稳定性和代数稳定判据

关于稳定性和代数稳定判据4/7/20242一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件

稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。稳定的充要条件和属性

稳定的基本概念：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。第2页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/20243

线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部，则系统的暂态分量随时间增加逐渐消失为零，这种系统是稳定的。如果有一个或一个以上的闭环特征根位于s平面右半部或虚轴上，则此系统是不稳定的。稳定的充要条件和属性稳定区不稳定区临界稳定S平面第3页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/20244充要条件说明

如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。稳定区不稳定区临界稳定S平面第4页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/20245第5页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/20246充要条件说明注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。设线性系统的特征方程为则该系统稳定的必要条件为：

1、特征多项式所有的系数符号相同；

2、特征多项式所有系数都不为零。（无缺项）

如果系统的特征方程成不满足上述条件，则可立即断定系统是不稳定的。如果满足上述条件，系统不一定是稳定的，因为它只是必要条件。第6页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/20247

但对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。第7页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/20248二、劳斯稳定性判据（一）劳斯判据

设线性系统的特征方程为劳斯阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，…项系数组成，第二行为2，4，6，…项系数组成。劳斯判据劳斯稳定判据：线性系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列各元素严格为正。反之，如果第一列出现小于或等于零的元素，系统不稳定，且第一列各元素符号的改变次数，代表特征方程正实部根的数目。第8页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/20249第9页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202410例：系统特征方程为，试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，确定正实部根的个数。解：列劳斯表，即结论：系统是不稳定的，且第一列数字元素有两次变号，故系统有两个正实部的根。第10页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202411例：系统特征方程为，试用劳斯判据判别系统是否稳定。解：列劳斯表，即结论：系统是不稳定的，且第一列数字元素有两次变号，故系统有两个正实部的根。

为了简化计算，用某个正数去乘或除劳斯表中任意一行的系数，并不会改变系统稳定性的结论。第11页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202412

在运用劳斯判据判断判别系统稳定性时，有时会遇到两种特殊情况，这时必须进行一些相应的数学处理。（1）劳斯阵列某一行中的第一列数字元素等于零，而该行的其余各列元素不为零或不全为零。处理办法：用一个小正数来代替该行第一列元素零，据此算出其余各项元素，完成劳斯阵列的排列。如果与其上项或下项元素的符号相反，则记作一次符号变化。如果劳斯阵列第一列元素的符号有变化，其变化的次数就等于该系统在S右半平面上特征根的数目，表明该系统不稳定。第12页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202413例：系统特征方程为，试判别系统的稳定性。解：列劳斯表，即结论：系统不稳定，且第一列元素有两次变号，因此系统有两个正实部的根。第13页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202414例：系统特征方程为，试判别系统的稳定性。解：列劳斯表，即结论：系统不稳定，且第一列元素有两次变号，因此系统有两个正实部的根。第14页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202415（2）劳斯阵列某一行的所有元素全部为零

这种情况表明系统的特征方程存在着大小相等而径向位置相反的根，至少存在下述几种特征根之一，比如大小相等、符号相反的一对实数，或共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。这说明系统是临界稳定或不稳定的。处理办法：利用该全零行的上一行元素构成一个辅助方程，并将该辅助方程对复变量s求导，用求导以后方程的系数取代全零行元素，继续劳斯阵列的排列。辅助方程的次数通常为偶数，它的根即为那些大小相等而径向位置相反的根。第15页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202416例：系统特征方程为，试判别系统的稳定性。解：列劳斯表，即显然，系统不稳定。用一行的系数构成辅助方程：对s求导后得到新方程：第16页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202417其系数（即4和6）代替第三行全为零的元素，然后继续进行计算第17页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202418

可见，系统虽不稳定，但第一列数字元素并不变号，所以系统没有在右半S平面的根。实际上系统有位于虚轴上的纯虚根，可由辅助方程求得。

系统的辅助方程为

则有

故系统的纯虚根为第18页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202419例：系统特征方程为解：列劳斯表，即试用劳斯判据判别系统的稳定性。用行的系数构成辅助方程：上式对s求导，得第19页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202420

第一列元素没有符号变化，表明该系统在S右半平面没有特征根，但是具有共轭虚根。

解辅助方程可得共轭虚根为：第20页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202421例：已知系统的特征为解：特征方程中s的各次幂的系数不全为正，则不满足系统稳定的必要条件，所以系统不稳定。列劳斯表计算S右半平面的特征根数：试应用劳斯判据分析系统的稳定性；如不稳定，求出系统在S右半平面的特征根数。第21页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202422劳斯表第一列元素变号一次，说明系统有一个正根。利用此行构造辅助方程求导得改第一列元素0为任意小的正数，继续计算劳斯表。第22页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202423解辅助方程，得利用辅助方程和多项式除法，特征方程变为所以特征方程得另一个根为第23页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202424三、稳定性判据的应用1、参数变化对稳定性的影响

利用代数稳定判据可以确定个别参数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数取值范围。例：设控制系统的结构图如下，试确定满足稳定要求时的临界值和开环放大倍数临界值。第24页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202425解：系统的闭环传递函数为其特征方程为为使系统稳定，应有（1）特征方程各系数均大于零，即要求。（2）满足关系式，即，则有第25页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202426因此，满足稳定要求时，的取值范围是，故的临界值为6。由于系统的开环放大倍数，因此开环放大倍数的临界值

可见，越大，越接近，系统的相对稳定性越差，当时，系统变为不稳定。第26页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202427例：设系统特征方程式解：列劳斯表，即试按稳定要求确定T的取值范围。第27页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/2024282、检验稳定裕度

将S平面的虚轴向左移动某个数值，即令(为正实数)，并代入特征方程中，得到的多项式。利用代数稳定判据对新的特征多项式进行判别，即可检验系统的稳定裕量，即相对稳定性。若新特征方程式的所有根均在新虚轴之左，则说明系统至少具有稳定裕量。第28页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202429例：系统的特征方程为，试检验系统是否具有的稳定裕量。解：首先判别系统是否稳定。（1）所有系数均大于零。（2）所以原系统稳定。将代入特征方程可得：第29页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202430

可见，第一列数字元素符号改变一次，因此有一个特征根在（即新虚轴）右边，故稳定裕量达不到1。第30页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202431例：下图是某控制系统的方块图，若系统以的角频率作等幅振荡，试确定此时K和的值。

解：系统的闭环特征方程为第31页,共35页，2024年2月25日，星期天4/7/202432劳斯行列表为：系统作等幅振荡，所以存在一对虚根。且，这相当于劳斯阵列中有一行全为0，在本例中，要求行为0，而第一列其他元素全大于0，所以有：第32页,共35页，2024年2月25日，星期天