问题中提取数学信息，并转化为数学语言，对七年级的学生来说是个难点.本节课涉及的实际问题中都有两个未知数，含有两个等量关系，需要列二元一次方程组，数量关系比“一元”问题复杂.学生要仔细分析问题，抓住关键词，发现等量关系，从而列出方程组.目标确定1.能分析实际问题中蕴含的数量关系.2.能根据实际问题列出二元一次方程解决实际问题.重点难点重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程.难点：能抓住“不变量”和“等量关系”列方程组.评价设计“二元一次方程组的实际应用”学习评价量表标准等级会分析实际问题中的已知量和未知量，用字母表示未知量.A会将问题中所给的文字语言转化成为对应的符号语言会分析实际问题中蕴含的数量关系.A会分析实际问题中蕴含的数量关系.B能找出“两个表示等量关系的句子”，抓住“不变量”和“等量关系”列方程组.B会根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.A活动设计环节1复习回顾教师活动①学生活动①例1小明在超市买了两种水果共10kg，其中苹果每千克6元，香蕉每千克5元，一共花了56元钱，那么两种水果各买了多少？问题1只设一个未知数，应如何构建一元一次方程求解呢？问题2列方程（组）时最关键的是找表示等量关系的“关键句”，本题“关键句”是什么？师生共同总结：例1中有两个未知量，既可以通过列二元一次方程组求解，也可以通过列一元一次方程组求解（虽然有两个未知量，很容易用一个未知数x来表示问题中的两个未知量），列一元一次方程和二元一次方程组解应用题的区别仅在于：前者是设一个未知数，列一个方程求解；而后者则是设两个未知数，列二元一次方程组求解.设两个未知数，一般需列两个方程.例1学生在操作的过程中回顾列方程（组）解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数并列出有关代数式；③找出等量关系列出方程（组）；④解方程（组）；⑤检验方程的解是否符合实际意义（不写检验过程，只需写出检验结果）；⑥答题.简记：审、设、列、解、验、答.问题1设苹果买了xkg，则香蕉买了（10－x）kg，根据题意，可得6x＋5（10－x）=56.解这个方程，可得x=6.所以购买香蕉的质量为：10－x=10－6=4（kg）.答：苹果买了6kg，香蕉买了4kg问题2本题“关键句”是“两种水果共10kg”和“一共花了56元钱”解：设苹果买了xkg，香蕉买了ykg，根据题意，可得解这个方程组，可得答：苹果买了6kg，香蕉买了4kg.活动意图说明例1的设计旨在让学生总结回顾列方程解应用题的一般步骤，并体会：设一个未知数，到一个方程求解，虽思维量大，但解法简单；设两个未知数，列二元一次方程组求解，虽思维量较小，顺理成章，但解法较麻烦.环节2提出问题教师活动②学生活动②例2已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元.某中学计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该学校选择，并说明理由.思考：“将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑”怎么理解？有几种可能？未知数的取值有无条件限制？师生总结：方案设计问题往往要借助方程或方程组的知识进行决策，对于具体问题还要考虑未知量的取值范围.例2可分以下3种情况考虑：只购进A型电脑和B型电脑，只购进A型电脑和C型电脑，只购进B型电脑和C型电脑．购进的三种类型的电脑的台数都是正整数.解：（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意，可列方程组：解这个方程组，可得不合题意，应舍去.（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意，可列方程组：解这个方程组，可得（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意，可列方程组：解这个方程组，可得答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台，第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台．活动意图说明方案设计问题是现实生活中常见的问题之一，也是中考中出现频次较高的问题，往往要借助方程或方程组的知识，分类讨论进行决策.通过解决这个问题培养学生的分类思想．环节3解决问题教师活动③学生活动③例3养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约需要饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需饲料18~20kg，每头小牛1天约需饲料7~8kg.你能通过计算检验他的估计吗？思考：怎样理解“通过计算来检验他的估计”？题中要求的未知数是什么？如何设未知数？例4据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2.现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4？思考：矩形的宽不变，面积与长成正比应该怎么理解？你能解这个方程组吗？如何表述你的种植方案？你还有其他的设计方案吗？例3学生读题，自主回答，体会估计值不是已知量，而是未知量，要用准确的数字来检验.教师引导学生找出未知数是求每头大牛和每头小牛1天分别约需用饲料的千克数.设平均每头大牛和每头小牛1天各约需饲料xkg和ykg，根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组.解：设平均每头大牛和每头小牛1天各约需饲料xkg和ykg，列方程组，得解这个方程组，得这就是说平均每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.例4学生独立思考，共同讨论解决问题.将长分成两部分，设未知数，列方程组.将方程组化简为小组讨论，如过长边离一端120m处作该边的垂线，将矩形分成两部分，较大的部分种甲种作物，较小的部分种乙种作物.活动意图说明使学生进一步熟悉应用方程组解决实际问题的全部过程，学会将复杂的问题转化成简单的方程组来求解.环节4拓展提升教师活动④学生活动④例5关于x，y的方程3kx＋2y=6ky－3，对于任何k的值都有相同的解，试求它的解.提问：“对于任何k的值，方程都有相同的解”应该如何解读？思考：因为无论k为何值，x，y的取值都是确定的，与k值无关，可否有其他的解读？例6A，B两地相距45km，一部分是上坡路，另一部分是下坡路.某人骑车从A地出发去B地办事，办完事后再从B地返回A地.已知他上坡时的速度为每小时12km，下坡时的速度为每小时18km，并且从A地到B地比从B地到A地多骑了15min.求此人从A地到B地所花的时间.提问：本题中的等量关系有哪些？思考：除了上述解法之外，你还能想出其他的解法吗？例5无论k为何值，x，y的取值都是确定的，与k值无关，与k值无关实质上是指方程经过整理后，k的系数为0，因为0乘以任何数得0.解：方程可化为（3x－6y）k＋2y＋3=0，由题意，得解得故原方程的解为学生思考：我们可以取k的两个特殊值（比如k=0，k=1）并分别代入原方程，构造一个新方程组，同样可以求出x，y的值.例6要我们求的虽然只是一个未知数——此人从A地到B地所花的时间，但在求这个未知数时，需要知道上坡路和下坡路的路程，所以有两个间接未知数——从A地到B地上坡路的路程和下坡路的路程.从A地到B地的上坡路正好是从B地到A地的下坡路，从A地到B地的下坡路正好是从B地到A地的上坡路.等量关系是：①从A地到B地上坡路的路程＋从A地到B地下坡路的路程=45km；②从A地到B地所花的时间一从B地到A地所花的时间=15min.解：设从A地到B地上坡路的路程为xkm，从A地到B地下坡路的路程为ykm，根据题意，可得解这个方程组，可得所以，从A地到B地所花的时间为：（h）=3h15min.答：此人从A地到B地所花的时间为3h15min.学生思考（讨论）：由于从A地到B地的上坡路正好是从B地到A地的下坡路，从A地到B地的下坡路正好是从B地到A地的上坡路，所以，往返一次所走的上坡路与下坡路都等于A，B两地间的距离，即45km.于是，可以求出往返一次所需的时间，即为（）h又已知从A地到B地比从B地到A地多花了15min，所以想到设两个间接未知数——从A地到B地所花的时间和从B地到A地所花的时间.存在的等量关系是：①从A地到B地所花的时间＋从B地到A地所花的时间＝（）h：②从A地到B地所花的时间一从B地到A地所花的时间=15min.解：设从A地到B地所花的时间为xh，从B地到A地所花的时间为yh，根据题意，可得解得x=h=3h15min答：此人从A地到B地所花的时间3h15min.活动意图说明例4设计了一个“与参数k取值无关的问题”，是难度校大、较抽象的问题，为以后研究“动态函数”起铺垫作用.例5的设计意图是让学生体会如何在较复杂的问题中寻找等量关系.板书设计二元一次方程组的实际应用典例分析列方程解应用题的一般步骤例1①例3③例4④例5⑤例6⑥练习诊断1.（A）初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表.表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染看不清楚，请分别求出对应的人数.请用列一元一次方程和二元一次方程组两种方法求解.2.（A）某人骑车从A地以12km/h的速度下坡，再以9km/h的速度走平路，共用55min；回来时，以8km/h的速度走平路，再以4km/h的速度上坡，用了h.求A，B两地之间的路程.3.（A）运往某地的两批货物，第一批共360t，用6节火车车厢和15辆汽车正好装完.第二批共440t，用8节火车车厢和10辆汽车正好装完.每节火车车厢和每辆汽车平均装多少吨？4.（A）某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%.这所学校现在的初中在校生和高中在校生各有多少人？5.（A）如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？6.（A）将若干只鸡放入若干个鸡笼中，若每个鸡笼放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个鸡笼放5只，则有一个笼无鸡可放，那么有鸡多少只？鸡笼多少个？7.（A）一次篮球、排球比赛，共有48个队，520名运动员参加，其中篮球队每队10名，排球队每队12名，篮球、排球各有多少队参赛？8.（A）某班同学到距离学校18km的北山郊游.只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车，乙组步行.车行至A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60km/h，步行速度是4km/h，求A处距北山站的距离.9.（A）《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对在地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若是从树上飞下去一只，则树上和树下的鸽子就一样多了.”请问树上和树下各有多少只鸽子？10.（B）暑假里，某报社组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇土队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场呢？11.（B）某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试得知：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐.（1）1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？（2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐，并说明理由.12.（C）小明在拼图时，发现8个大小相同的矩形（如图①），恰好可以拼成一个大的矩形.小彬看见了，就把图形拼成了一个正方形（如图②），然后中间留下了